Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Межі за участю радикальних функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54346

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Існує багато проблем, які передбачають взяття n-го кореня змінного виразу, тому природно, що іноді може виникнути необхідність знайти межу функції, що включає радикальні вирази, використовуючи квадратні або кубові корені або інші корені. Чи вважаєте ви, що знаходження межі функції за участю радикалів буде чимось іншим, ніж знаходження межі поліноміальних або раціональних функцій? Чи можете ви придумати будь-які способи, якими радикали можуть представляти різні проблеми, ніж поліноми?

    Межі з радикальними функціями

    При оцінці межі, що включає радикальну функцію, використовуйте пряму підстановку, щоб побачити, чи можна оцінити ліміт, коли це можливо. Якщо ні, потрібно вивчити інші методи оцінки межі.

    Візьміть наступну функцію

    Знімок екрана 2020-09-17 о 4.28.15 PM.png

    Знімок екрана 2020-09-17 о 4.28.40 PM.png

    Тому

    Знімок екрана 2020-09-17 о 4.29.21 PM.png

    які можна було б визначити шляхом безпосередньої оцінки f (x) при x = 9, тобто за допомогою прямої підміни.

    Тепер знайдіть

    Знімок екрана 2020-09-17 о 4.30.06 PM.png

    В обох перерахованих вище випадках для оцінки лімітів може бути використана пряма заміна, і немає необхідності в альтернативних методах.

    Погляньте на функцію

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.32.48 PM.png

    Спочатку ми помічаємо, що ми повинні виключити x = − 5/7 при будь-якій оцінці. Використання прямої підстановки для знаходження граничних результатів у невизначеному вигляді ∞/∞. Щоб перетворити радикальний вираз в кращу форму, використовуйте той факт, що значення x збирається до більших і більших позитивних значень. Це дозволяє виконати наступне:

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.37.55 PM.png

    Тому

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.38.40 PM.png

    Тепер знайдіть

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.39.06 PM.png

    Рішення оцінки межі при негативній нескінченності аналогічно вищеописаному підходу, за винятком того, що x завжди негативний.

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.40.03 PM.png

    Тому.

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.45.28 PM.png

    Поки що вам вдалося знайти межу раціональних функцій за допомогою методів, показаних раніше. Однак бувають випадки, коли це неможливо. Візьміть функцію

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.47.58 PM.png

    Знайти

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.48,17 PM.png

    Використовуючи пряму підстановку, щоб знайти граничні результати в невизначеному вигляді 00. Для того, щоб оцінити межу, нам потрібно перетворити вираз, щоб видалити невизначену форму. Це досягається за допомогою співвідношення різниці квадратів дійсних чисел: x 2 −y 2 =( x+y) (x−y).

    Потім ми переписуємо і спрощуємо оригінальну функцію наступним чином:

    Знімок екрана 2020-09-17 у 4.59.44 PM.png

    Використовуйте факторинг різниці квадратів, щоб видалити 0 у знаменнику.

    Звідси

    Знімок екрана 2020-09-17 о 5.00.57 PM.png

    Тепер знайдіть кінцеву поведінку тієї ж функції, тобто знайти

    Знімок екрана 2020-09-17 на 5.01.34 PM.png

    Коли x збільшується до великих позитивних значень, функція набуває невизначену форму ∞/∞. Наведене вище перетворення також може бути використано для оцінки межі (Підхід 1), а також методики, яка використовується при оцінці раціональних функцій (Підхід 2).

    Знімок екрана 2020-09-17 о 5.06.29 PM.png

    Звідси

    Знімок екрана 2020-09-17 на 5.49.56 PM.png

    Нарешті, знайдіть

    Знімок екрана 2020-09-17 о 6.04.41 PM.png

    Рішення цієї проблеми полягає в тому, що обмеження не існує, оскільки домен h (x) не включає x<0.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чи можна використовувати методи оцінки меж за участю поліномів і раціональних функцій для пошуку меж радикальних функцій. Деякі методи дійсно працюють для радикальних функцій. Використання прямого заміщення - поширений метод. Перетворення невизначеної або невизначеної форми шляхом знаходження та скасування загальних факторів у чисельнику та знаменнику, або факторингу та спрощення величини змінних найвищого ступеня представляють загальні підходи.

    Однією з примітних відмінностей між поліноміальними та радикальними функціями є те, що область поліномів може включати всі дійсні значення незалежної змінної, але область радикальних функцій, наприклад, x√, обмежена.

    Приклад 2

    Знайти

    Знімок екрана 2020-09-22 на 5.52.44 PM.png

    Використання прямої підстановки для знаходження межі функції призводить до невизначеної форми 0/0. Щоб перетворити радикальний вираз в кращу форму, виконайте наступне:

    Знімок екрана 2020-09-22 о 6.10.50 PM.png

    ... Раціоналізувати чисельник: помножити на сполучений чисельник

    Тому

    Знімок екрана 2020-09-22 о 6.22.13 PM.png

    Рецензія

    Знайдіть кожне з наступних обмежень, якщо вони існують.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 6.22.42 PM.png

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    невизначені У математиці вираз є невизначеною, якщо вона точно не визначена. Існує сім невизначених форм: 0/0, 0⋅∞, ∞/∞, ∞ 0, ∞ 0 та 1^\ infty.
    межа Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
    радикальна функція Радикальні функції - це функції, які містять n-е коріння змінних виразів.

    Додаткові ресурси

    Відео: Межі та нескінченність

    Практика: Межі за участю радикальних функцій

    Реальний світ: Маверік Серфери