9.1: Багатогранники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54432

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

3-D фігури, утворені полігонами, що охоплюють області в просторі.

Багатогранник - це тривимірна фігура, яка утворена багатокутниками, що охоплюють область в просторі. Кожен багатокутник у багатограннику - це грань . Відрізок лінії, де перетинаються дві грані, є ребром . Точка перетину двох ребер - це вершина .

F-д_91а81Д101450Ф612Б406ДКБФ3024БК51С5Е5ФД1БК61ДБ8DA1E34+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Приклади багатогранників включають куб, призму або піраміду. Конуси, сфери та циліндри не є багатогранниками, оскільки вони мають поверхні, які не є багатокутниками. Нижче наведено більше прикладів багатогранників:

Ф-Д_ФА 878ЕФ60Б960БД6Ф1562С3А60Б15Ф53А594Ф113655Д50Б82ЕБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

F-D_337d522665Ф20 ББФ 90Б3Ф9А3127Ф63Б0КД095Е15083AD7А1861635+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Кількість граней (\(F\)), вершин (\(V\)) та ребер (\(E\)) співвідносяться однаково для будь-якого багатогранника. Їх зв'язок був відкритий швейцарським математиком Леонардом Ейлером, і називається теоремою Ейлера.

Теорема Ейлера:\(F+V=E+2\).

F-D_550CC 1СЕ 1962 дб ББДФ 1CF6CE0E0 ЕДФ 1Ф135ДФ 4Ф918297ФД4175CE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

\(Faces+Vertices=Edges+2\)

\(5+6=9+2\)

Правильний багатогранник - це багатогранник, де всі грані є конгруентними правильними багатокутниками. Існує лише п'ять правильних багатогранників, званих платонівськими твердими частинами.

Регулярний тетраедр: 4-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
Куб: 6-гранний багатогранник, а всі грані - квадрати.
Регулярний восьмигранник: 8-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
Регулярний додекаедр: 12-гранний багатогранник, а всі грані - правильні п'ятикутники.
Регулярний ікосаедр: 20-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.

F-д_49БК 4Б842 ЕФ6632БББ 34СА98АЕ4БФ 64А358ФДЕ57545Ф076976C79CA8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Що робити, якщо вам подарували суцільну об'ємну фігуру, схожу на картонну коробку морозива? Як ви могли визначити, як пов'язані грані, вершини та ребра цієї фігури?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Малюнок\(\PageIndex{6}\)
Малюнок\(\PageIndex{7}\)
Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Рішення

Підстава являє собою трикутник, а всі сторони - трикутники, так що це трикутна піраміда, яка також відома як тетраедр. Є 4 грані, 6 ребер і 4 вершини.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

У шестигранному багатограннику є 10 ребер. Скільки вершин має багатогранник?

Рішення

\(V\)Розв'яжіть для в теоремі Ейлера.

\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 6+V&=10+2 \\ V&=6\end{aligned} \)

Тому існує 6 вершин.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Маркус підраховує ребра, грані та вершини багатогранника. Він придумує 10 вершин, 5 граней і 12 ребер. Він помилився?

Рішення

Підключіть всі три числа до теореми Ейлера.

\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 5+10&=12+2 \\ 15 &\neq 14 \end{aligned}\)

Оскільки дві сторони не рівні, Маркус помилився.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть кількість граней, вершин та ребер у восьмикутній призмі.

F-д_дф 896д 80Б04745665 БА 854217д4381А3Б32087709616Ф72А2A4D96+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Рішення

Є 10 граней і 16 вершин. Використовуйте теорему Ейлера, щоб вирішити для\(E\).

\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 10+16&=E+2 \\ 24&=E \end{aligned}\)

Тому є 24 ребра.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Зрізаний ікосаедр - це багатогранник з 12 правильними п'ятикутними гранями, 20 правильними шестикутними гранями та 90 ребрами. Цей ікосаедр дуже нагадує футбольний м'яч. Скільки вершин у нього? Поясніть свої міркування.

F-д_6 деф 0c116e07990393 ЕБ5902БФД8Е689Д813ДФ Ф 551EBE9AD9A2A75+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Рішення

Ми можемо використовувати теорему Ейлера для розв'язання кількості вершин.

\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 32+V&=90+2 \\ V&=60\end{aligned}\)

Тому він має 60 вершин.

Рецензія

Заповніть таблицю, використовуючи теорему Ейлера.

	*Ім'я*	*Обличчя*	*Краї*	*Вершини*
1.	Прямокутна призма	6	12
2.	Восьмикутна піраміда		16	9
3.	Звичайний ікосаедр	20		12
4.	Куб		12	8
5.	Трикутна пірамі	4		4
6.	Октаедр	8	12
7.	Гептагональна призма		21	14
8.	Трикутна призма	5	9