Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.16: Площа поверхні та об'єм пірамід

Площа поверхні і об'єм твердих тіл з основою і бічними гранями, які зустрічаються в загальній вершині.

Піраміди

Піраміда - це суцільне тіло з одним підставою і бічними гранями, які зустрічаються в загальній вершині . Краї між бічними гранями - це бічні ребра . Краї між підставою і бічними гранями є базовими краями .

F-D_46 Бад 28АА5 АФ 609А9536Д33С2Б951278719628C71002c96a709EC9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.1

Правильна піраміда - це піраміда, де основою є правильний багатокутник. Всі правильні піраміди також мають похилу висоту, яка є висотою бічної грані. Неправильна піраміда не має похилої висоти.

F-D_2AC8775Ф7Ф2А0Е04А90531Б4Ф020037Е 5С1763 Ф9Ф1Б4Б6Ф04ФДА5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.2

Площа поверхні

Площа поверхні - це двовимірне вимірювання, яке є загальною площею всіх поверхонь, які зв'язали тверде тіло. Основною одиницею площі є квадратна одиниця. Для пірамід нам потрібно буде використовувати висоту нахилу, яка позначена l, щоб знайти площу кожної трикутної грані.

Площа поверхні правильної піраміди: Якщо B - площа основи, а n - кількість трикутників, тоSA=B+12nbl.

Сітка показує площу поверхні піраміди. Якщо ви коли-небудь забудете формулу, використовуйте мережу.

F-д_71290ф69а757д9кд 35СБ9Е6Е567Б4ФБ8010КД5232Д758БФ011 ББК9А8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.3

Обсяг

Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з'ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об'єму є кубічна одиниця.

Обсяг піраміди:V=13Bh деB площа підстави.

F-д_401715Е0А4Д12 ЕК 369А4Д60 змінного струму 5ЕБ5714467E291472D49F0F777390C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.4

Що робити, якщо вам дали суцільну об'ємну фігуру з однією основою і бічними гранями, які зустрічаються в загальній вершині? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?

Приклад9.16.1

Знайдіть похилу висоту квадратної піраміди.

Ф-д_ААД 0787ФКБС714С32038С57833 ФК16655 ФФК03Д4ФБКБДД1ЕС923+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.5

Рішення

Висота нахилу - це гіпотенуза прямокутного трикутника, утвореного висотою і половиною довжини основи. Використовуйте теорему Піфагора.

82+242=l2640=l2l=640=810

Приклад9.16.2

Знайдіть площу поверхні правильної трикутної піраміди.

Ф-Д_8БК1А4Ф67Д7Ф5БС667Ф7Ф7Ф7Ф7016Б7943ЕЕ5Б9Б9ББ0089386Ф7С46Е62Д3Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.6

Рішення

«Regular» говорить нам, що основа - це рівносторонній трикутник. Давайте намалюємо його і знайдемо його площу.

F-д_3ФЦ5Д 560724А37С36А5Д190Д16А6 СБДД1301КБ675638Д1392Д4ЕД 29+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.7

B=12843=163

Площа поверхні становить:

SA=163+123818=163+216243.71

Приклад9.16.3

Якщо площа бічної поверхні правильної квадратної піраміди дорівнює72ft2 і базовий край дорівнює висоті нахилу. Яка довжина базової кромки?

Рішення

У формулі для площі поверхні площа бічної поверхні дорівнює12nbl. Ми знаємо, щоn=4 іb=l. Давайте вирішимо дляb.

12nbl=72 ft212(4)b2=722b2=72b2=36b=6feet

Приклад9.16.4

Знайдіть висоту, а потім обсяг піраміди.

F-D_21A8D7365E2CEF8D3А7847727Б412Ф7 КС2509А66CE83c3c3B408cd+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.8

Рішення

У цьому прикладі нам дається висота нахилу. Використовуйте теорему Піфагора.

72+h2=252h2=576h=24

V=13(142)(24)=1568 units3

Приклад9.16.5

Знайдіть обсяг піраміди з прямокутним трикутником в якості основи.

Ф-Д_БД7С8Ф 197А095Д9086А42Ф88 ДД5Д59853139Д84С45БФЕ1А1Д604С71+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.9

Рішення

Підставою піраміди є прямокутний трикутник. Площа підстави становить12(14)(8)=56 units2.

V=13(56)(17)317.33 units3

Приклад9.16.6

Прямокутна піраміда має базову площу56cm2 і об'єм224cm3. Яка висота піраміди?

