Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Нескінченний тип межі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54350

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Більшість функцій продовжуються за межами вікна перегляду в нашому калькуляторі або комп'ютері. Люди часто малюють стрілку поруч з пунктирною лінією, щоб конкретно позначити візерунок. Як можна розпізнати ці асимптоти?

    Асимптоти та кінцева поведінка функцій

    Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, така як x = 1, яка вказує на те, де функція не визначена і все ж стає нескінченно близькою до.

    Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, така як y = 4, яка вказує, де функція згладжується, коли x стає дуже великим або дуже маленьким. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.

    Реципрокна функція має два асимптоти, один вертикальний і один горизонтальний. Більшість комп'ютерів та калькуляторів не малюють асимптоти, тому їх потрібно вставляти вручну у вигляді пунктирних ліній.

    Знімок екрана 2020-09-03 о 10.42.18 AM.png

    Фонд СК-12 - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Boston_Police_Special_Operations_Unit.jpg - CC BY-SA

    Багато студентів мають помилкове уявлення про те, що асимптота - це лінія, до якої функція стає нескінченно близькою, але не торкається. Це неправда. Візьміть наступну функцію:

    Знімок екрана 2020-09-03 о 10.44.53 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    Графік, здається, згладжується, коли x збільшується. Таким чином, горизонтальна асимптота дорівнює y=0, хоча функція чітко проходить через цей рядок нескінченну кількість разів.

    Причина, чому асимптоти важливі, полягає в тому, що коли ваша перспектива збільшена, асимптоти по суті стають графом.

    Знімок екрана 2020-09-03 о 10.47.29 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    Щоб знайти асимптоти та кінцеву поведінку функції нижче, вивчіть, що відбувається з x та y, коли вони збільшуються або зменшуються.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.31.43 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    Функція має горизонтальну асимптоту y=2, оскільки x наближається до негативної нескінченності. Існує вертикальна асимптота при x = 0. Права сторона, здається, зменшується назавжди і не має асимптоти.

    Зверніть увагу, що похилі асимптоти існують і називаються косими асимптотами.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, як визначити асимптоти на графіку. Асимптоти, написані від руки, зазвичай ідентифікуються пунктирними лініями поруч з функцією, які вказують, як функція буде вести себе поза вікном перегляду. Рівняння цих вертикальних і горизонтальних пунктирних ліній мають вигляд x =. Коли задачі просять вас знайти асимптоти функції, вони запитують рівняння цих горизонтальних і вертикальних ліній.

    Приклад 2

    Визначте горизонтальні та вертикальні асимптоти наступної функції.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.35.49 AM.png

    Фонд СК-12 - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Boston_Police_Special_Operations_Unit.jpg - CC BY-SA

    Існує вертикальна асимптота при x = 0. Оскільки x стає нескінченно малим, існує горизонтальна асимптота у y=−1. Оскільки x стає нескінченно великим, існує ще одна горизонтальна асимптота при y = 1.

    Приклад 3

    Визначте горизонтальні та вертикальні асимптоти наступної функції.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.37.30 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    Існує вертикальна асимптота при x = 2. Коли x стає нескінченно малим, існує горизонтальна асимптота у y=−1. Коли x стає нескінченно великим, існує горизонтальна асимптота при y = 1.

    Приклад 4

    Визначте горизонтальні та вертикальні асимптоти наступної кускової функції:

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.38.05 AM.png

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.38.10 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    Існує горизонтальна асимптота у y=−1, оскільки x стає нескінченно малим. Це пов'язано з тим, що e підвищений до потужності дуже невеликого числа стає 0.000000... і в основному стає нулем.

    Приклад 5

    Визначте асимптоти та кінцеву поведінку наступної функції.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.44.13 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    Існує вертикальна асимптота при x = 0. Поведінка кінця правої та лівої частини цієї функції не збігається. Горизонтальна асимптота, коли x наближається до негативної нескінченності, дорівнює y = 0, а горизонтальна асимптота, коли x наближається до позитивної нескінченності, дорівнює y На даний момент ви можете оцінити ці висоти лише тому, що вам не було надано функції або інструменти для аналітичного пошуку цих значень.

    Рецензія

    Визначте асимптоти та кінцеву поведінку наступних функцій.

    1. у = х

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.50.17 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    2. р = х 2


    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.50.53 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    3. р = х 3

    Знімок екрана 2020-09-16 о 9.51.31 AM.png

    Фонд СК-12 - http://classconnection.s3.amazonaws.com/753/flashcards/449753/png/screen_shot_2011-09-21_at_8.07.32_pm1316650094429.png - CC BY-SA

    4. р=х 0,5

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.11.50 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    5. У = 1 /х

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.13.02 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    6. р=е х

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.13.30 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    7. у = лн (х)

    Знімок екрана 2020-09-16 о 21.10.15 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    8. y= 1/1+е −х

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.21.57 AM.png

    Фонд CK-12; Паула Еванс; Роб Янг - https://www.flickr.com/photos/rob-young/1149735229/; https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Will_%26_Grace_Apartment_Building_(1149735229).jpg - CC BY-SA; CC BY-NC-SA

    9.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.22.32 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    10.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.23.30 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    11.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 10.24.14 AM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-SA

    12. Вертикальні асимптоти виникають при значеннях x, де функція не визначена. Поясніть, чому має сенс, що y= 1/x має вертикальну асимптоту при x = 0.

    13. Вертикальні асимптоти виникають при значеннях x, де функція не визначена. Поясніть, чому має сенс, що y= 1/ x+3 має вертикальну асимптоту при x = −3.

    14. Скористайтеся технікою попередньої задачі для визначення вертикальної асимптоти функції y= 1/x−2.

    15. Скористайтеся технікою з задачі #13 для визначення вертикальної асимптоти для функції y= 2/ x+4.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.9.

    Лексика

    Термін Визначення
    Асимптотичний Функція є асимптотичною до заданого рядка, якщо даний рядок є асимптотою функції.
    Горизонтальна асимптота Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, яка вказує, де функція згладжується, оскільки незалежна змінна стає дуже великою або дуже маленькою. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.
    коса асимптота Коса асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але, як правило, ніколи не досягати. Коса асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь більше знаменника. Коса асимптота може бути виявлена через довгий поділ.
    Косий асимптот Коса асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але, як правило, ніколи не досягати. Коса асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь більше знаменника. Коса асимптота може бути виявлена через довгий поділ.
    Кусково функція Кусково функція - це функція, яка об'єднує дві або більше частин інших функцій для створення нової функції.
    похила асимптота Похила асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне. Схильна асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь перевищує знаменник. Похила асимптота може бути виявлена через довгий поділ.
    Вертикальна асимптота Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, що позначає певне значення, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне.

    Додаткові ресурси

    PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - питання про асимптоти та кінцеву поведінку

    Відео: Введення в ліміти

    Практика: Нескінченний тип межі

    Реальний світ: межі швидкості