Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.4: Функції ймовірності та щільності ймовірностей

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54343

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ймовірність - це поняття, яке є звичною частиною нашого життя. Ми використовуємо ймовірність як міру того, що якась подія (у наборі можливих подій) дійсно відбудеться. Безліч можливих подій може бути кінцевим і тому називатися дискретною випадковою величиною, або нескінченною і являти собою безперервну випадкову величину. Імовірність, P, є таким числом, що 0≤P≤1. Чим ближче P до 0, тим малоймовірніше, що подія відбудеться; чим ближче P до 1, тим більша ймовірність того, що подія відбудеться. Також сума всіх ймовірностей, що охоплюють всі можливі події в наборі, повинна скласти до 1. Чи можете ви визначити, перш ніж ми почнемо, який тип випадкової величини (дискретної або неперервної) буде пов'язаний з ймовірностями, обчисленими за допомогою певних інтегралів? Чому?

    Функції щільності ймовірності

    У цьому розділі ми розглянемо, як обчислити значення ймовірності за допомогою функції, яка називається функцією щільності ймовірності (pdf). Існує багато різних форм функцій щільності ймовірностей, і ми розглянемо кілька.

    Якщо вам повідомила поштова служба, що ви отримаєте пакет, який ви чекали деякий час завтра, ви можете запитати: Яка ймовірність того, що я отримаю свій пакет десь між 15:00 і 17:00 вечора, враховуючи, що години роботи поштової служби знаходяться між 7:00 AM до 6:00 PM?

    За відсутності будь-якої додаткової інформації, один із способів знайти рішення - відзначити, що оскільки поштове відділення працює в цілому 11 годин (з 7 ранку до 6 вечора), а інтервал інтересу становить 2 години між 3 вечора і 5 вечора, ймовірність того, що ваш пакет прибуде, може бути просто

    \[ P=\frac{2 \mbox{ hours}}{11 \mbox{ hours}}=0.182 \nonumber\]

    Таким чином, існує ймовірність 0.182, що поштова служба доставить вашу посилку десь між годинами 15:00 і 17:00. Оскільки не було нічого особливого щодо інтервалу від 3 до 5 вечора, ймовірність 0.182 може застосовуватися до будь-якого 2-годинного інтервалу протягом 11-годинного періоду роботи. Це також означає, що існує ймовірність 0.818, що пакет не буде доставлений протягом цього інтервалу (тобто 1-0.182).

    Але, математично, як вищенаведений розрахунок витримується, коли 11-годинний інтервал і 2-годинний інтервал містять нескінченну кількість разів? Як може одна нескінченність, розділена на іншу нескінченність, виробляти ймовірність 0,182? (Примітка: Можливі терміни доставки в 11-годинному інтервалі представляють безперервну випадкову величину.) Щоб вирішити цю проблему, ми можемо уявити ймовірність доставки посилки в будь-який час в 11-годинному інтервалі як визначену прямокутником висотою\( \frac{1}{11} \nonumber\) і довжиною 11, при цьому отримана площа дорівнює 1. Дивлячись на 2-годинний інтервал, ми можемо побачити, що він дорівнює\( \frac{2}{11} \nonumber\) загальній прямокутній площі 1. Ось чому зручно представляти ймовірності як області.

    Знімок екрана 2021-02-18 о 1.45.55 AM.png

    Оскільки області можуть бути визначені певними інтегралами, ми також можемо визначити ймовірність події, що виникає в інтервалі [a, b] за певним інтегралом,\( P(a≤x≤b)=\int\limits_a^b f(x)dx \nonumber\) де f (x) називається функцією щільності ймовірності (pdf).

    Функція f (x) називається функцією щільності ймовірності, якщо

    1. f (x) ≥0 для всіх х
    2. Площа під графіком f (x) над усією дійсною лінією дорівнює рівно 1
    3. Імовірність того, що x знаходиться в інтервалі [a, b] дорівнює

    \[ P(a≤x≤b)=\int\limits_a^b f(x)dx \nonumber\]

    тобто площа під графом f (x) від a до b.

    У наведеній вище задачі функція щільності ймовірності f (x) називається рівномірною (плоскою) функцією щільності ймовірності (pdf).

    Існують багато інших функцій щільності ймовірності, які при використанні дадуть іншу відповідь на питання про час доставки нашого пакету.

    Припустимо, що після деяких роздумів і обговорень з сусідами ви вирішите, що краще використовувати трикутну функцію щільності ймовірності, як показано нижче, для доставки посилок у вашому регіоні. Яка ймовірність того, що ви отримаєте свій пакет десь між 15:00 і 17:00?

