9.14: Обсяг прямокутних призм

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.13: Обсяг призм за допомогою одиничних кубів
- 9.15: Обсяг трикутних призм

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обсяг дорівнює довжині разів на ширину на висоту

Мама Бена розчарувалася великою колекцією Лего Бена, кинутою по всій підлозі його спальні. Вона дає йому на вибір три різні коробки, в яких їх зберігати. Бен хоче вибрати коробку, яка вмістить найбільше Легос. Хоча коробки різні за розмірами, Бен не може зрозуміти, які будуть утримувати найбільше. Вимірювання коробки такі:

Коробка A: висота = 5 дюймів, довжина = 18 дюймів, ширина = 10

Коробка B: висота = 8 дюймів, довжина = 10 дюймів, ширина = 12 дюймів

Коробка C: висота = 6 дюймів, довжина = 14 дюймів, ширина = 10 дюймів.

Яка коробка має найбільший обсяг?

У цьому понятті ви дізнаєтеся, як з'ясувати обсяг прямокутних призм.

Пошук об'єму прямокутної призми

Об'єм - це міра того, скільки тривимірного простору займає або займає об'єкт.

Уявіть собі рибний акваріум. Його довжина, ширина і висота визначають, скільки води буде утримувати бак. Якщо заповнити його водою, то кількість води - це той обсяг, який буде утримувати бак. Ви вимірюєте об'єм у кубічних одиницях, тому що ви множите три виміри: довжину, ширину та висоту.

Один із способів знайти об'єм призми - розглянути, скільки одиничних кубів вона може містити. Одиничний куб - це просто куб розміром один дюйм, один сантиметр, один фут, або будь-яка одиниця виміру, яку ви використовуєте, з усіх боків. Ось деякі одиничні кубики.

Ф-д_д7С1251Ф4986А09Д53Д1С12ДДД3Д7ДФ ЕФЦ4800Е756Б1Б81Е600Д20+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Щоб використовувати одиничні кубики для обчислення обсягу, просто порахуйте кількість одиничних кубів, які вписуються в призму. Почніть з підрахунку кількості кубиків, які покривають дно призми, а потім порахуйте кожен шар. Давайте подивимося, як це працює.

Ф-д_ББ978А8ФДБ 952Б4Ф2Е89Д1ФС84339С2Ф586ФА 56БА 61ББА А3592С14А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Скільки кубиків ви бачите тут? Якщо порахувати всі кубики, то побачите, що в цій призмі 24 кубика.

Обсяг цієї призми становить $24 \text{ units}^{3}$ або кубічні одиниці.

Знайдіть обсяг на наступному малюнку за допомогою одиничних кубиків.

F-D_2CCF 7488С310257Б3С845 ФК710Д5А9А179А40С6752ББА98Б425+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Скільки кубиків в цій цифрі? Якщо порахувати кубики, то вийде в цілому 48 кубів. Обсяг цієї призми становить 48 кубічних одиниць або $\text{ units}^{3}$ .

Якщо ви уважно подивитеся, то побачите, що обсяг прямокутної призми - це функція множення довжини\ раз на ширину\ на висоту. Ви щойно відкрили формулу знаходження об'єму прямокутної призми. Тепер давайте уточнимо цю формулу трохи далі. Ось формула.

$V=Bh$

Обсяг дорівнює B, площа основи призми, кратна висоті призми.

Давайте розглянемо приклад.

Знайти обсяг призми нижче.

Ф-Д_7278803Ф 94ДЕ5655Е9ФД6Е9Е9А3441Ф77Е6Е22АФ CFC631318D5323C6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Просто покладіть значення довжини, ширини та висоти для відповідних змінних у формулі, а потім вирішіть для V, об'єму.

Спочатку знайдіть площу підстави. Це прямокутна сторона на дні. Пам'ятайте, щоб знайти площу прямокутника, помножте довжину на ширину.

$\begin{aligned} B&=lw \\ B&=16\times 9 \\ B&=144\text{ cm}^{2}\end{aligned}$

Площа підстави - 144 квадратних сантиметри. Тепер помножте це на висоту.

$\begin{aligned}V&=Bh \\ V&=144\times 4 \\ V&=576 \text{ cm}^{3}\end{aligned}$

Для об'єму прямокутної призми можна скористатися наступною формулою. Це поєднує в собі два кроки, які ви виконали вище:

$\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(16)(9)(4) \\V&=576\text{ cm}^{3}\end{aligned}$

Обсяг цієї прямокутної призми становить 576 кубічних сантиметрів.

Можна працювати з тією ж прямокутною призмою, але заповнити її одиничними кубами.

F-д_41 АБ698 АБ ФД 8АФ0Ф4С1Ф26 КБС01435Е4 ФЧ85ЕА 8Ф997С59Ф168ФБ43+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Ви можете порахувати одиничні кубики тут, щоб знайти об'єм прямокутної призми. Однак ви економите час, використовуючи формулу для обсягу.

Давайте розглянемо інший приклад.

Знайдіть обсяг контейнера довжиною 15 футів, шириною 12 футів і висотою 11 футів.

