Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Межі поліноміальних і раціональних функцій

  • Page ID
    54349
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Функції поліномів

    Нагадаємо, що функція f (x) поліноміальна функція, якщо вона задовольняє:

    \[f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\]

    для всіх x, де n - невід'ємне ціле число і\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),...,\(a_n\) - постійні коефіцієнти.

    Для оновлення скористайтеся властивостями limit, щоб знайти межу (x 2 −3x+4) як x→20, тобто обмеження, коли x наближається до певного значення.

    Функція є поліном, квадратичним тріноміалом, який наведено на графіку нижче, і може розглядатися як сума трьох функцій. Це означає, що ми можемо використовувати правило «межа суми - це сума лімітів» при визначенні ліміту.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.18.18 AM.png

    CC ЗА NC-SA

    Оскільки многочлен можна розглядати як суму трьох функцій, ми можемо використовувати властивість «межа суми - сума меж» при визначенні межі.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.18.48 AM.png

    Зауважте, що значення цієї межі можна було знайти шляхом прямої підстановки x=1 у поліноміальній функції.

    Тепер знайдіть

    \[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-3 x+4\right)\]

    тобто межа як х наближається до нескінченності. Це дивлячись на поведінку кінця.

    Поліном можна розглядати як добуток двох функцій. Це означає, що ми можемо використовувати правило «межа добутку функцій - добуток меж кожної функції» при визначенні межі.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.19.56 AM.png

    Тому,

    \[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-3 x+4\right)=\infty.\]

    Подібна оцінка показує, що

    \[\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2}-3 x+4\right)=\infty.\]

    Така поведінка зображує той факт, що кінцева поведінка многочленів йде як термін з найвищим ступенем, а значення ростуть без обмежень.

    Результати цих двох прикладів можна узагальнити до наступних властивостей:

    Задано поліноміальну функцію f (x) =p (x):

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.21.31 AM.png

    Раціональні функції

    Тепер розглянемо межі раціональних функцій. Раціональна функція - це відношення двох многочленів. У випадку з єдиною змінною, x, функція називається раціональною функцією тоді і тільки тоді, коли її можна записати у вигляді:

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.31.02 AM.png

    де P (x) і Q (x) - поліноміальні функції в x, а Q (x) ненульові. Домен f - це множина всіх значень x, для яких знаменник Q (x) не дорівнює нулю.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.31.24 AM.png

    Функція показана на графіку нижче.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.31.45 AM.png

    CC ЗА NC-SA

    Відзначимо спочатку, що знаменник раціональної функції не дорівнює нулю при значенні x=10. Отже, правило частки може бути використано для початку оцінки функції наступним чином:

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.47.29 AM.png

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.47.35 AM.png

    Зауважте, що оскільки знаменник не дорівнює 0 при x=10, межа могла бути знайдена шляхом прямої підстановки x=10 у раціональній функції.

    Тепер знайдіть кінцеву поведінку тієї ж функції, тобто знайти

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.49.05 AM.png

    Наступні кроки використовуються для оцінки межі при наближенні x до нескінченності.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.49.40 AM.png

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.50.27 AM.png

    Наведені вище завдання ілюструють оцінку межі раціональної функції при значенні x, для якого знаменник не дорівнює 0. Іноді знаходження межі раціональної функції f (x) при деякій x=a може спричинити за собою більше роботи, ніж просто пряма заміна, оскільки знаменник дорівнює нулю при x=a Що робити, якщо знаменник дорівнює 0?

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.50.53 AM.png

    Зверніть увагу, що функція тут невизначена при x = 2, так що пряма заміна не працює. Однак у цьому випадку можна прибрати нуль у знаменнику шляхом факторингу чисельника та скасування множника (x−2) як з чисельника, так і від знаменника.

