9.25: Площа поверхні та об'єм сфер

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.24: Обсяг шишок
- 9.26: Площа поверхні сфер

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Виведіть і використовуйте формулу: об'єм дорівнює pi, $\dfrac{4}{3}$ кращому радіусу в кубі.

Сфери

Розглянемо суцільну фігуру, що складається з безлічі всіх точок в тривимірному просторі, які знаходяться на рівновіддаленому від однієї точки. Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?

Сфера - це сукупність всіх точок в тривимірному просторі, які знаходяться на рівній відстані від однієї точки. Радіус сфери має одну кінцеву точку на поверхні сфери, а іншу кінцеву точку в центрі цієї сфери. Діаметр сфери повинен містити центр.

F-д_д6901д 55б629c386c0641d1a93b432f521a443f41b631A635b57C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Велике коло є найбільшим круглим перетином у сфері. Окружність сфери - це окружність великого кола. Кожне велике коло ділить сферу на дві конгруентні півкулі .

F-д_Е8Е 831771893961 AE1E76F94C46 ДБ5С08А8ДБ8Д 5804Ф710Де4ДФ 93+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Площа поверхні

Площа поверхні - це двовимірне вимірювання, яке є загальною площею всіх поверхонь, які зв'язали тверде тіло. Основною одиницею площі є квадратна одиниця.

Площа поверхні сфери: $SA=4\pi r^{2}$

F-D_0DC BEF 245Б10Б2260Б202А695Б3958 ФДБ 04CD19C27C9EB245876CD6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Обсяг

Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з'ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об'єму є кубічна одиниця.

Обсяг сфери: $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть площу поверхні малюнка нижче, півсфери з круговим підставою.

Ф-д_1С8А850Ф4Б14Б8Е2Д4С602187936454А1578БА 198D1ФЕД 823EBD9A20+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Скористайтеся формулою для площі поверхні:

$\begin{aligned} SA&=\pi r^{2} +124\pi r^{2} \\ &=\pi (6^{2})+2\pi (6^{2}) \\&=36\pi +72\pi =108\pi \text{ cm}^{2}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Куля має об'єм 14 137.167 ft3. Що таке радіус?

Рішення

Скористайтеся формулою для обсягу, підключіть заданий обсяг і вирішіть для радіуса, r:

$\begin{aligned} V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ 14,137.167&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ \dfrac{3}{4\pi} \cdot 14,137.167&=r^{3} \\ 3375&\approx r^{3}\end{aligned}$

У цей момент вам потрібно буде взяти кубоподібний корінь 3375. У вашому калькуляторі може бути кнопка, яка виглядає як\ sqrt [3] {}, або ви можете скористатися $3375^{\dfrac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{3375}=15\approx r$

Приклад $\PageIndex{3}$

Окружність сфери становить 26\ pi футів. Що таке радіус сфери?

Рішення

Окружність відноситься до окружності великого кола.

Використання $C=2\pi r$ :

$\begin{aligned} 2\pi r&=26\pi \\ r&=13\text{ ft}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть площу поверхні сфери радіусом 14 футів.

Рішення

Скористайтеся формулою для площі поверхні:

$SA=4\pi (14)^{2}$

$=784\pi \text{ ft}^{2}$ \)

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайти обсяг сфери радіусом 6 м.

Рішення

Скористайтеся формулою обсягу:

$\begin{aligned} V&=\dfrac{4}{3}\pi 63 \\ &=\dfrac{4}{3}\pi (216) \\ &=288\pi \text{ m}^{3}\end{aligned}$

Рецензія

Чи існують поперечні перерізи сфери, які не є колом? Поясніть свою відповідь.
Перерахуйте всі частини сфери, які збігаються з колом.
Перерахуйте будь-які частини сфери, яких коло не має.

Для 4 - 11 знайдіть площу поверхні і обсяг сфери із заданим розмірністю. Залиште свою відповідь з точки зору $\pi$ .

радіусом 8 дюймів.
діаметром 18 см.
радіусом 20 футів.
діаметром 4 м.
радіусом 15 футів.
діаметром 32 дюйма.
окружності $26\pi \text{ cm}$ .
окружності $50\pi\text{ yds}$ .
Площа поверхні кулі дорівнює $121\pi \text{ in}^{2}$ . Що таке радіус?
Обсяг сфери є $47916\pi \text{ m}^{3}$ . Що таке радіус?
Площа поверхні кулі дорівнює $4\pi \text{ ft}^{2}$ . Що таке обсяг?
Обсяг сфери є $36\pi \text{ mi}^{3}$ . Яка площа поверхні?
Знайдіть радіус сфери, яка має об'єм $335 \text{ cm}^{3}$ . Округлите свою відповідь до найближчої сотої.
Знайдіть радіус сфери, яка має площу поверхні $225\pi \text{ ft}^{2}$ .

Знайдіть площу поверхні і обсяг наступної форми. Залиште свої відповіді в терміні\ pi.

Ф-д_1а4017Ф7СА67016ЕЕ13КБ88АФ 6770Ф13677Б6279Е728394ФЕ4ФЕ4С59ДА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.7.

Лексика

Термін	Визначення
діаметр	Хорда, яка проходить через центр кола. Довжина діаметра в два рази перевищує довжину радіуса.
Сфера	Сфера - це кругле тривимірне тверде тіло. Всі точки на поверхні сфери рівновіддалені від центру сфери.
Радіус	Радіус кола - це відстань від центру кола до краю кола.
Обсяг	Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.
Принцип Кавальєрі	Заявляється, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони будуть мати однаковий обсяг.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи сфер - Основні

Види діяльності: Сфери Питання обговорення

Навчальні посібники: Сфера навчальний посібник

Практика: Площа поверхні та об'єм сфер

Реальний світ: Де ми живемо!