    Знімок екрана 2021-02-19 в 1.16.33 AM.png

    Трикутний pdf показує варіацію, яку можна змоделювати як:

    \[ f(x)= \begin{cases} \frac{2}{99} (x+12) − \frac{14}{99}, −5 ≤ x ≤ 4 \\ \frac{−1}{11} (x+12)+ \frac{18}{11}, 4≤x≤6 \end{cases} \nonumber\]

    Зверніть увагу, що pdf дорівнює 0 поза вищевказаним інтервалом.

    Імовірність того, що посилка надійде між 3 і 5 вечора, можна визначити як

    \( P(a≤x≤b)=\int\limits_a^b f(x)dx \nonumber\)

    \( P(3≤x≤5)=\int\limits_3^5 f(x)dx \nonumber\)

    \( = \int\limits_3^4 (\frac{2}{99} (x+12)− \frac{14}{99})dx+\int\limits_4^5 −\frac{1}{11} (x+12)−\frac{18}{11})dx \nonumber\)

    \( =\frac{2}{99}[\frac{x^2}{2}+5x]_3^4−\frac{1}{11}[\frac{x^2}{2}−6x]_4^5 \nonumber\)

    \( =\frac{17}{99}+\frac{1.5}{11} \nonumber\)

    \( P(3≤x≤5)=\frac{30.5}{99}≈0.308 \nonumber\)

    Використовуючи трикутний pdf, ймовірність отримання пакета між 3 і 5 вечора зросла до 0,308.

    Функція нормальної щільності ймовірності

    Однією з найбільш корисних функцій щільності ймовірності є нормальна або Гаусова функція щільності ймовірності (іноді її називають кривою дзвінка), яка визначається як:

    Гауссова крива для популяції із середнім μ і стандартним відхиленням σ задається тим\( f(x)=\frac{1}{σ\sqrt{2π}} e^{\frac{−(x−μ)^2}{(2σ2)}} \nonumber\), де коефіцієнт\( \frac{1}{(σ\sqrt{2π})} \nonumber\) називається постійною нормалізації, яка потрібна для того, щоб ймовірність по всьому простору дорівнювала 1.

    Функція щільності має форму кривої дзвінка, представлену нижче:

    Знімок екрана 2021-02-19 о 3.20.43 AM.png

    Ця функція дозволяє описати цілу сукупність на основі статистичних вимірювань, взятих з невеликої вибірки населення. Єдині необхідні вимірювання - середнє (μ) і стандартне відхилення (σ). Після того, як ці два числа відомі, визначається нормальна крива.

    Припустимо, що коробки, що містять 100 чайних пакетиків, мають середню вагу 10,2 унції кожен і стандартне відхилення 0,1 унції. Який відсоток усіх коробок, як очікується, важить від 10 до 10,5 унцій? Яка ймовірність того, що коробка важить менше 10 унцій? Яка ймовірність того, що коробка буде важити рівно 10 унцій?

    Використовуючи нормальну функцію щільності ймовірності,\( f(x)=\frac{1}{σ\sqrt{2π}} e^{\frac{−(x−μ)^2}{(2σ^2)}} \nonumber\).

    Підставивши μ=10.2 і σ = 0,1, отримуємо

    \[ f(x)=\frac{1}{(0.1)\sqrt{2π}} e^{\frac{−(x−10.2)^2}{(2(0.1)^2)}} \nonumber\].

    Відсоток усіх чайних коробок, які, як очікується, будуть важити від 10 до 10,5 унцій, можна обчислити як

    \( P(10≤x≤10.5) = \int\limits_10^10.5 \frac{1}{(0.1) \sqrt{2π}} e^{\frac{−(x−10.2)^2}{(2(0.1)^2)}} dx \nonumber\).

    Інтеграл\( e^{x^2} \nonumber\) не має елементарного антипохідного і тому не може бути оцінений стандартними методами. Однак ми можемо використовувати числові методи, такі як Правило Сімпсона або Правило трапеції, щоб знайти приблизне (але дуже точне) значення. Використовуючи функцію програмування наукового калькулятора або, математичного програмного забезпечення, ми в підсумку отримуємо

    \( \int\limits_{10}^{10.51} \frac{1}{(0.1)\sqrt{2π}} e^{\frac{−(x−10.2)^2}{(2(0.1)^2)}}dx≈0.976 \mbox{ That is, } P(10≤x≤10.5)≈0.976 \nonumber\).

    Примітка технології: Щоб зробити це обчислення за допомогою графічного калькулятора сімейства TI-83/84, виконайте наступне:

    У меню [DISTR] (рис. 6.11.4) виберіть варіант 2, який поміщає фразу «normalcdf» на головний екран. Додайте нижню межу, верхню межу, середнє значення, стандартне відхилення, розділені комами, закрийте дужки та натисніть [ENTER]. Результат показаний на малюнку 6.11.5.