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.56.25 AM.png

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.56.29 AM.png

    Факторинг чисельника, показаного вище, а потім скасування будь-яких загальних факторів у знаменнику, є загальною методикою, яка використовується для пошуку меж раціональних функцій в точках, де знаменник дорівнює 0. Завжди перевіряйте, чи можна спростити функцію, щоб видалити нуль у знаменнику, особливо скасувавши загальний коефіцієнт, який знімає розрив.

    Тепер знайдіть

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.57.22 AM.png

    Ми дивимося на кінцеву поведінку функції, коли х переходить до нескінченності наступним чином:

    Знімок екрана 2020-09-16 о 11.57.48 AM.png

    Тому,

    \[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-4}{x-2}=\infty\]

    Поведінка кінця, коли x переходить до −∞, може бути визначена за аналогічним підходом і вважається −∞.

    Визначення межі раціональних функцій

    Для раціональної функції f (x) = p (x)/q (x) та будь-якого дійсного числа a,

    \[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\frac{p(a)}{q(a)}\) if \(q(a) \neq 0\]

    Якщо q (a) =0, то функція може мати або не мати обмеження.

    Для раціональної функції

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.00.14 PM.png


    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитували про відповідні труднощі знаходження межі поліноміальних і раціональних функцій. Знайти межу поліноміальної функції відносно легко, оскільки поліноміальну функцію можна оцінити при будь-якому значенні незалежної змінної, так що межа при певному значенні може бути оцінена шляхом прямої підстановки. Межа, як незалежна змінна досягає ±∞, становить лише ± ∞ залежно від того, чи є ступінь многочлена парною чи непарною.

    Оцінити межу раціональної функції може бути складніше, оскільки пряме заміщення може призвести до невизначеної або невизначеної форми, що вимагає іншого підходу, а межа, як незалежна змінна, переходить на ±∞, залежить від того, яка більша, ступінь полінома чисельника або ступінь знаменник многочлен.

    Приклад 2

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.01.07 PM.png

    Чисельник і знаменник дорівнюють нулю при x=3, але є загальний множник x−3, який можна видалити (тобто ми можемо спростити раціональну функцію):

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.11.18 PM.png

    Приклад 3

    Знайти

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.12.05 PM.png

    знайти

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.12.05 PM.png

    ... Почніть з факторингу чисельника

    Оскільки ми маємо (x−1) як у чисельнику, так і у знаменнику, ми знаємо, що початкова функція дорівнює лише −5x−4, за винятком випадків, коли вона не визначена (1).

    Тому чим ближче ми підходимо до введення 1, тим ближче ми підходимо до того ж значення, будь то з боку + або -.

    Щоб знайти значення, досить вирішити

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.13.01 PM.png

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.13.05 PM.png

    Приклад 4

    Знайти

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.15.53 PM.png

    знайти

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.15.53 PM.png

    ... Почніть з факторингу чисельника

    Оскільки ми маємо (x+2) як у чисельнику, так і у знаменнику, ми знаємо, що вихідна функція дорівнює лише −x−4

    Тому чим ближче ми підходимо до підстановки -2, тим ближче ми потрапляємо до того ж вихідного значення, будь то з боку + або -.

    Щоб знайти значення, просто розв'яжіть −x−4 для x=−2

    Знімок екрана 2020-09-16 о 12.16.54 PM.png


    Рецензія

    Вирішіть наступні межі раціональної функції.

    Знімок екрана 2020-09-16 в 1.00.34 PM.png

    Знімок екрана 2020-09-16 в 1.00.43 PM.png


    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.5.


    Лексика

    Термін Визначення
    переривчастий Функція є переривчастою, якщо функція виявляє розриви або дірки при графіку.
    межа Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
    Функція полінома Поліноміальна функція - це функція, визначена виразом з принаймні одним алгебраїчним терміном.
    Раціональна функція Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.

    Додаткові ресурси

    PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - оцінюйте межі раціональних функцій

    Відео: Приклади обмежень

    Практика: Межі поліноміальних і раціональних функцій

    Реальний світ: Вебслінгери