9.15: Обсяг трикутних призм

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.14: Обсяг прямокутних призм
- 9.16: Площа поверхні та об'єм пірамід

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обсяг дорівнює базовому часу висоти на половину довжини.

Меггі насолоджується її улюбленим шоколадом. Вона задається питанням, скільки шоколаду може поміститися в упаковці, яка має форму трикутної призми. Вона вимірює картонну призму і виявляє, що кінець трикутника, або основа, дорівнює 1,4 дюйма, а висота трикутника - 1,25 дюйма. Висота планки при стійці на її торці становить 8,25 дюйма. Який обсяг упаковки шоколаду?

У цьому понятті ви дізнаєтеся, як розрахувати обсяг трикутної призми.

Пошук об'єму трикутної призми

З трикутною призмою дві паралельні грані - трикутники, а інші грані - прямокутники.

Обсяг трикутних призм ви розраховуєте практично так само, як і знаходите обсяг прямокутних призм. Ви все ще використовуєте формулу $V=Bh$ . Однак на цей раз основою призми є трикутник, а не прямокутник. Тому потрібно використовувати формулу площі для трикутника, щоб знайти площу підстави, $B$ . Потім можна помножити цю величину на висоту прямокутника, щоб знайти обсяг трикутної призми.

Давайте розглянемо приклад.

Який обсяг цієї трикутної призми, де висота трикутної основи дорівнює 7 см, а ширина підстави трикутника - 5 см?

Для початку потрібно знайти площу трикутної основи. Ви використовуєте формулу для площі трикутника, яка є $\dfrac{1}{2} bh$ . Пам'ятайте, що ви використовуєте вимірювання висоти та основи для трикутного обличчя, а не висоту, H, вимірювання для всієї призми, яка є довжиною прямокутника.

Отже, є дві речі, які вам потрібно виконати: вам потрібно знайти площу однієї з трикутних основ, а потім ви можете взяти це вимірювання і помножити його на висоту всієї призми.

$\begin{aligned} V&=BH \\ b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(5)(7) \\ b&=35 \\ V&=(35)H \\ V&=(35)(12) \\ V&=420\text{ cm}^{3}\end{aligned}$

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є $420 \text{centimeters}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам ставили проблему про те, як Меггі хоче знайти той обсяг шоколаду, який поміститься всередині упаковки.

Трикутна основа - 1,4 дюйма; висота трикутника - 1,25 дюйма, а висота планки при стійці на його кінці - 8,25 дюйма.

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B.

$\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(1.4)(1.25) \\ b&=0.7(1.25)\\ b&=0.88\text{ in}^{2}\end{aligned}$

Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об'єму та помножте значення разом.

$\begin{aligned} V&=BH \\ V&=0.88\times 8.25 \\ V&=0.88 \times 8.25 \\ V&=7.26\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

$V=7.26\text{ in}^{3}$

Відповідь - упаковка має обсяг 7,26 кубічних дюймів.

Приклад $\PageIndex{2}$

Щороку Джіні отримує пляшку улюбленого парфуму на день народження. Парфуми випускаються у флаконі у формі трикутної призми. Скільки парфумів тримає флакон, коли він наповнений?

Ф-д_АФ 2С03034Б1948 С591Е842ФФ9Б1А0Е91358648А50383E410A8090A0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B.

$\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(6)(4) \\b&=3(4) \\ b&=12\text{ cm}^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} V&=BH \\ V&=12\times 9 \\ V&=12 \times 9 \\ V&=108\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

$V=108\text{ cm}^{3}$

Відповідь - флакон духів вміщує 108 кубічних сантиметрів парфуму при повному наповненні.

Приклад $\PageIndex{3}$

Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами: $b=12\text{ in}$ , $h=10\text{ in}$ , $h=15\text{ in}$

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B\).

$\begin{aligned} b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(12)(10) \\ b&=6(10) \\ b&=60\text{ in}^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} V&=BH \\ V&=60\times 15 \\ V&=60 \times 15 \\ V&=900\end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

$V=900\text{ in}^{3}$

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є $900\text{ in}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами: $b=7\text{ cm}$ , $h=5\text{ cm}$ , $h=9\text{ cm}$

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B.

$\begin{aligned}b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(7)(5) \\ b&=3.5(5) \\ b&=17.5 cm^{2}\end{aligned}$

Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об'єму та помножте значення разом. V\ (V = B\ (h = 17,5\ раз 9

$\begin{aligned} V&=17.5 \times 9 \\ V&=157.5 \end{aligned}$

Потім запишіть відповідь, обов'язково включивши відповідну одиницю виміру.

$V=157.5\text{ cm}^{3}$

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є $157.5\text{ cm}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами: $b=4\text{ mm}$ , $h=3\text{ mm}$ , $h=5\text{ mm}$

Рішення

Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B

$\begin{aligned}b&=\dfrac{1}{2} bh \\ b&=\dfrac{1}{2}(4)(3) \\ b&=2(3) \\ b&=6\text{ mm}^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} V&=BH \\ V&=6\times 5 \\ V&=6 \times 5 \\ V&=30 \end{aligned}$

Останній, запишіть відповідь, переконавшись, що вкажіть відповідну одиницю виміру.

$V=30\text{ mm}^{3}$

Відповідь - обсяг цієї трикутної призми є $30\text{ mm}^{3}$ .

Рецензія

Знайдіть обсяг кожної трикутної призми. Пам'ятайте, що h означає висоту трикутної основи, а H - висоту всієї призми.

$b=6\text{ in}$ , $h=4\text{ in}$ , $h=5\text{ in}$
$b=7\text{ in}$ , $h=5\text{ in}$ , $h=9\text{ in}$
$b=10\text{ m}$ , $h=8\text{ m}$ , $h=9\text{ m}$
$b=12\text{ m}$ , $h=10\text{ m}$ , $h=13\text{ m}$
$b=8\text{ cm}$ , $h=6\text{ cm}$ , $h=9\text{ cm}$
$b=9\text{ cm}$ , $h=7\text{ cm}$ , $h=8\text{ cm}$
$b=5.5\text{ m}$ , $h=4\text{ m}$ , $h=4\text{ m}$
$b=11\text{ cm}$ , $h=9\text{ cm}$ , $h=8\text{ cm}$
$b=20\text{ ft}$ , $h=17\text{ ft}$ , $h=19\text{ ft}$
$b=20\text{ ft}$ , $h=18\text{ ft}$ , $h=15\text{ ft}$ .
$b=18\text{ ft}$ , $h=16\text{ ft}$ , $h=17\text{ ft}$ .
$b=24\text{ ft}$ , $h=21\text{ ft}$ , $h=19\text{ ft}$ .
$b=24.5\text{ ft}$ , $h=18\text{ ft}$ , $h=16\text{ ft}$ .
$b=99\text{ ft}$ , $h=80\text{ ft}$ , $h=75\text{ ft}$ .
$b=100\text{ ft}$ , $h=80\text{ ft}$ , $h=110\text{ ft}$ .

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.11.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Кубічні одиниці	Кубічні одиниці - це тривимірні одиниці виміру, як і в обсязі твердої фігури.
Призма	Призма - це тривимірний об'єкт з двома конгруентними паралельними основами, які є багатокутниками.
Обсяг	Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Об'єм твердої геометрії

Практика: Об'єм трикутних призм

Реальний світ: Підключення веселки