Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.1: Багатогранники

  • Page ID
    54432
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    3-D фігури, утворені полігонами, що охоплюють області в просторі.

    Багатогранник - це тривимірна фігура, яка утворена багатокутниками, що охоплюють область в просторі. Кожен багатокутник у багатограннику - це грань . Відрізок лінії, де перетинаються дві грані, є ребром . Точка перетину двох ребер - це вершина .

    F-д_91а81Д101450Ф612Б406ДКБФ3024БК51С5Е5ФД1БК61ДБ8DA1E34+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Приклади багатогранників включають куб, призму або піраміду. Конуси, сфери та циліндри не є багатогранниками, оскільки вони мають поверхні, які не є багатокутниками. Нижче наведено більше прикладів багатогранників:

    Ф-Д_ФА 878ЕФ60Б960БД6Ф1562С3А60Б15Ф53А594Ф113655Д50Б82ЕБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    F-D_337d522665Ф20 ББФ 90Б3Ф9А3127Ф63Б0КД095Е15083AD7А1861635+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Кількість граней (\(F\)), вершин (\(V\)) та ребер (\(E\)) співвідносяться однаково для будь-якого багатогранника. Їх зв'язок був відкритий швейцарським математиком Леонардом Ейлером, і називається теоремою Ейлера.

    Теорема Ейлера:\(F+V=E+2\).

    F-D_550CC 1СЕ 1962 дб ББДФ 1CF6CE0E0 ЕДФ 1Ф135ДФ 4Ф918297ФД4175CE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    \(Faces+Vertices=Edges+2\)

    \(5+6=9+2\)

    Правильний багатогранник - це багатогранник, де всі грані є конгруентними правильними багатокутниками. Існує лише п'ять правильних багатогранників, званих платонівськими твердими частинами.

    1. Регулярний тетраедр: 4-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
    2. Куб: 6-гранний багатогранник, а всі грані - квадрати.
    3. Регулярний восьмигранник: 8-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
    4. Регулярний додекаедр: 12-гранний багатогранник, а всі грані - правильні п'ятикутники.
    5. Регулярний ікосаедр: 20-гранний багатогранник, а всі грані - рівносторонні трикутники.
    F-д_49БК 4Б842 ЕФ6632БББ 34СА98АЕ4БФ 64А358ФДЕ57545Ф076976C79CA8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Що робити, якщо вам подарували суцільну об'ємну фігуру, схожу на картонну коробку морозива? Як ви могли визначити, як пов'язані грані, вершини та ребра цієї фігури?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    1. F-D_465 АФД71207Д39А6А3С5Ф8Б239 БББ5С950Е71087А89Е1БК39С091+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    2. Ф-Д_4Ф0А5170Е92 АБ 0945Е 5769А54 Бад 058Д9ФБ77ФБД 16Ф74ФД8Б3274А0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    3. F-D_EDC997D2F80D3DDF061278A6E31 ФЦ31Ф15Д5755ЕЕ45ФЕ 3ДБ БФ 2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    Підстава являє собою трикутник, а всі сторони - трикутники, так що це трикутна піраміда, яка також відома як тетраедр. Є 4 грані, 6 ребер і 4 вершини.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    У шестигранному багатограннику є 10 ребер. Скільки вершин має багатогранник?

    Рішення

    \(V\)Розв'яжіть для в теоремі Ейлера.

    \(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 6+V&=10+2 \\ V&=6\end{aligned} \)

    Тому існує 6 вершин.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Маркус підраховує ребра, грані та вершини багатогранника. Він придумує 10 вершин, 5 граней і 12 ребер. Він помилився?

    Рішення

    Підключіть всі три числа до теореми Ейлера.

    \(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 5+10&=12+2 \\ 15 &\neq 14 \end{aligned}\)

    Оскільки дві сторони не рівні, Маркус помилився.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть кількість граней, вершин та ребер у восьмикутній призмі.

    F-д_дф 896д 80Б04745665 БА 854217д4381А3Б32087709616Ф72А2A4D96+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Рішення

    Є 10 граней і 16 вершин. Використовуйте теорему Ейлера, щоб вирішити для\(E\).

    \(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 10+16&=E+2 \\ 24&=E \end{aligned}\)

    Тому є 24 ребра.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Зрізаний ікосаедр - це багатогранник з 12 правильними п'ятикутними гранями, 20 правильними шестикутними гранями та 90 ребрами. Цей ікосаедр дуже нагадує футбольний м'яч. Скільки вершин у нього? Поясніть свої міркування.

    F-д_6 деф 0c116e07990393 ЕБ5902БФД8Е689Д813ДФ Ф 551EBE9AD9A2A75+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Рішення

    Ми можемо використовувати теорему Ейлера для розв'язання кількості вершин.

    \(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 32+V&=90+2 \\ V&=60\end{aligned}\)

    Тому він має 60 вершин.

    Рецензія

    Заповніть таблицю, використовуючи теорему Ейлера.

    Ім'я Обличчя Краї Вершини
    1. Прямокутна призма 6 12
    2. Восьмикутна піраміда 16 9
    3. Звичайний ікосаедр 20 12
    4. Куб 12 8
    5. Трикутна пірамі 4 4
    6. Октаедр 8 12
    7. Гептагональна призма 21 14
    8. Трикутна призма 5 9

    Визначте, чи є наступні цифри багатогранниками. Якщо так, назвіть фігуру і знайдіть кількість граней, ребер і вершин.

    1. F-д_5954 ЕА АА564738Д749Ф28ЕБА А6 ЕДФ 83C51465E98CDE403C296F067E0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{11}\)
    2. Ф-д_6 ФК 90С2Е2894 ЕФ9Д165Е38081Б1Б1С3А4Ф6Б2БФ631820404С57Е1С7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)
    3. Ф-д_КБА 9АФ 3А75 Дед 215664 ЕЕ9С4Б41528Д42Д8 ФА14 ББФ 39Ф28068Б83ААААБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{13}\)
    4. F-D_D6143156492831BA8FF6C7E429DC 4717251 CAE 750 ЕФ22D36EB089547+зображення_крихіткий+зображення_крихітка_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{14}\)
    5. F-D_B2 АВ 2 постійного струму4А5736 ЕЕ3Е8Д9Е52АК 749 АЦ70187D62D53918B864FC+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.1.

    Додаткові ресурси

    Відео: Принципи багатогранників - основні

    Види діяльності: Питання обговорення багатогранників

    Навчальні посібники: Посібник з вивчення багатогранників

    Практика: Багатогранники

    Реальний світ: Ролі Poly багатогранник!