9.24: Обсяг шишок

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.23: Площа поверхні конусів
- 9.25: Площа поверхні та об'єм сфер

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Об'єм дорівнює площі $\dfrac{1}{3}$ базового часу висоти.

Пошук об'єму конуса

Щоб розібратися в обсязі конуса, давайте спочатку розглянемо, як можна порівняти його з іншою солідною фігурою. Найближча суцільна фігура до конусу - циліндр. І конуси, і циліндри мають круглі підстави. Різниця між ними полягає в тому, що циліндр має дві круглі основи, конус має лише одну.

Ось циліндр і формула знаходження обсягу циліндра.

F-D_242CE1467A 200C1d7251B27556Ф27C9ФД3ДБ4А3137Е0623ФА53001+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крошечкою.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

$V&=\pi r^{2} h$

На зображенні нижче можна побачити, як пов'язані циліндр і конус:

Ф-д_001А8Б88С2Ф43С7Ф041ДК4Е79ЕА2180Б4Ф0АД Ф4Ф 4Ф0АД 4Ф1Ф7Е2Ф9С1280ДБД+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Щоб знайти об'єм конуса, ви використовуєте формулу, подібну до піраміди, за винятком того, що ви збираєтеся взяти до уваги, що основою конуса є коло. Тому вам потрібно буде знайти площу кола, щоб знайти обсяг конуса. Формула для площі кола є $\pi r^{2}$ . Візьміть цей вимір і помножте його на висоту конуса. Далі, оскільки конус заповнює частину циліндра, помножте виріб на третину.

$V&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

Давайте розглянемо приклад. Який обсяг конуса нижче?

F-д_3978d22226d822603CE64d9b729FCBC8647154E54C71d43FB96E1D50+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Спочатку підставляємо задані значення в формулу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(52)(7) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(25)(7) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(175)\\ V&=\dfrac{549.5}{3} \\ V&=183.16 \text{ in}^{3}\end{aligned}$

Відповідь - обсяг конуса - 183,16 кубічних дюймів.

Давайте розглянемо інший приклад. Знайдіть обсяг наступного конуса.

F-D_3ФД8634Д6А1ЕФ 41А5652Е04С53231733669кС0724А300Ф303СК 761F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Спочатку підставляємо задані значення в формулу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(3^{2})(12) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(9)(12) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(108) \\ V&=\dfrac{339.12}{3} \\ V&=113.04 cm^{3}\end{aligned}$

Обсяг конуса дорівнює $113.04\text{ cm}^3$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему щодо нових десертних чашок Франсін.

Їй потрібно з'ясувати обсяг морозива, який поміститься в одну десертну чашку. Діаметр чашки 3 дюйми, а висота - 6 дюймів.

Рішення

Спочатку знайдіть значення радіуса, діливши діаметр на 2, і підставити значення для пі, радіуса і висоти конуса в формулу об'єму конуса.

$\begin{aligned}r&=1.5 \\ r&=3\divide 2 \\ V&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(1.52)(6)\end{aligned}$

Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(1.52)(6) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(2.25)(6) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(13.5) \\ V&=42.393\end{aligned}$

Потім розділіть на 3 і запишіть відповідь, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.

$\begin{aligned}V&=42.393 \\ V&=14.13 \text{ in}^{3}\end{aligned}$

Відповідь - об'єм морозива, який заповнить конусоподібну пустельну чашку Франсін, становить 16,75 кубічних дюймів.

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть обсяг конуса радіусом 2 дюйми і висотою 4 дюйми.

Рішення

Спочатку підставляємо значення для пі, радіуса і висоти конуса в формулу об'єму конуса.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(2^{2})(4)\end{aligned}$

Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(2^{2})(4) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(4)(4) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(16) \\ V&=50.243\end{aligned}$

Потім розділіть на 3 і запишіть відповідь, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{50.24}{3} \\ V&=16.75 \text{ in}^{3}\end{aligned}$

Відповідь - обсяг конуса - 16,75 кубічних дюймів.

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть обсяг конуса радіусом 5 футів і висотою 8 футів.

Рішення

Спочатку підставляємо значення для пі, радіуса і висоти конуса в формулу об'єму конуса.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(52)(8)\end{aligned}$

Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(52)(8) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(25)(8) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(200) \\ V&=\dfrac{628}{3}\end{aligned}$

Потім розділіть на 3 і запишіть відповідь, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{628}{3} \\ V&=209.33 \text{ in}^{3}\end{aligned}$

Відповідь - обсяг конуса - 209,33 кубічних дюймів.

Приклад $\PageIndex{4}$

Конус радіусом 4 м і висотою 9 м.

Рішення

Спочатку підставляємо значення для пі, радіуса і висоти конуса в формулу об'єму конуса.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(4^{2})(9)\end{aligned}$

Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(4^{2})(9) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(16)(9) \\ V&=\dfrac{1}{3} (3.14)(144) \\ V&=\dfrac{452.16}{3}\end{aligned}$

Потім розділіть на 3 і запишіть відповідь, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.

$\begin{aligned} V&=\dfrac{452.16}{3} \\ V&=150.72 \text{ m}^{3}\end{aligned}$

Відповідь - обсяг конуса - 150,72 кубічних метра.

Рецензія

Знайдіть обсяг кожного конуса.

Конус радіусом 3 дюйми і висотою 7 дюймів.
Конус радіусом 5 футів і висотою 9 футів.
Конус радіусом 6 метрів і висотою 10 метрів.
Конус радіусом 10 дюймів і висотою 12 дюймів.
Конус радіусом 12 мм і висотою 14 мм.
Конус радіусом 5 футів і висотою 12 футів.
Конус радіусом 4,5 дюйма і висотою 7 дюймів.
Конус радіусом 3,5 дюйма і висотою 5,5 дюймів.
Конус радіусом 7 см і висотою 13 см.
Конус радіусом 8 см і висотою 11 см.
Конус радіусом 7,5 дюймів і висотою 11 дюймів.
Конус радіусом 11,5 дюйма і висотою 15 дюймів.
Конус радіусом 12,5 футів і висотою 15 футів.

Вирішити кожне слово завдання.

Конус має радіус 6 метрів і висоту 14 метрів. Який її обсяг?
Ємності глазурі для декоратора торта Тіни - це конуси. Кожен контейнер має радіус 2,4 дюйма і висоту 7 дюймів. Якщо Тіна купує контейнери червоної, жовтої та синьої глазурі, скільки глазурі вона придбає?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.15.

Лексика

Термін	Визначення
Конус	Конус - це суцільна об'ємна фігура з круглим підставою і однією вершиною.
Піраміда	Піраміда - це тривимірний об'єкт з основою, що представляє собою багатокутник і трикутні грані, що зустрічаються в одній вершині.
Обсяг	Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: визначаємо обсяг конуса

Практика: Обсяг шишок