1.6: Властивості ліміту

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.5: Оцініть ліміти за допомогою підміни
- 2: Ліміт - Типи лімітів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ви знайомі з ідеєю обмеження функції, і що деякі межі обчислюються за допомогою числових і графічних методів. Ліміти також можуть бути оцінені за допомогою властивостей лімітів. Як би ти знайшов

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.30.38 AM.png

без використання графіка або використання таблиці значень?

Властивості лімітів

Почнемо з деяких спостережень про межі деяких простих функцій. Розглянемо наступні граничні проблеми:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.31.42 AM.png

Відзначимо, що кожна з цих функцій визначена для всіх дійсних чисел. Якщо ми застосуємо свою інтуїцію для пошуку меж, ми правильно робимо висновок, що:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.33.13 AM.png

Наведені вище результати можуть бути інкапсульовані в таких граничних властивостях:

Основні граничні властивості:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.33.44 AM.png

Багато функцій можуть бути виражені у вигляді сум, відмінностей, добутків, коефіцієнтів, повноважень і коренів інших більш простих функцій. Наступні властивості також корисні при оцінці лімітів:

Додаткові основні граничні властивості:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.34.25 AM.png

Знаючи ці властивості, дозволяє оцінити межі широкого спектру функцій.

Візьмемо проблему:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.37.33 AM.png

Виходячи з вищезазначених властивостей, межа може бути оцінена в наступних кроках:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.38.01 AM.png

Тому:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.38.33 AM.png

Зауважте, що застосування базових граничних властивостей призводить, в даному випадку, до граничного значення, яке таке ж, як пряма заміна x=2 у функції.

Тепер оцініть

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.42.03 AM.png

Виходячи з властивостей лімітів, ліміт можна оцінити за наступними кроками:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.42.56 AM.png

Тому:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.43.31 AM.png

Знову ж таки, зауважте, що застосування основних граничних властивостей призводить, в даному випадку, до граничного значення, яке таке ж, як пряма заміна x=2 у функції.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.44.20 AM.png

без використання графіка або таблиці значень. Це випадок, коли пряма заміна для оцінки межі дає невизначену форму ⁰/₀. Але, зменшивши дріб і потім застосувавши основні граничні властивості вище, ми можемо оцінити ліміт:

Знімок екрана 2020-08-24 о 8.44.52 AM.png

Приклад 2

Оцінити

Знімок екрана 2020-08-24 в 9.40.37 AM.png

де f (x) - раціональна функція

Знімок екрана 2020-08-24 в 9.46.41 AM.png

Знімок екрана 2020-08-31 о 10.30.41 AM.png

Приклад 3

Знайдіть наступний ліміт, якщо він існує:

Знімок екрана 2020-08-31 о 11.07.43 AM.png

Давайте застосуємо основне правило частки, щоб оцінити цю межу.

Знімок екрана 2020-08-31 о 11.19.55 AM.png

Тому:

Знімок екрана 2020-08-31 о 11.32.39 AM.png

Знову ж таки, результат ліміту збігається з використанням прямої підміни x = −4 у функції.

Рецензія

Знімок екрана 2020-08-31 о 11.33.07 AM.png

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.3.

Лексика

Термін	Визначення
невизначені	У математиці вираз є невизначеною, якщо вона точно не визначена. Існує сім невизначених форм: ⁰/₀, 0⋅∞, ∞, ∞, ⁰, ∞ ⁰ та 1 ^∞.
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.

Додаткові ресурси

Практика: Властивості меж