9.15: Обсяг трикутних призм

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54487

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Обсяг дорівнює базовому часу висоти на половину довжини.

Меггі насолоджується її улюбленим шоколадом. Вона задається питанням, скільки шоколаду може поміститися в упаковці, яка має форму трикутної призми. Вона вимірює картонну призму і виявляє, що кінець трикутника, або основа, дорівнює 1,4 дюйма, а висота трикутника - 1,25 дюйма. Висота планки при стійці на її торці становить 8,25 дюйма. Який обсяг упаковки шоколаду?

У цьому понятті ви дізнаєтеся, як розрахувати обсяг трикутної призми.

Пошук об'єму трикутної призми

З трикутною призмою дві паралельні грані - трикутники, а інші грані - прямокутники.

Обсяг трикутних призм ви розраховуєте практично так само, як і знаходите обсяг прямокутних призм. Ви все ще використовуєте формулу\(V=Bh\). Однак на цей раз основою призми є трикутник, а не прямокутник. Тому потрібно використовувати формулу площі для трикутника, щоб знайти площу підстави,\(B\). Потім можна помножити цю величину на висоту прямокутника, щоб знайти обсяг трикутної призми.

Давайте розглянемо приклад.

Який обсяг цієї трикутної призми, де висота трикутної основи дорівнює 7 см, а ширина підстави трикутника - 5 см?

Для початку потрібно знайти площу трикутної основи. Ви використовуєте формулу для площі трикутника, яка є\(\dfrac{1}{2} bh\). Пам'ятайте, що ви використовуєте вимірювання висоти та основи для трикутного обличчя, а не висоту, H, вимірювання для всієї призми, яка є довжиною прямокутника.

Отже, є дві речі, які вам потрібно виконати: вам потрібно знайти площу однієї з трикутних основ, а потім ви можете взяти це вимірювання і помножити його на висоту всієї призми.

\(\begin{aligned} V&=BH \\ b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(5)(7) \\ b&=35 \\ V&=(35)H \\ V&=(35)(12) \\ V&=420\text{ cm}^{3}\end{aligned}\)

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є\(420 \text{centimeters}^{3}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам ставили проблему про те, як Меггі хоче знайти той обсяг шоколаду, який поміститься всередині упаковки.

Трикутна основа - 1,4 дюйма; висота трикутника - 1,25 дюйма, а висота планки при стійці на його кінці - 8,25 дюйма.

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B.

\(\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(1.4)(1.25) \\ b&=0.7(1.25)\\ b&=0.88\text{ in}^{2}\end{aligned} \)

Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об'єму та помножте значення разом.

\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=0.88\times 8.25 \\ V&=0.88 \times 8.25 \\ V&=7.26\end{aligned}\)

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

\(V=7.26\text{ in}^{3} \)

Відповідь - упаковка має обсяг 7,26 кубічних дюймів.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Щороку Джіні отримує пляшку улюбленого парфуму на день народження. Парфуми випускаються у флаконі у формі трикутної призми. Скільки парфумів тримає флакон, коли він наповнений?

Ф-д_АФ 2С03034Б1948 С591Е842ФФ9Б1А0Е91358648А50383E410A8090A0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B.

\(\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(6)(4) \\b&=3(4) \\ b&=12\text{ cm}^{2}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=12\times 9 \\ V&=12 \times 9 \\ V&=108\end{aligned}\)

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

\(V=108\text{ cm}^{3}\)

Відповідь - флакон духів вміщує 108 кубічних сантиметрів парфуму при повному наповненні.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами:\(b=12\text{ in}\),\(h=10\text{ in}\),\(h=15\text{ in}\)

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B\).

\(\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(12)(10) \\ b&=6(10) \\ b&=60\text{ in}^{2}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=60\times 15 \\ V&=60 \times 15 \\ V&=900\end{aligned}\)

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

\(V=900\text{ in}^{3}\)

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є\(900\text{ in}^{3}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами:\(b=7\text{ cm}\),\(h=5\text{ cm}\),\(h=9\text{ cm}\)

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B.

\(\begin{aligned}b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(7)(5) \\ b&=3.5(5) \\ b&=17.5 cm^{2}\end{aligned}\)

Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об'єму та помножте значення разом. V\ (V = B\ (h = 17,5\ раз 9

\(\begin{aligned} V&=17.5 \times 9 \\ V&=157.5 \end{aligned}\)

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

\(V=157.5\text{ cm}^{3}\)

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є\(157.5\text{ cm}^{3}\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами:\(b=4\text{ mm}\),\(h=3\text{ mm}\),\(h=5\text{ mm}\)

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B

\(\begin{aligned}b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(4)(3) \\ b&=2(3) \\ b&=6\text{ mm}^{2}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} V&=BH \\ V&=6\times 5 \\ V&=6 \times 5 \\ V&=30 \end{aligned}\)

Останній, запишіть відповідь, переконавшись, що вкажіть відповідну одиницю виміру.

\(V=30\text{ mm}^{3}\)

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є \(30\text{ mm}^{3}\).

Рецензія

Знайдіть обсяг кожної трикутної призми. Пам'ятайте, що h означає висоту трикутної основи, а H - висоту всієї призми.

\(b=6\text{ in}\),\(h=4\text{ in}\),\(h=5\text{ in}\)
\(b=7\text{ in}\),\(h=5\text{ in}\),\(h=9\text{ in}\)
\(b=10\text{ m}\),\(h=8\text{ m}\),\(h=9\text{ m}\)
\(b=12\text{ m}\),\(h=10\text{ m}\),\(h=13\text{ m}\)
\(b=8\text{ cm}\),\(h=6\text{ cm}\),\(h=9\text{ cm}\)
\(b=9\text{ cm}\),\(h=7\text{ cm}\),\(h=8\text{ cm}\)
\(b=5.5\text{ m}\),\(h=4\text{ m}\),\(h=4\text{ m}\)
\(b=11\text{ cm}\),\(h=9\text{ cm}\),\(h=8\text{ cm}\)
\(b=20\text{ ft}\),\(h=17\text{ ft}\),\(h=19\text{ ft}\)
\(b=20\text{ ft}\),\(h=18\text{ ft}\),\(h=15\text{ ft}\).
\(b=18\text{ ft}\),\(h=16\text{ ft}\),\(h=17\text{ ft}\).
\(b=24\text{ ft}\),\(h=21\text{ ft}\),\(h=19\text{ ft}\).
\(b=24.5\text{ ft}\),\(h=18\text{ ft}\),\(h=16\text{ ft}\).
\(b=99\text{ ft}\),\(h=80\text{ ft}\),\(h=75\text{ ft}\).
\(b=100\text{ ft}\),\(h=80\text{ ft}\),\(h=110\text{ ft}\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.11.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Кубічні одиниці	Кубічні одиниці - це тривимірні одиниці виміру, як і в обсязі твердої фігури.
Призма	Призма - це тривимірний об'єкт з двома конгруентними паралельними основами, які є багатокутниками.
Обсяг	Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Об'єм твердої геометрії

Практика: Об'єм трикутних призм

Реальний світ: Підключення веселки