9.1: Багатогранники
3-D фігури, утворені полігонами, що охоплюють області в просторі.
Багатогранник - це тривимірна фігура, яка утворена багатокутниками, що охоплюють область в просторі. Кожен багатокутник у багатограннику - це грань . Відрізок лінії, де перетинаються дві грані, є ребром . Точка перетину двох ребер - це вершина .

Приклади багатогранників включають куб, призму або піраміду. Конуси, сфери та циліндри не є багатогранниками, оскільки вони мають поверхні, які не є багатокутниками. Нижче наведено більше прикладів багатогранників:


Кількість граней (F), вершин (V) та ребер (E) співвідносяться однаково для будь-якого багатогранника. Їх зв'язок був відкритий швейцарським математиком Леонардом Ейлером, і називається теоремою Ейлера.
Теорема Ейлера:F+V=E+2.

Faces+Vertices=Edges+2
5+6=9+2
Правильний багатогранник - це багатогранник, де всі грані є конгруентними правильними багатокутниками. Існує лише п'ять правильних багатогранників, званих платонівськими твердими частинами.
- Регулярний тетраедр: 4-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
- Куб: 6-гранний багатогранник, а всі грані - квадрати.
- Регулярний восьмигранник: 8-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
- Регулярний додекаедр: 12-гранний багатогранник, а всі грані - правильні п'ятикутники.
- Регулярний ікосаедр: 20-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.

Що робити, якщо вам подарували суцільну об'ємну фігуру, схожу на картонну коробку морозива? Як ви могли визначити, як пов'язані грані, вершини та ребра цієї фігури?
Приклад9.1.1
-
Малюнок9.1.6 -
Малюнок9.1.7 -
Малюнок9.1.8
Рішення
Підстава являє собою трикутник, а всі сторони - трикутники, так що це трикутна піраміда, яка також відома як тетраедр. Є 4 грані, 6 ребер і 4 вершини.
Приклад9.1.2
У шестигранному багатограннику є 10 ребер. Скільки вершин має багатогранник?
Рішення
VРозв'яжіть для в теоремі Ейлера.
F+V=E+26+V=10+2V=6
Тому існує 6 вершин.
Приклад9.1.3
Маркус підраховує ребра, грані та вершини багатогранника. Він придумує 10 вершин, 5 граней і 12 ребер. Він помилився?
Рішення
Підключіть всі три числа до теореми Ейлера.
F+V=E+25+10=12+215≠14
Оскільки дві сторони не рівні, Маркус помилився.
Приклад9.1.4
Знайдіть кількість граней, вершин та ребер у восьмикутній призмі.

Рішення
Є 10 граней і 16 вершин. Використовуйте теорему Ейлера, щоб вирішити дляE.
F+V=E+210+16=E+224=E
Тому є 24 ребра.
Приклад9.1.5
Зрізаний ікосаедр - це багатогранник з 12 правильними п'ятикутними гранями, 20 правильними шестикутними гранями та 90 ребрами. Цей ікосаедр дуже нагадує футбольний м'яч. Скільки вершин у нього? Поясніть свої міркування.

Рішення
Ми можемо використовувати теорему Ейлера для розв'язання кількості вершин.
F+V=E+232+V=90+2V=60
Тому він має 60 вершин.
Рецензія
Заповніть таблицю, використовуючи теорему Ейлера.
Ім'я | Обличчя | Краї | Вершини | |
---|---|---|---|---|
1. | Прямокутна призма | 6 | 12 | |
2. | Восьмикутна піраміда | 16 | 9 | |
3. | Звичайний ікосаедр | 20 | 12 | |
4. | Куб | 12 | 8 | |
5. | Трикутна пірамі | 4 | 4 | |
6. | Октаедр | 8 | 12 | |
7. | Гептагональна призма | 21 | 14 | |
8. | Трикутна призма | 5 | 9 |
Визначте, чи є наступні цифри багатогранниками. Якщо так, назвіть фігуру і знайдіть кількість граней, ребер і вершин.
-
Малюнок9.1.11 -
Малюнок9.1.12 -
Малюнок9.1.13 -
Малюнок9.1.14 -
Малюнок9.1.15
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.1.
Додаткові ресурси
Відео: Принципи багатогранників - основні
Види діяльності: Питання обговорення багатогранників
Навчальні посібники: Посібник з вивчення багатогранників
Практика: Багатогранники
Реальний світ: Ролі Poly багатогранник!