9.12: Обсяг призм

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.11: Площа поверхні призм
- 9.13: Обсяг призм за допомогою одиничних кубів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Використовуйте формулу $V = Bh$

Карен і Ленс будують дитячий майданчик на задньому дворі для своїх двох дітей. У них встановлена гойдалка, карусель та пісочниця. Ленс збирається в магазин, щоб купити пісок для пісочниці і повинен знати, скільки піску він може вмістити. Пісочниця шириною 6 футів, довжиною 8 футів і глибиною 1 футів. Як Ланс може використовувати формулу для обчислення загального обсягу цієї пісочниці?

У цьому понятті ви навчитеся знаходити обсяги прямокутних і трикутних призм за допомогою формул.

Знаходження об'єму призм

Обсяг - це кількість простору всередині суцільної фігури.

Наповнення твердих фігур кубиками - простий, легкий спосіб зрозуміти обсяг. Якщо ви вмієте рахувати кубики, то зможете розібратися з обсягом. Однак іноді вам доведеться з'ясувати об'єм призми, коли всередині неї немає жодних кубиків.

Погляньте на призму нижче.

Ця прямокутна призма має висоту 5 дюймів, ширину 3 дюйми і довжину 4 дюйми.

Ось формула знаходження об'єму цього типу призми.

$V=Bh$

B означає площу підстави, довжина якої перевищує ширину, а h означає висоту.

Отже, спочатку з'ясуємо площу підстави.

$A=3\times 4=12$

Далі множимо $B$ на $h$ .

$\begin{aligned} h&=5\\ V&=12\times 5=60\end{aligned}$

Обсяг становить 60 кубічних дюймів або $in^{3}$ . Пам'ятайте, обсяг знаходиться в кубічних одиницях.

Давайте розглянемо інший приклад. Знайдіть обсяг, використовуючи формулу гучності.

$V=Bh$

Спочатку намалюйте площу підстави.

Площа підстави становить $2\times 8=16$

Далі помножте B на h Висота - 3 дюйми.

$\begin{aligned} V&=16\times 3 \\ V&=48\: \text{ in}^{3}\end{aligned}$

Обсяг цієї прямокутної призми дорівнює $48\:\text{ in}^{3}$ .

Можна використовувати ту ж формулу для знаходження обсягу трикутної призми. Крім цього часу, площа підстави - це трикутник, а не прямокутник.

Погляньте на трикутну призму нижче.

Щоб знайти обсяг трикутної призми, помножте площу підстави ( $B$ ) на висоту призми.

$V=Bh$

Спочатку знайдіть площу трикутної основи, використовуючи формулу площі трикутника.

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}bh \\ A&=\dfrac{1}{2}(15\times 6) \\ A&=\dfrac{1}{2}(90) \\ A&=45\:\text{ sq. units}\end{aligned}$

Далі множимо це на висоту.

$\begin{aligned} V&=Bh \\ V&=(45)h \\ V&=45(2) \\ V&=90\text{ cubic centimeters} or \text{ cm}^{3}\end{aligned}$

Обсяг призми дорівнює $90\text{ cm}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам дали проблему про пісочницю Ленса і Карен.

Пісочниця шириною 6 футів, довжиною 8 футів і глибиною 1 футів. Ленсу потрібно знати обсяг.

Рішення

Щоб знайти обсяг пісочниці, яка представляє собою призму з одним з її підстав, скористайтеся наступною формулою.

$V=Bh$

Спочатку підставляємо в задані значення. Пам'ятайте, B - довжина на ширину.

$\begin{aligned} V&=(8\times 6)(1)\\ V&=48\text{ ft}^{3}\end{aligned}$

Це загальний обсяг.

Далі, щоб дізнатися, скільки піску йому потрібно для заповнення пісочниці наполовину, розділіть загальний обсяг на 2.

$48\divide 2=24$

Ленс потребує 24 кубічних футів піску, щоб заповнити пісочницю на півдорозі.

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть обсяг призми.

Рішення

Щоб знайти обсяг призми, скористайтеся наступною формулою.

$V=Bh$

Спочатку підставляємо в задані значення. Пам'ятайте, B - довжина на ширину.

