5.2: Сімейство синусоїдальних функцій

Функція косинуса - це$x$ координати одиничного кола, а функція синуса -$y$ координати. Оскільки одинична окружність має радіус один і зосереджена на початку координат, і синус коливаються між позитивним і негативним.

Що відбувається, коли коло не центрується в початковій точці і не має радіуса 1?

Графіки синусоїдальних функцій

Сімейство синусоїдальних функцій відноситься до синусоїдальних або косинусних хвиль, оскільки вони однакові, за винятком горизонтального зсуву. Це сімейство функцій також називається сімейством періодичних функцій, оскільки функція повторюється через заданий проміжок часу.

Розглянемо колесо огляду, яке обертається рівномірно з радіусом 1 одиниці. Він починається з (1,0) або кута 0 радіанів і обертається проти годинникової стрілки зі швидкістю один цикл на$2 \pi$ хвилину (так що ви можете використовувати час дорівнює радіанам).

16 точок навколо кола вибираються тому, що вони відповідають ключовим точкам одиничного кола. Їх висоти$(y$ -значення) і ширини$(x$ -значення) вже відомі і можуть бути заповнені.

Спочатку розгляньте висоту в кожній з точок, коли ви подорожуєте по половині кола від початкового місця. Слідкуйте за своєю роботою в таблиці.

\ (
\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Кут (радіани)} &\ текст {Висота (одиниці виміру)}
\\ hline 0\\
\ hline\ frac {\ pi} {6} &\ frac {1} {2}\
\ hline\ frac {\ pi} {4} &\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ приблизно 0,707\\
\ hline\ frac {\ pi} {3} &\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ приблизно 0.866
\\ hline\ frac {\\ pi} {2} & 1
\\ hline\ frac {3} &\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ приблизно 0.866\
\ hline\ frac {3\} {4} &\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ приблизно 0.707\\ hline
\ frac {5\ pi} {6} &\ frac {1 } {2}\
\ hline\ pi & 0\
\ hline
\ кінець {масив}
\)

Зверніть увагу на симетрію висоти навколо$\frac{\pi}{2}$ і подивіться решту таблиці в прикладах. Після того, як таблиця буде закінчена, ви можете побудувати ці точки на правильній координатній площині, де$x$ вісь - кут, а$y$ вісь - висота. Це перша частина графіка синусоїдальної функції.

Щоб закінчити графік синусоїдальної функції, закінчіть таблицю висот точок у квадрантах III і IV і намалюйте цілий цикл (відомий як період) функції синуса.

\ (
\ begin {масив} {|l|l|}
\ лінія\ текст {Кут (родіони)} &\ текст {Висота (об'єднати)}\
\ hline\ pi & 0\
\ hline\ frac {7\ pi} {6} & -\ frac {1} {2}\
\ hline\ frac {5\ pi} {4} & -\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ приблизно 0,707\\
\ hline\ frac {4\ pi} {3} & -\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ приблизно 0.866\
\ hline\ frac {3\ pi} {2} & -1\\
\ hline\ frac {5\ pi} {3} & -\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ приблизно 0.866\
\ hline\ frac {7\ pi} {4} & -\ frac {\ sqrt {2}} {2}\ приблизно 0.707\
\ hline\ frac {11\ pi} {6} & -\ гідророзриву {1} {2}\
\ hline 2\\ pi & 0\
\ hline
\ end {масив}
\)

Подібно синусу, ви можете використовувати свої знання про кути$0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi$ на одиничному колі, щоб отримати повний цикл косинусного графіка. У той час як функція синуса використовує$x$ -координати, функція косинуса є$x$ -координатами одиничного кола і вимірює ширину. Посилаючись на одиничне коло або свою пам'ять, ви можете заповнити набагато коротшу таблицю, ніж раніше.

\ (
\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Кут (радіани)} &\ текст {Ширина (одиниці виміру)}
\\ hline 0 & 1
\\ hline\ frac {\ pi} {2} & 0
\\ hline\\ pi & -1
\\ hline\ frac {3\ pi} {2} & 0\
\ hline 2\ pi & 1\
\ hline
\ кінець {масив}
\)

Спочатку намалюйте ці п'ять точок, а потім з'єднайте їх плавною кривою. Це призведе до створення косинусного графіка.

Визначення цих п'яти основних моментів є ключем до побудови графіків синус або косинусів навіть при зміщенні або розтягуванні графіка.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, що відбувається, коли коло не центрується на початку і не має радіуса 1. Одиничне коло створює графіки синусів та косинусів батьківської функції. Коли одиничне коло зміщується вгору або вниз, робиться ширше або вужче, або обертається швидше або повільніше в будь-якому напрямку, то графіки функцій синуса і косинуса будуть трансформуватися за допомогою основних правил перетворення функцій.

Приклад 2

Що відбувається по обидва боки від синусоїдних і косинусних графіків? Чи можете ви пояснити чому?

Графіки функцій синус (синій) і косинус (червоний) вічно повторюються в обох напрямках.

Якщо подумати про приклад з колесом огляду, то їзда буде триматися на спінінг і крутиться назавжди. Ось чому один і той же цикл графіка повторюється знову і знову.

Приклад 3

Як однакові графіки синусів і косинусів і чим вони відрізняються?

Синусоїдальний графік такий самий, як і графік косинусів, зміщений на$\frac{\pi}{2}$. Крім зсуву, обидві криві ідентичні завдяки ідеальній симетрії кіл.

Приклад 4

Де два максимуми і два мінімуми синусоїдального графа?

Один максимум синусоїдального графіка відбувається при$\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$. Один мінімум відбувається при$\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right)$. Це один цикл синусоїда. оскільки він завершує цикл кожен,$2 \pi,$ коли ви додаєте$2 \pi$ до координати$x$ - ви будете знаходитися на тій же точці циклу, даючи вам інший максимум або мінімум. $\left(\frac{5 \pi}{2}, 1\right)$це ще один максимум. $\left(\frac{7 \pi}{2},-1\right)$це ще один мінімум.

Приклад 5

У проміжку$[-2 \pi, 4 \pi)$ де косинус має нулі?

Спостерігайте, де крива косинуса має$x$ -координати, рівні нулю. Зверніть увагу,$4 \pi$ що виключається з інтервалу. Значення є$-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$

Рецензія

1. $p(x)=\sin x$Ескіз по пам'яті.

2. $j(x)=\cos x$Ескіз по пам'яті.

3. Де виникають максимуми косинусного графа?

4. Де відбуваються мінімуми косинусного графіка?

5. Знайти всі нулі синусоїдальної функції на інтервалі$\left[-\pi, \frac{5 \pi}{2}\right]$.

6. Знайти всі нулі функції косинуса на інтервалі$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]$.

7. Попередній перегляд: Використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як$f(x)=2 \cos x$ виглядатиме графік.

8. Попередній перегляд: Використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як виглядатиме графік$g(x)=\cos x+2$.

9. Попередній перегляд: Використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як$h(x)=\cos (x-\pi)$ виглядатиме графік.

10. Попередній перегляд: Використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як$k(x)=-\cos x$ виглядатиме графік.

...