    Знімок екрана 2021-02-19 в 3.36.42 AM.png

    Для ймовірності того, що коробка важить менше 10,2 унції, використовуємо площу під кривою зліва від x=10.2.

    Інтегруючи чисельно, отримуємо

    \[ P(9≤x≤10) = \int\limits_9^{10} \frac{1}{(0.1)\sqrt{2π}} e^{\frac{−(x−10.2)^2}{(2(0.1)^2)}} dx \nonumber\]

    \[ P(9≤x≤10.2)≈0.02275 \nonumber\]

    \[=2.28%, \nonumber\]

    що говорить, що ми очікуємо, що 2,28% коробок важать менше 10 унцій.

    Теоретично ймовірність тут буде рівно нульовою, тому що ми будемо інтегрувати від 10 до 10, що дорівнює нулю. Однак, оскільки всі ваги мають деяку похибку (називайте її), практично ми знайдемо ймовірність того, що вага падає між 10−і 10+.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили визначити, який тип випадкової величини (дискретної або неперервної) буде пов'язаний з ймовірностями, обчисленими за допомогою певних інтегралів.

    Якби ви сказали, що безперервна випадкова величина буде пов'язана з ймовірностями, визначеними певними інтегралами, ви були б правильними.

    Приклад 2

    Коефіцієнт інтелекту або IQ - це оцінка, отримана з різних стандартизованих тестів, які намагаються виміряти рівень інтелекту дорослої людини. Середній бал тесту - 100, а стандартне відхилення - 15. Який відсоток населення, який має бал між 85 і 115? Який відсоток населення має бал вище 140?

    Використовуючи нормальну функцію щільності ймовірності,\( f(x) = \frac{1}{σ \sqrt{2π}}  e^{ \frac{−(x−μ)^2}{(2σ^2)}} \nonumber\),

    і підставляючи\( μ=100 \mbox{ and } σ=15, f(x)= \frac{1}{15\sqrt{2π}}e^{\frac{−(x−100)^2}{(2(15)^2)}} \nonumber\).

    Відсоток населення, яке має бали між 85 і 115, становить\( P(85≤x≤115)= \int\limits_85^115 \frac{1}{15\sqrt{2π}} e^{ \frac{−(x−100)^2}{(2(15)^2)}} \nonumber\).

    Знову ж таки, інтеграл\( e^{−x^2} \nonumber\) не має елементарного антипохідного і тому не може бути оцінений. Використовуючи функцію програмування наукового калькулятора або математичного комп'ютерного програмного забезпечення, отримаємо\( \int\limits_85^115 \frac{1}{15\sqrt{2π}}e^{−(x−100)^2}{(2(15)^2)} dx≈0.68 \nonumber\). Тобто,\( P(85≤x≤115)≈68% \nonumber\)

    Що говорить про те, що 68% населення має показник IQ між 85 і 115.

    Щоб виміряти ймовірність того, що людина, вибрана випадковим чином, матиме показник IQ вище 140,\( P(x≥140)= \int\limits_{140}^\infty \frac{1}{15\sqrt{2π}}e^{\frac{−(x−100)^2}{(2(15)^2)}} dx \nonumber\)

    Цей інтеграл ще важче інтегрувати, оскільки він є неправильним інтегралом. Щоб уникнути безладної роботи, ми можемо стверджувати, що, оскільки вкрай рідко зустріти когось із оцінкою IQ понад 200, ми можемо наблизити інтеграл від 140 до 200 Тоді

    \( P(x≥140) = \int\limits_{140}^{200} \frac{1}{15\sqrt{2π}}e^{\frac{−(x−100)^2}{(2(15)^2)}} dx \nonumber\)

    Інтегруючи чисельно, отримуємо P (x≥140) ≈0,0039.

    Так що ймовірність вибору випадковим чином людини з балом IQ вище 140 становить 0,0039. Це приблизно одна людина на кожні 250 осіб!

    Рецензія

    Для #1 -4 знайдіть число r, яке робить функцію функцією щільності ймовірності над заданим простором вибірки.