$\begin{aligned} V&=(16\times 9)(4) \\ V&=576\text{ cm}^{3}\end{aligned}$

Відповідь є $576\text{ cm}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть обсяг призми.

Рішення

По-перше, щоб знайти обсяг призми, скористайтеся наступною формулою.

$V=Bh$

Далі підставляємо в задані значення. Пам'ятайте, B - довжина на ширину. Це квадратний куб, тому довжина, ширина і висота однакові.

$\begin{aligned} V&=(5\times 5)(5) \\V&=125\text{ in}^{3}\end{aligned}$

Відповідь є $125\text{ in}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть обсяг призми.

Рішення

По-перше, щоб знайти обсяг призми, скористайтеся наступною формулою.

$V=Bh$

Спочатку підставляємо в задані значення. Пам'ятайте, B - довжина на ширину.

$\begin{aligned} V&=(30\times 5)(3) \\ V&=450\text{ in}^{3}\end{aligned}$

Відповідь є $450\text{ in}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть обсяг призми.

Рішення

Щоб знайти обсяг трикутної призми, помножте площу підстави (В) на висоту призми.

$V=Bh$

Спочатку знайдіть площу трикутної основи, використовуючи формулу площі трикутника.

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}bh \\ A&=\dfrac{1}{2}(5\times 7) \\ A&=\dfrac{1}{2}(35) \\ A&=17.5 \text{ sq. m} \end{aligned}$

Далі множимо це на висоту.

$\begin{aligned} V&=Bh \\ V&=(17.5)1 \\ V&=17.5\text{ cm}^{3}\end{aligned}$

Обсяг призми дорівнює $17.5\text{ cm}^{3}$ .

Рецензія

Знайдіть обсяг кожної прямокутної призми. Не забудьте позначити свою відповідь кубічними одиницями.

Довжина = 5 дюймів, ширина = 3 дюйма, висота = 4 дюйми
Довжина = 7 м, ширина = 6 м, висота = 5 м
Довжина = 8 см, ширина = 4 см, висота = 9 см
Довжина = 8 см, ширина = 4 см, висота = 12 см
Довжина = 10 футів, ширина = 5 футів, висота = 6 футів
Довжина = 9 м, ширина = 8 м, висота = 11 м
Довжина = 5,5 дюйма, ширина = 3 дюйма, висота = 5 дюймів
Довжина = 6,6 см, ширина = 5 см, висота = 7 см
Довжина = 7 футів, ширина = 4 фути, висота = 6 футів
Довжина = 15 м, ширина = 8 м, висота = 10 м

Знайдіть обсяг кожної трикутної призми. Пам'ятайте, що h\) означає висоту трикутної основи, а H\) означає висоту всієї призми.

$b=6\text{ in}$ , $h=4\text{ in}$ , $H=5\text{ in}$
$b=7\text{ in}$ , $h=5\text{ in}$ , $H=9\text{ in}$
$b=10\text{ m}$ , $h=8\text{ m}$ , $H=9\text{ m}$
$b=12\text{ m}$ , $h=10\text{ m}$ , $H=13\text{ m}$
$b=8\text{ cm}$ , $h=6\text{ cm}$ , $H=9\text{ cm}$

Відповідь true або false на кожне з наступних питань.

Обсяг - це кількість простору, яке фігура може утримувати всередині нього.
Обсяг прямокутної призми завжди більше обсягу куба.
Обсяг трикутної призми менше прямокутної призми з таким же розміром підстави.
Художник повинен знати площу поверхні будинку, щоб правильно виконувати свою роботу.
Якщо Маркус покриває свою книгу обкладинкою книги, Маркус покриває площу поверхні книги.

Лексика

Термін	Визначення
Чистий	Сітка - це діаграма, яка показує «сплющений» вигляд твердого тіла. У сітці кожна грань і основа показані з усіма її розмірами. Сітка також може служити візерунком для побудови об'ємного твердого тіла.
Прямокутна призма	Прямокутна призма - це призма, складена з двох прямокутних підстав і чотирьох прямокутних граней.
Площа поверхні	Площа поверхні - це загальна площа всіх поверхонь тривимірного об'єкта.
Трикутна призма	Трикутна призма - це призма, складена з двох трикутних підстав і трьох прямокутних граней.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Об'єм твердої геометрії

Практика: Обсяг призм