9.6: Суми Реймана

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.5: Трапецієподібні та середні наближення
- Назад Матерія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Апроксимування площі під кривою функції шляхом підсумовування скінченної кількості прямокутників у сумі Рімана може дати дуже точні результати. Інтуїтивно ми знаємо, однак, що чим більше суб-інтервалів у нас є, тим кращий результат. Беручи межу суми Рімана, коли підінтервали стають меншими (кількість прямокутників стає більшою) має асимптотично дати істинну площу. Для деяких кривих функцій межа Рімана може бути оцінена алгебраїчно; для складних кривих площа може бути визначена лише за допомогою числових обчислень грубої сили Сум Рімана.

Ліміти та суми Реймана

Раніше площа під кривою визначалася в терміні ліміту сум:

$A = \lim_{n \to +∞} S(P) = \lim_{n \to +∞} T(P) \nonumber$

де

$S(P) = \sum_1^n m_i(x_i − x_i − 1) = m_1 (x_1−x_0) + m_2(x_2−x_1)+…+ mn(xn−xn−1), \nonumber$

$T(P) = \sum_1^n M_i (x_i−x_i−1)= M_1(x_1−x-0)+M_2(x_2−x_1)+…+M_n(x_n−x_n−1), \nonumber$

S (P) і T (P) є прикладами сум Рімана.

Загалом, Суми Рімана мають форму, $\sum_{i=1}^n f ( x_i^∗) △x \nonumber$ де кожна $x_i^∗ \nonumber$ - це значення, яке ми використовуємо для пошуку довжини прямокутника в i-му підінтервалі. Наприклад, максимальне значення функції в кожному підінтервалі, щоб знайти верхні суми і мінімальну функцію в кожному підінтервалі, щоб знайти нижчі суми. Але так як функція є безперервним, ми могли б використовувати будь-які точки в межах суб-інтервалів, щоб знайти межу.

Щоб скористатися концепцією межі, ми робимо ширину кожного прямокутника наближення 0, що еквівалентно тому, щоб кількість прямокутників, n, наближається до нескінченності. Таким чином, знаходимо точну площу під кривою,

$limn→∞An=limn→∞∑i=1nf(xi)△x. \nonumber$

Визначимо тепер найбільш загальну ситуацію наступним чином:

Якщо f є безперервним на [a, b], і:

Інтервал [a, b] ділиться на n підінтервалів однакової ширини △ x, з △ x=b−an, і
Кінцеві точки цих суб-інтервалів є x0 = a, x1, x2,... , xn=b, і
x∗ 1, x∗ 2,..., x∗ n - будь-які вибіркові точки в цих підінтервалах, тоді певний інтеграл f від x = a до x = b дорівнює

абф (х) х = лінія → ∞ i = 1нф (x∗ i) △ х.

за умови, що ліміт існує.

Якщо вищевказана межа існує, f, як кажуть, інтегрується на замкнутому інтервалі [a, b] і існує певний інтеграл.

Зверніть увагу, що точка вибірки x∗ i може бути будь-якою точкою вибірки в i-му підінтервалі, при цьому загальні варіанти вибору мають право, середина або ліворуч.

Наприклад, оцініть Суму Рімана для f (x) = x3 від x = 0 до x = 3, використовуючи n=6 підінтервалів, і візьміть вибіркові точки як середні точки підінтервалів.

Якщо розділити інтервал [0, 3] на n=6 рівних підінтервалів, то кожен підінтервал матиме довжину 3−06=12. Таким чином, ми маємо △ x = 12 і

Додаткові ресурси

Відео - Суми Рімана та інтеграли

Практика - Riemann Суми