9.10: Площа поверхні та об'єм призм

Призми

Призма - це 3-мірна фігура з 2 конгруентними основами, в паралельних площинях, в яких інші грані є прямокутниками.

Небазові грані - це l бічні грані . Краї між бічними гранями - це бічні ребра .

Цей конкретний приклад є п'ятикутною призмою, оскільки її основою є п'ятикутник. Призми називаються за формою їх підстави. Призми класифікуються як праві призми (призми, де всі бічні грані перпендикулярні основам), або косі призми (призми, що нахиляються в одну сторону, основою якої є паралелограм, а не прямокутник, і висота яких перпендикулярна площині основи), як показано нижче.

Площа поверхні

Щоб знайти площу поверхні призми, знайдіть суму площ її граней. Бічна площа - це сума площ бічних граней. Основною одиницею площі є квадратна одиниця.

$Surface Area=B_{1}+B_{2}+L_{1}+L_{2}+L_{3}$

$Lateral Area=L_{1}+L_{2}+L_{3}$

Обсяг

Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з'ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об'єму є кубічна одиниця.

Зокрема, для призм, щоб знайти обсяг, ви повинні знайти площу підстави і помножити її на висоту.

Обсяг призми:$V=B\cdot h$, де$B= area\: of\: base$.

Якщо коса призма і права призма мають однакову площу підстави і висоту, то вони будуть мати однаковий обсяг. Це пов'язано з принципом Кавальєрі, який стверджує, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони матимуть однаковий обсяг.

Що робити, якщо вам дали суцільну тривимірну фігуру з двома конгруентними основами, в яких інші грані були прямокутниками? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?

Приклад$\PageIndex{1}$

Загальна площа поверхні трикутної призми дорівнює$540\text{ units}^{2}$. Що таке$x$?

Рішення

Загальна площа поверхні дорівнює:

$A_{2\: triangles}+A_{3\: rectangles}=540$

Гіпотенуза основ трикутника дорівнює 13,$5^{2}+12^{2}$. Давайте заповнимо те, що ми знаємо.

$\begin{aligned} A_{2\: triangles}=2(\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12)=60 \\ A_{3\: rectangles}&=5x+12x+13x=30x \\ 60+30x &=540 \\ 30x&=480 \\ x&=16\text{ units }\qquad \text{ The height is 16 units.}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть обсяг правої прямокутної призми нижче.

Рішення

Площа$(5)(4)=20$ підстави дорівнює і висоті 3. Отже, загальний обсяг$(20)(3)=60\text{ unit}^{3}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть площу поверхні призми нижче.

Рішення

Щоб вирішити, намалюйте сітку призми, щоб ми могли переконатися, що знайдемо площу ВСІХ граней.

Використовуючи мережу, ми маємо:

$\begin{aligned} SA_{prism}&=2(4)(10)+2(10)(17)+2(17)(4)\\ &=80+340+136 \\ &=556 \text{ cm}^{2}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть площу поверхні призми нижче.

Рішення

Це права трикутна призма. Щоб знайти площу поверхні, нам потрібно знайти довжину гіпотенузи підстави, оскільки це ширина однієї з бічних граней. Ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти цю довжину.

$\begin{aligned} 7^{2}+24^{2}&=c^{2} \\ 49+576&=c^{2} \\ 625&=c^{2} \qquad c=25\end{aligned}$

Дивлячись на сітку, площа поверхні становить:

$\begin{aligned} SA&=28(7)+28(24)+28(25)+2(\dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 24) \\ SA&=196+672+700+168=1736 units^{2}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

У вас невеликий, трикутний намет у формі призми. Скільки гучності він має після того, як він налаштований?

Рішення

Для початку нам потрібно знайти площу підстави.

$\begin{aligned} B&=\dfrac{1}{2}(3)(4)=6 \text{ ft}^{2} \\ V&=Bh=6(7)=42 \text{ ft}^{3}\end{aligned}$

Незважаючи на те, що висота в цій задачі не виглядає як «висота», це тому, що це перпендикулярний відрізок, що з'єднує дві основи.

Рецензія

1. Що це за тип призми?

   

2. Намалюйте сітку цієї призми.
3. Знайдіть площу підстав.
4. Знайдіть площу бічних граней, або площу бічної поверхні.
5. Знайти загальну площу поверхні призми.

6. Скільки одиничних кубиків може поміститися в коробку шириною 8 дюймів, довжиною 10 дюймів і 12 дюймів заввишки? Це те саме, що і обсяг коробки?
7. Зернова коробка шириною 2 дюйми, довжиною 10 дюймів і 14 дюймів заввишки. Скільки крупи вміщує ящик?
8. Банка соди має висоту 4 дюйми і має діаметр 2 дюйми. Скільки соди тримає балончик? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.
9. Куб тримає$216\text{ in}^{3}$. Яка довжина кожного краю?
10. Куб має сторони, які становлять 8 дюймів. Що таке обсяг?

Використовуйте праву трикутну призму, щоб відповісти на питання 11-15.

11. Знайдіть обсяг призми.
12. Якої форми мають підстави цієї призми? Які їх області?
13. Які розміри кожної з бічних граней? Які їх області?
14. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
15. Знайти загальну площу поверхні призми.
16. Опишіть різницю між площею бічної поверхні та загальною площею поверхні.
17. Нечіткі кубики - це кубики з 4-дюймовими сторонами.

    

    1. Який обсяг і площа поверхні однієї матриці?
    2. Який обсяг і площа поверхні обох кубиків?

Знайдіть обсяг наступних твердих тіл. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

18. підстави - рівнобедрені трапеції

    

19. 

20. 

21. 

Знайдіть величину$x$, задану площу поверхні.

22. $V=504 \text{ unit}^{3}$

    

23. $V=2688\text{ unit}^{3}$

    

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.3.

Лексика

Додаткові ресурси

Відео: Принципи призми - Основні

Види діяльності: Призми Дискусійні питання

Навчальні посібники: посібник з вивчення призм та циліндрів

Практика: Площа поверхні та об'єм призми