9.16: Площа поверхні та об'єм пірамід
Площа поверхні і об'єм твердих тіл з основою і бічними гранями, які зустрічаються в загальній вершині.
Піраміди
Піраміда - це суцільне тіло з одним підставою і бічними гранями, які зустрічаються в загальній вершині . Краї між бічними гранями - це бічні ребра . Краї між підставою і бічними гранями є базовими краями .

Правильна піраміда - це піраміда, де основою є правильний багатокутник. Всі правильні піраміди також мають похилу висоту, яка є висотою бічної грані. Неправильна піраміда не має похилої висоти.

Площа поверхні
Площа поверхні - це двовимірне вимірювання, яке є загальною площею всіх поверхонь, які зв'язали тверде тіло. Основною одиницею площі є квадратна одиниця. Для пірамід нам потрібно буде використовувати висоту нахилу, яка позначена l, щоб знайти площу кожної трикутної грані.
Площа поверхні правильної піраміди: Якщо B - площа основи, а n - кількість трикутників, тоSA=B+12nbl.
Сітка показує площу поверхні піраміди. Якщо ви коли-небудь забудете формулу, використовуйте мережу.

Обсяг
Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з'ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об'єму є кубічна одиниця.
Обсяг піраміди:V=13Bh деB площа підстави.

Що робити, якщо вам дали суцільну об'ємну фігуру з однією основою і бічними гранями, які зустрічаються в загальній вершині? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?
Приклад9.16.1
Знайдіть похилу висоту квадратної піраміди.

Рішення
Висота нахилу - це гіпотенуза прямокутного трикутника, утвореного висотою і половиною довжини основи. Використовуйте теорему Піфагора.
82+242=l2640=l2l=√640=8√10
Приклад9.16.2
Знайдіть площу поверхні правильної трикутної піраміди.

Рішення
«Regular» говорить нам, що основа - це рівносторонній трикутник. Давайте намалюємо його і знайдемо його площу.

B=12⋅8⋅4√3=16√3
Площа поверхні становить:
SA=16√3+12⋅3⋅8⋅18=16√3+216≈243.71
Приклад9.16.3
Якщо площа бічної поверхні правильної квадратної піраміди дорівнює72ft2 і базовий край дорівнює висоті нахилу. Яка довжина базової кромки?
Рішення
У формулі для площі поверхні площа бічної поверхні дорівнює12nbl. Ми знаємо, щоn=4 іb=l. Давайте вирішимо дляb.
12nbl=72 ft212(4)b2=722b2=72b2=36b=6feet
Приклад9.16.4
Знайдіть висоту, а потім обсяг піраміди.

Рішення
У цьому прикладі нам дається висота нахилу. Використовуйте теорему Піфагора.
72+h2=252h2=576h=24
V=13(142)(24)=1568 units3
Приклад9.16.5
Знайдіть обсяг піраміди з прямокутним трикутником в якості основи.

Рішення
Підставою піраміди є прямокутний трикутник. Площа підстави становить12(14)(8)=56 units2.
V=13(56)(17)≈317.33 units3
Приклад9.16.6
Прямокутна піраміда має базову площу56cm2 і об'єм224cm3. Яка висота піраміди?
Рішення
Скористайтеся формулою гучності і підключіть інформацію, яку нам дали. Потім вирішуйте для висоти.
V=13Bh224=13⋅56h12=h
Рецензія
Заповніть пробіли про схему зліва.

- х - це ___________.
- Висота нахилу - ________.
- y - це ___________.
- Висота - ________.
- База - _______.
- Базовий край - ________.
Для питань 7-8 накидайте кожне з наступних твердих тіл і дайте відповідь на питання. Ваші малюнки повинні бути в масштабі, але не один-на-один. Залиште свою відповідь в найпростішій радикальній формі.
- Намалюйте квадратну піраміду з довжиною краю 9 дюймів і 12 у висоту. Знайдіть висоту нахилу.
- Намалюйте рівносторонню піраміду трикутника з довжиною краю 6 см і висотою 6 см. Яка висота підстави?
Знайдіть висоту нахилу, l, однієї бічної грані в кожній піраміді. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.
-
Малюнок9.16.11 -
Малюнок9.16.12
Знайдіть площу поверхні і обсяг правильної піраміди. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.
-
Малюнок9.16.13 -
Малюнок9.16.14 -
Малюнок9.16.15 -
Малюнок9.16.16 -
Малюнок9.16.17 -
Малюнок9.16.18 - Правильний тетраедр має чотири рівносторонніх трикутника як його грані.
- Знайдіть висоту однієї з граней, якщо довжина ребра дорівнює 6 одиницям.
- Знайдіть область одного особи.
- Знайдіть загальну площу поверхні правильного тетраедра.
- Якщо площа поверхні квадратної піраміди становить,40 ft2 а базовий край становить 4 фути, яка висота нахилу?
- Якщо бічна площа квадратної піраміди становить,800 in2 а висота нахилу становить 16 дюймів, яка довжина базового краю?
- Якщо бічна площа правильної піраміди трикутника є,252 in2 а базовий край - 8 дюймів, яка висота нахилу?
- Обсяг квадратної піраміди становить 72 квадратних дюймів, а базовий край - 4 дюйми. Яка висота?
- Обсяг піраміди трикутника170 in3 дорівнює, а площа основи -34 in2. Яка висота піраміди?
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.5.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
бічні краї | Краї між бічними гранями призми. |
бічні грані | Небазові грані призми. |
Піраміда | Піраміда - це тривимірний об'єкт з основою, що представляє собою багатокутник і трикутні грані, що зустрічаються в одній вершині. |
правильна піраміда | це піраміда, де основою є правильний багатокутник. Всі правильні піраміди також мають похилу висоту, яка є висотою бічної грані. |
Конус | Конус являє собою суцільну об'ємну фігуру з круглим підставою і однією вершиною. |
Вершина | Вершина - це точка перетину ліній або променів, які утворюють кут. |
Обсяг | Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта. |
Принцип Кавальєрі | Заявляється, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони будуть мати однаковий обсяг. |
Базовий край | Базова кромка - це край між підставою і бічними гранями призми. |
Висота нахилу | Висота нахилу - це висота бічної грані піраміди. |
Апофем | Апофемом правильного багатокутника є перпендикулярний відрізок від центральної точки багатокутника до середини однієї з його сторін. |