2.3: Межі поліноміальних і раціональних функцій
- Page ID
- 54349
Функції поліномів
Нагадаємо, що функція f (x) поліноміальна функція, якщо вона задовольняє:
\[f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\]
для всіх x, де n - невід'ємне ціле число і\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),...,\(a_n\) - постійні коефіцієнти.
Для оновлення скористайтеся властивостями limit, щоб знайти межу (x 2 −3x+4) як x→20, тобто обмеження, коли x наближається до певного значення.
Функція є поліном, квадратичним тріноміалом, який наведено на графіку нижче, і може розглядатися як сума трьох функцій. Це означає, що ми можемо використовувати правило «межа суми - це сума лімітів» при визначенні ліміту.
CC ЗА NC-SA
Оскільки многочлен можна розглядати як суму трьох функцій, ми можемо використовувати властивість «межа суми - сума меж» при визначенні межі.
Зауважте, що значення цієї межі можна було знайти шляхом прямої підстановки x=1 у поліноміальній функції.
Тепер знайдіть
\[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-3 x+4\right)\]
тобто межа як х наближається до нескінченності. Це дивлячись на поведінку кінця.
Поліном можна розглядати як добуток двох функцій. Це означає, що ми можемо використовувати правило «межа добутку функцій - добуток меж кожної функції» при визначенні межі.
Тому,
\[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2}-3 x+4\right)=\infty.\]
Подібна оцінка показує, що
\[\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2}-3 x+4\right)=\infty.\]
Така поведінка зображує той факт, що кінцева поведінка многочленів йде як термін з найвищим ступенем, а значення ростуть без обмежень.
Результати цих двох прикладів можна узагальнити до наступних властивостей:
Задано поліноміальну функцію f (x) =p (x):
Раціональні функції
Тепер розглянемо межі раціональних функцій. Раціональна функція - це відношення двох многочленів. У випадку з єдиною змінною, x, функція називається раціональною функцією тоді і тільки тоді, коли її можна записати у вигляді:
де P (x) і Q (x) - поліноміальні функції в x, а Q (x) ненульові. Домен f - це множина всіх значень x, для яких знаменник Q (x) не дорівнює нулю.
Функція показана на графіку нижче.
CC ЗА NC-SA
Відзначимо спочатку, що знаменник раціональної функції не дорівнює нулю при значенні x=10. Отже, правило частки може бути використано для початку оцінки функції наступним чином:
Зауважте, що оскільки знаменник не дорівнює 0 при x=10, межа могла бути знайдена шляхом прямої підстановки x=10 у раціональній функції.
Тепер знайдіть кінцеву поведінку тієї ж функції, тобто знайти
Наступні кроки використовуються для оцінки межі при наближенні x до нескінченності.
Наведені вище завдання ілюструють оцінку межі раціональної функції при значенні x, для якого знаменник не дорівнює 0. Іноді знаходження межі раціональної функції f (x) при деякій x=a може спричинити за собою більше роботи, ніж просто пряма заміна, оскільки знаменник дорівнює нулю при x=a Що робити, якщо знаменник дорівнює 0?
Зверніть увагу, що функція тут невизначена при x = 2, так що пряма заміна не працює. Однак у цьому випадку можна прибрати нуль у знаменнику шляхом факторингу чисельника та скасування множника (x−2) як з чисельника, так і від знаменника.
Факторинг чисельника, показаного вище, а потім скасування будь-яких загальних факторів у знаменнику, є загальною методикою, яка використовується для пошуку меж раціональних функцій в точках, де знаменник дорівнює 0. Завжди перевіряйте, чи можна спростити функцію, щоб видалити нуль у знаменнику, особливо скасувавши загальний коефіцієнт, який знімає розрив.
Тепер знайдіть
Ми дивимося на кінцеву поведінку функції, коли х переходить до нескінченності наступним чином:
Тому,
\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-4}{x-2}=\infty\]
Поведінка кінця, коли x переходить до −∞, може бути визначена за аналогічним підходом і вважається −∞.
Визначення межі раціональних функцій
Для раціональної функції f (x) = p (x)/q (x) та будь-якого дійсного числа a,
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\frac{p(a)}{q(a)}\) if \(q(a) \neq 0\]
Якщо q (a) =0, то функція може мати або не мати обмеження.
Для раціональної функції
Приклади
Приклад 1
Раніше вас запитували про відповідні труднощі знаходження межі поліноміальних і раціональних функцій. Знайти межу поліноміальної функції відносно легко, оскільки поліноміальну функцію можна оцінити при будь-якому значенні незалежної змінної, так що межа при певному значенні може бути оцінена шляхом прямої підстановки. Межа, як незалежна змінна досягає ±∞, становить лише ± ∞ залежно від того, чи є ступінь многочлена парною чи непарною.
Оцінити межу раціональної функції може бути складніше, оскільки пряме заміщення може призвести до невизначеної або невизначеної форми, що вимагає іншого підходу, а межа, як незалежна змінна, переходить на ±∞, залежить від того, яка більша, ступінь полінома чисельника або ступінь знаменник многочлен.
Приклад 2
Чисельник і знаменник дорівнюють нулю при x=3, але є загальний множник x−3, який можна видалити (тобто ми можемо спростити раціональну функцію):
Приклад 3
Знайти
знайти
... Почніть з факторингу чисельника
Оскільки ми маємо (x−1) як у чисельнику, так і у знаменнику, ми знаємо, що початкова функція дорівнює лише −5x−4, за винятком випадків, коли вона не визначена (1).
Тому чим ближче ми підходимо до введення 1, тим ближче ми підходимо до того ж значення, будь то з боку + або -.
Щоб знайти значення, досить вирішити
Приклад 4
Знайти
знайти
... Почніть з факторингу чисельника
Оскільки ми маємо (x+2) як у чисельнику, так і у знаменнику, ми знаємо, що вихідна функція дорівнює лише −x−4
Тому чим ближче ми підходимо до підстановки -2, тим ближче ми потрапляємо до того ж вихідного значення, будь то з боку + або -.
Щоб знайти значення, просто розв'яжіть −x−4 для x=−2
Рецензія
Вирішіть наступні межі раціональної функції.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
переривчастий | Функція є переривчастою, якщо функція виявляє розриви або дірки при графіку. |
межа | Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення. |
Функція полінома | Поліноміальна функція - це функція, визначена виразом з принаймні одним алгебраїчним терміном. |
Раціональна функція | Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій. |
Додаткові ресурси
PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - оцінюйте межі раціональних функцій
Відео: Приклади обмежень
Практика: Межі поліноміальних і раціональних функцій
Реальний світ: Вебслінгери