Спочатку вставляємо значення розмірів в формулу об'єму прямокутної призми і множимо значення на довжину і ширину:

$\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(15)(12)(11) \\ V&=(180)(11)\end{aligned}$

Далі множимо отримані результати на значення висоти:

$\begin{aligned} V&=(180)(11) \\V&=1,980\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, включаючи відповідну одиницю виміру:

$V=1,980\text{ ft}^{3}$

Відповідь полягає в тому, що контейнер має обсяг 1,980 кубічних футів.

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему про Бена, який шукає коробку, яка буде утримувати найбільше Легос.

Бену потрібно розібратися, яка з наступних коробок має найбільший обсяг.

Коробка A: висота = 5 дюймів, довжина = 18 дюймів, ширина = 10 дюймів

Коробка B: висота = 8 дюймів, довжина = 10 дюймів, ширина = 12 дюймів

Коробка C: висота = 6 дюймів, довжина = 14 дюймів, ширина = 10 дюймів

Рішення

Коробка A: $V=(5)(18)(10)$

$V=(90)(10)$

Коробка B: $V=(8)(10)(12)$

$V=(80)(12)$

Коробка C: $V=(6)(14)(10)$

$V=(84)(10)$

Далі множимо отримані результати на значення висоти:

Коробка A: $V=(90)(10)$

$V=900$

Коробка B: $V=(80)(12)$

$V=960$

Коробка C: $V=(84)(10)$

$V=840$

Потім запишіть відповідь, включаючи відповідну одиницю виміру:

Коробка A: $V=900\text{ in}^{2}$

Коробка B: $V=960\text{ in}^{2}$

Коробка C: $V=840\text{ in}^{2}$

Відповідь полягає в тому, що Box B має найбільший обсяг і тому може вмістити найбільше Легос.

Приклад $\PageIndex{2}$

Карла очищає її акваріум, так що вона заповнила ванну до обідка з водою для її риби, щоб плавати в той час як вона спорожняє їх танк. Якщо ванна має довжину 5,5 футів, ширину 3,3 фута та глибину 2,2 фута, скільки води вона може вмістити?

Рішення

$\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(5.5)(3.3)(2.2) \\ V&=(18.15)(2.2)\end{aligned}$

Далі множимо отримані результати на значення висоти:

$\begin{aligned} V&=(18.15)(2.2) \\ V&=39.93\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, включаючи відповідну одиницю виміру:

$V=39.93\text{ ft}^{3}$

Відповідь - ванна Карли вміщує 39,93 кубічних футів води.

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть обсяг контейнера довжиною 10 дюймів, шириною 8 дюймів і висотою 6 дюймів.

Рішення

$\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(10)(8)(6) \\ V&=(80)(6)\end{aligned}$

Далі множимо отримані результати на значення висоти:

$\begin{aligned} V&=(80)(6) \\ V&=480\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, включаючи відповідну одиницю виміру:

$V=480\text{ in}^{3}$

Відповідь - контейнер має обсяг 480 кубічних дюймів.

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть обсяг контейнера довжиною 8 метрів, шириною 7 метрів і висотою 3 метри.

Рішення

$\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(8)(7)(3) \\ V&=(56)(3)\end{aligned}$

Далі множимо отримані результати на значення висоти:

$\begin{aligned} V&=(56)(3) \\ V&=168\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, включаючи відповідну одиницю виміру:

$V=168\text{ m}^{3}$

Відповідь - контейнер має обсяг 168 кубічних метрів.

Рецензія

Знайдіть обсяг кожної прямокутної призми. Не забудьте позначити свою відповідь кубічними одиницями.

Довжина = 5 дюймів, ширина = 3 дюйма, висота = 4 дюйма
Довжина = 7 м, ширина = 6 м, висота = 5 м
Довжина = 8 см, ширина = 4 см, висота = 9 см
Довжина = 8 см, ширина = 4 см, висота = 12 см
Довжина = 10 футів, ширина = 5 футів, висота = 6 футів
Довжина = 9 м, ширина = 8 м, висота = 11 м
Довжина = 5,5 дюйма, ширина = 3 дюйма, висота = 5 дюймів
Довжина = 6,6 см, ширина = 5 см, висота = 7 см
Довжина = 7 футів, ширина = 4 фути, висота = 6 футів
Довжина = 15 м, ширина = 8 м, висота = 10 м
Довжина = 10,5 м, ширина = 11 м, висота = 4 м
Довжина = 12 футів, ширина = 12 футів, висота = 8 футів
Довжина = 16 дюймів, ширина = 8 дюймів, висота = 8 дюймів
Довжина = 12 м, ширина = 12 м, висота = 12 м
Довжина = 24 дюйма, ширина = 6 дюймів, висота = 6 дюймів

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.10.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Кубічні одиниці	Кубічні одиниці - це тривимірні одиниці виміру, як і в обсязі твердої фігури.
Призма	Призма - це тривимірний об'єкт з двома конгруентними паралельними основами, які є багатокутниками.
Обсяг	Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.

Відео: Об'єм твердої геометрії

Практика: Об'єм прямокутних призм