    1. \( f(x)=r \nonumber\)над простором зразка [-7, 7].
    2. \( f(x)=rx(x−5) \nonumber\)над простором вибірки [0, 5].
    3. \( f(x)= \frac{r}{(1+x)^2} \nonumber\)над простором вибірки [0, 25].
    4. \( f(x)=rsinx \nonumber\)над простором зразка\( [0, \frac{π}{2}] \nonumber\).
    5. З огляду на трикутну функцію щільності ймовірності g (x) над простором вибірки [0, 10], яке найбільше значення g (x), якщо воно виникає при x=7?
    6. Чи може функція\( g(x)=\frac{−4}{25}x+0.9 \nonumber\) бути функцією щільності ймовірності за інтервал [0, 10]?
    7. Припустимо, f (x) - функція щільності ймовірності за час життя лампочки виробника, де x вимірюється годинами. Поясніть значення кожного інтеграла.
      1. \( \int_1000^5000 f(x)dx \nonumber\)
      2. \( \int_3000^∞ f(x)dx \nonumber\)
    8. Припустимо\( f(x)=−\frac{1}{36}(x^2−9) \nonumber\), функція щільності ймовірності для часу виникнення події у часовому вікні [-3, +3 години] (0 - це час виникнення). Яка ймовірність того, що подія відбудеться протягом ±1 години від очікуваного часу?
    9. Для проблеми #8, яке часове вікно гарантує 90% ймовірності виникнення?
    10. Тривалість часу, який клієнт проводить в очікуванні, поки його/її entree буде подано в певному ресторані, моделюється функцією експоненціальної щільності\( f(x)=0.125e^{−0.125t} \nonumber\), де\( \frac{1}{0.125}=8\nonumber\) середній час очікування в хвилинах.
      1. Яка ймовірність того, що клієнт обслуговується в перші 3 хвилини?
      2. Яка ймовірність того, що клієнту доведеться чекати більше 10 хвилин?
    11. Середній зріст дорослої самки в Лос-Анджелесі становить 63,4 дюйма (5 футів, 3,4 дюйма) зі стандартним відхиленням 3,2 дюйма.
      1. Яка ймовірність того, що зростання самки менше 63,4 дюйма?
      2. Яка ймовірність того, що зростання самки становить від 63 до 65 дюймів?
      3. Яка ймовірність того, що зростання самки більше 6 футів?
      4. Яка ймовірність того, що зростання самки рівно 5 футів?
      5. Медіана розподілу з функцією щільності ймовірності f (x), є значенням M таким, що\( \int_{-∞}^M f(x)dx=0.5 \nonumber\). Половина значень розподілу буде вище M, а половина - нижче М. Знайдіть серединне значення для кожної з наступних функцій щільності ймовірності:
    12. \( f(x)=−\frac{1}{36} (x^2−9) \nonumber\)за інтервал [-3, 3].
    13. \( f(x)=0.125e^{−0.125t} \nonumber\)за інтервал [0, ∞).
      1. Середнє значення розподілу з функцією щільності ймовірності f (x), є значенням, заданою\( \int_{−∞}^∞ xf(x)dx \nonumber\). Знайдіть середнє значення для кожної з наступних функцій щільності ймовірності:
    14. \( f(x)=−\frac{1}{36}(x^2−9) \nonumber\)за інтервал [-3, 3].
    15. \( f(x)=0.125e^{−0.125t}  \nonumber\)за інтервал [0, ∞).

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.10.

    Лексика

    Термін Визначення
    Функція густини ймовірності Гаусса Нормальний (гаусовий) pdf - це безперервний pdf, який визначається f (x) =1σ 2π√e - (x−μ) 2 (2σ 2), де μ - середнє, а σ - стандартне відхилення.
    означають Середнє значення розподілу з функцією густини ймовірності f (x) - це значення, задане −∞ xf (x) dx.
    медіана Медіаною розподілу з функцією густини ймовірності f (x) є значенням M таким, що −∞ Mf (x) dx=0,5. Половина значень розподілу буде вище М, а половина - нижче М.
    нормальна функція щільності ймовірності Нормальний (гаусовий) pdf - це безперервний pdf, який визначається f (x) =1σ 2π√e - (x−μ) 2 (2σ 2), де μ - середнє, а σ - стандартне відхилення.
    pdf Функція f (x) називається функцією щільності ймовірності (pdf), якщо f (x) ≥0 для всіх x площа під графіком f (x) над усіма дійсними числами дорівнює рівно 1, а ймовірність того, що x знаходиться в інтервалі [a, b] дорівнює P (a≤x≤b) =abf (x) dx.
    Імовірність Імовірність - це шанс, що щось трапиться. Його можна записати як дріб, десятковий або відсоток.
    функція щільності ймовірності Функція f (x) називається функцією щільності ймовірності, якщо f (x) ≥0 для всіх x площа під графіком f (x) над усіма дійсними числами дорівнює рівно 1, а ймовірність того, що x знаходиться в інтервалі [a, b] дорівнює P (a≤x≤b) =abf (x) dx.
    трикутна функція щільності ймовірності Трикутна функція щільності ймовірності (pdf) - це безперервний pdf, трикутна форма якого визначається трьома значеннями x: нижнім значенням, значенням режиму з найбільшим значенням розподілу та верхнім значенням.
    рівномірна функція щільності ймовірності Рівномірна (або прямокутна, плоска) функція щільності ймовірності (pdf) P (x) - це безперервний розподіл, де кожен рівний інтервал x має однакову ймовірність.