1.5: Оцініть ліміти за допомогою підміни

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.4: Межі композитних функцій
- 1.6: Властивості ліміту

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Знайти межі для переважної більшості точок для даної функції так само просто, як підставити число, яке х наближається до функції. Оскільки це перетворює оцінку лімітів на заміну рівня алгебри, більшість питань, пов'язаних з обмеженнями, зосереджуються на тих випадках, коли заміна не працює. Як ви можете вирішити, чи є підміна відповідним аналітичним інструментом для пошуку ліміту?

Використання підміни для пошуку лімітів

Знаходження межі аналітично означає знаходження межі за допомогою алгебраїчних засобів. Для того щоб оцінити багато меж, можна підставити значення, яке наближається x, в функцію і оцінити результат. Це чудово працює, коли немає дірок або асимптотів у цьому конкретному значенні x. Ви можете бути впевнені, що цей метод працює до тих пір, поки ви не ділитеся на нуль при заміні.

Якщо функція f (x) не має дірок або асимптоти при x = a, то:

Знімок екрана 2020-08-19 о 6.19.34 PM.png

Іноді буде отвір у x=a. Межею у цьому випадку є висота функції, якщо отвір не існувало. Іншими словами, якщо функція є раціональним виразом з факторами, які можна скасувати, скасуйте термін алгебраїчно і потім підставляйте в отриманий вираз. Якщо жоден фактор не може бути скасований, можливо, межа не існує в цей момент через асимптоти.

Подивіться на наступні два обмеження:

Знімок екрана 2020-08-19 о 6.21.59 PM.png

Ліміт ліворуч не може бути оцінений прямою заміною, тому що якщо 2 підставляється в, то ви в кінцевому підсумку ділитеся на нуль.Обмеження праворуч можна оцінити за допомогою прямої підміни, оскільки отвір існує при x=2, а не x=3. Таким чином, межа становить:

Знімок екрана 2020-08-19 о 6.22.22 PM.png

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як визначити, чи варто використовувати підміну для вирішення ліміту. Для того, щоб вирішити, чи є підміна відповідним першим кроком, ви завжди можете просто спробувати. Ви будете знати, що це не спрацює, якщо ви в кінцевому підсумку спробуєте оцінити вираз зі знаменником, рівним нулю. Якщо це станеться, поверніться назад і спробуйте зарахувати і скасувати, а потім спробуйте замінити ще раз.

Приклад 2

Оцініть наступний ліміт, скасувавши спочатку, а потім скориставшись заміною.

Знімок екрана 2020-08-19 о 6.34.15 PM.png

Знімок екрана 2020-08-24 о 7.54,15 AM.png

Приклад 3

Аналітично оцініть наступну межу:

Знімок екрана 2020-08-24 в 7.55.46 AM.png

Знімок екрана 2020-08-24 в 7.56.38 AM.png

Приклад 4

Оцініть наступну межу аналітично.

Знімок екрана 2020-08-24 о 7.57,26 AM.png

Приклад 5

Оцініть наступну межу аналітично.

Знімок екрана 2020-08-24 в 7.59.43 AM.png

Рецензія

Аналітично оцініть наступні межі.

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.09.29 AM.png

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.4.

Лексика

Термін	Визначення
аналітично	Одним із способів аналітичної оцінки ліміту є заміщення. Заміна - це метод визначення меж, де значення, до якого наближається x, підставляється в функцію і оцінюється результат.
Асимптоти	Асимптота - це рядок на графіку функції, що представляє значення, до якого функція може наблизитися, але не досягати (за деякими винятками).
Отвір	На графіку раціональної функції існує дірка при будь-якому вхідному значенні, що призводить до того, що чисельник і знаменник функції дорівнюють нулю.
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.

Додаткові ресурси

Практика: Оцініть ліміти за допомогою підміни

Реальний світ: межі толерантності