9.26: Площа поверхні сфер

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.25: Площа поверхні та об'єм сфер
- 9.27: Обсяг сфер

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Площа поверхні від радіуса

Площа поверхні сфер

Ерін прикрашає піньяту у формі сфери рожевим будівельним папером. Кожна сфера має радіус 2,4 футів, а Ерін зробила чотири піньяти. Скільки будівельного паперу їй знадобиться, щоб покрити кожну піньяту повністю? Скільки їй буде потрібно в цілому?

У цьому понятті ви навчитеся обчислювати площу поверхні сфер.

Площа поверхні

Сфера - це суцільна фігура, яка існує в тривимірному просторі. Сфери складаються з усіх точок, які знаходяться на рівновіддаленому від центральної точки. Кожна точка на сфері - це відстань радіуса від центру. Сфери ідеально круглі.

Сфери не мають ніяких граней, тому що вони круглі. Тим не менш, ви можете думати про його поверхню як про плоску площину, яку ви можете розгорнути. Уявіть, що ви могли б обернути сферу в обгортковий папір, як подарунок. Кількість обгорткового паперу, необхідного для покриття фігури, точно представляє її площу поверхні.

Якби ви могли «розгорнути» сферу і показати її як прямокутник, прямокутник мав би ширину, еквівалентну діаметру сфери. Його довжина була б такою ж, як і окружність сфери (окружність - це відстань по колу). Тепер це дає вам щось, з чим ви можете працювати, тому що ви можете використовувати формулу площі для прямокутників, щоб знайти площу «розгорнутої» сфери.

Формула для площі прямокутників така: $A=lw$ .

Довжина - це окружність, тому формула стає:

$\begin{aligned} l&=C \\ C&=2\pi r \\ \therefore A&=2\pi r\times w\end{aligned}$

Тепер ширина дорівнює діаметру «рулону». Діаметр в два рази більше радіуса. Тепер ваша формула стає:

$\begin{aligned} w&=d \\ d&=2r \\ \therefore A&=2\pi r \times 2r \\ A&=4\pi r^{2}\end{aligned}$

Отже, формула, яку ви використовуєте для знаходження площі поверхні сфери, є $SA=4\pi r^{2}$ .

Все, що вам потрібно зробити, це підставити міру радіуса для r в формулу і вирішити для $SA$ , площа поверхні.

Давайте розглянемо приклад.

Яка площа поверхні кулі нижче?

По-перше, підставити те, що ви знаєте, у формулу площі поверхні.

$\begin{aligned} SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (8)^{2}\end{aligned}$

Далі за допомогою алгебри обчислити площу поверхні.

$\begin{aligned} SA&=4\pi (8)^{2} \\ SA&=4\pi (64) \\ SA&=256\pi \\ SA&=804.25\end{aligned}$

Відповідь - 804.25.

Площа поверхні сфери дорівнює $804.25 \text{ cm}^{2}$ .

Якщо ви хотіли зробити вимірювання більш точним, ви можете сказати, що площа поверхні є $256\pi \text{ cm}^{2}$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему щодо Ерін та її піньяти.

Рішення

Ерін хоче знати, скільки рожевого будівельного паперу їй потрібно, щоб прикрасити піньяту у формі сфери з радіусом 2,4 фута. Вона також хоче знати загальну суму для прикраси чотирьох піньят.

По-перше, підставити те, що ви знаєте, у формулу площі поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (2.4)^{2}\end{aligned}$

Далі за допомогою алгебри обчислити площу поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi (2.4)^{2} \\ SA&=4\pi (5.76) \\ SA&=3.04\pi \\ SA&=72.38\end{aligned}$

Потім помножте на 4, щоб знайти загальну кількість будівельного паперу.

$\begin{aligned}SA_{Total}&=4\times 72.38 \\ SA_{Total}&=289.52\end{aligned}$

Відповідь - 289,52.

Ерін знадобиться $72.38 \text{ ft}^{2}$ рожевий будівельний папір для однієї піньяти і $289.52 \text{ ft}^{2}$ для всіх чотирьох.

Приклад $\PageIndex{2}$

Сфера внизу має радіус 8,5 дюймів. Яка площа поверхні сфери?

Рішення

По-перше, підставити те, що ви знаєте, у формулу площі поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (8.5)^{2}\end{aligned}$

Далі за допомогою алгебри обчислити площу поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi (8.5)^{2} \\ SA&=4\pi (72.25) \\ SA&=89\pi \\ SA&=907.9\end{aligned}$

Відповідь - 907,9.

Площа поверхні сфери дорівнює $907.9 \text{ in}^{2}$ .

Якщо ви хотіли зробити вимірювання більш точним, ви можете сказати, що площа поверхні є $289 \pi \text{ in}^{2}$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть площу поверхні сфери радіусом 5 дюймів.

Рішення

По-перше, підставити те, що ви знаєте, у формулу площі поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (5)^{2}\end{aligned}$

Далі за допомогою алгебри обчислити площу поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi (5)^{2} \\ SA&=4\pi (25) \\ SA&=100\pi \\SA&=314.16\end{aligned}$

Відповідь - 314.16.

Площа поверхні сфери - $314.16 \text{ in}^{2}$ або $100 \pi \text{ in}^{2}$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть площу поверхні кулі радіусом 8 метрів.

Рішення

По-перше, підставити те, що ви знаєте, у формулу площі поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (8)^{2}\end{aligned}$

Далі за допомогою алгебри обчислити площу поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi (8)^{2} \\ SA&=4\pi (64) \\ SA&=256\pi \\ SA&=804.25\end{aligned}$

Відповідь - 804.25.

Площа поверхні сфери - $804.25 \text{ m}^{2}$ або $256\pi \text{ m}^{2}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть площу поверхні сфери радіусом 12 футів.

Рішення

По-перше, підставити те, що ви знаєте, у формулу площі поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi r^{2} \\ SA&=4\pi (12)^{2}\end{aligned}$

Далі за допомогою алгебри обчислити площу поверхні.

$\begin{aligned}SA&=4\pi (12)^{2} \\ SA&=4\pi (144) \\ SA&=576\pi \\ SA&=1809.6\end{aligned}$

Відповідь - 1809.6.

Площа поверхні сфери - $1809.6 \text{ ft}^{2}$ або $576\pi \text{ ft}^{2}$ .

Рецензія

Знайдіть площу поверхні кожної сфери. Використовуйте 3.14 для наближення пі.

Сфера радіусом 4 дюйма.
Сфера радіусом 2 дюйма.
Сфера радіусом 3,5 фута.
Сфера радіусом 6,7 дюйма.
Сфера радіусом 12 см.
Сфера радіусом 1,6 фута.
Сфера радіусом 9 м.
Сфера діаметром 9 м.
Сфера діаметром 18 дюймів.
Куля діаметром 10 см.
Сфера діаметром 12 м.
Сфера діаметром 13 футів.
Сфера діаметром 15 м.
Яка площа поверхні кулі, діаметр якої становить 22 сантиметри?
Брюс робить скульптуру в своєму мистецькому класі, яка складається з 3 сфер. Кожна сфера має радіус 2,3 фута. Він намалює їх усіх синьою плакатною фарбою. Якщо кожна пляшка фарби покриває 20 квадратних футів, скільки пляшок Брюсу потрібно буде купити?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.14.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Площа поверхні	Площа поверхні - це загальна площа всіх поверхонь тривимірного об'єкта.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Практика: Площа поверхні сфер