Рішення

Скористайтеся формулою гучності і підключіть інформацію, яку нам дали. Потім вирішуйте для висоти.

V=13Bh224=1356h12=h

Рецензія

Заповніть пробіли про схему зліва.

F-D_EE9 АЦ55ФД ББК CA2334 ФД69Е9А361 ЕЕЕБ58 ЕЕД 481852Б0708D20B0D3DC+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
Малюнок9.16.10
  1. х - це ___________.
  2. Висота нахилу - ________.
  3. y - це ___________.
  4. Висота - ________.
  5. База - _______.
  6. Базовий край - ________.

Для питань 7-8 накидайте кожне з наступних твердих тіл і дайте відповідь на питання. Ваші малюнки повинні бути в масштабі, але не один-на-один. Залиште свою відповідь в найпростішій радикальній формі.

  1. Намалюйте квадратну піраміду з довжиною краю 9 дюймів і 12 у висоту. Знайдіть висоту нахилу.
  2. Намалюйте рівносторонню піраміду трикутника з довжиною краю 6 см і висотою 6 см. Яка висота підстави?

Знайдіть висоту нахилу, l, однієї бічної грані в кожній піраміді. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

  1. F-D_C9B5082D84410E6C0F4FC10 ЕДЕ 1907С0А8А8А8А8 АБК 66С90Ф55D23902+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.11
  2. Ф-Д_3БФ 06Ф826 Баб-826 БФ 83КФ4А2С5 Фа6А 9Е1819 СА35БДБ976306Е6ФФ Ф 1D61+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.12

Знайдіть площу поверхні і обсяг правильної піраміди. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

  1. F-D_705342012 АБ57ДК 96Б60Д497А2673ФБА 666С898Е88ФДФ 6БД 832845A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.13
  2. F-D_1894 ДБД 3ДБ 923410ФД08А842СА348А79Б20С ЦАЕ68А29 ФБФ 86621 БКБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.14
  3. F-D_13D 48672 Ф6056C1Б15538 ЕФЦД 1ББ44С82БФД63678C1Б7349C54AE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.15
  4. F-д_Б913 КДФ 8487С1А5С11Ф61399Е1859 Ф467Д 96Ф3104223Е77БФ359+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_PNG
    Малюнок9.16.16
  5. Ф-Д_1Е555107Е2 А7ДФ 7С8ФФ 10884Ф00Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф6 КФ8Е252АЕ81374Ф6660Б8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.17
  6. F-д_9Ф 9Ф93359А0 Дек 71ЕБ761239ДФ 5997801135 ДД00185Д73ЕФФ025Ф16+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок9.16.18
  7. Правильний тетраедр має чотири рівносторонніх трикутника як його грані.
    1. Знайдіть висоту однієї з граней, якщо довжина ребра дорівнює 6 одиницям.
    2. Знайдіть область одного особи.
    3. Знайдіть загальну площу поверхні правильного тетраедра.
  8. Якщо площа поверхні квадратної піраміди становить,40 ft2 а базовий край становить 4 фути, яка висота нахилу?
  9. Якщо бічна площа квадратної піраміди становить,800 in2 а висота нахилу становить 16 дюймів, яка довжина базового краю?
  10. Якщо бічна площа правильної піраміди трикутника є,252 in2 а базовий край - 8 дюймів, яка висота нахилу?
  11. Обсяг квадратної піраміди становить 72 квадратних дюймів, а базовий край - 4 дюйми. Яка висота?
  12. Обсяг піраміди трикутника170 in3 дорівнює, а площа основи -34 in2. Яка висота піраміди?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.5.

Лексика

Термін Визначення
бічні краї Краї між бічними гранями призми.
бічні грані Небазові грані призми.
Піраміда Піраміда - це тривимірний об'єкт з основою, що представляє собою багатокутник і трикутні грані, що зустрічаються в одній вершині.
правильна піраміда це піраміда, де основою є правильний багатокутник. Всі правильні піраміди також мають похилу висоту, яка є висотою бічної грані.
Конус Конус являє собою суцільну об'ємну фігуру з круглим підставою і однією вершиною.
Вершина Вершина - це точка перетину ліній або променів, які утворюють кут.
Обсяг Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.
Принцип Кавальєрі Заявляється, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони будуть мати однаковий обсяг.
Базовий край Базова кромка - це край між підставою і бічними гранями призми.
Висота нахилу Висота нахилу - це висота бічної грані піраміди.
Апофем Апофемом правильного багатокутника є перпендикулярний відрізок від центральної точки багатокутника до середини однієї з його сторін.