Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.5: Обсяг

  • Page ID
    54471
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кількість одиничних кубів для заповнення призм, сфер, пірамід, циліндрів, конусів та композитних твердих тіл.

    Обсяг твердих речовин

    Обсяг твердого тіла - це міра того, скільки місця займає об'єкт. Він вимірюється кількістю одиничних кубів, необхідних для заповнення твердого тіла.

    VolumeOfSolid.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Обсяг призми

    Призма - це суцільне тіло з двома конгруентними основами багатокутників, які паралельні і з'єднані прямокутниками. Призми названі своєю базовою формою.

    VolumeOfPrism.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Щоб знайти обсяг призми, знайдіть площу її підстави і помножте на її висоту.
    \(V_{prism}=A_{base}\cdot h\)

    Обсяг циліндра

    Циліндр являє собою тривимірне тверде тіло, що складається з двох конгруентних, паралельних, круглих сторін (підстав), з'єднаних вигнутою поверхнею.

    VolumeOfCylinder.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Щоб знайти об'єм циліндра, знайдіть площу його круглої основи і помножте на його висоту.

    \(V_{cylinder}= \pir^{2}h\)

    CK-12 PLIX: Площа поверхні та об'єм циліндрів

    Інтерактивний елемент

    Об'єм піраміди

    Піраміда - це тривимірне тверде тіло з багатокутною основою. Кожен кут багатокутника прикріплений до однини вершини, що надає піраміді свою відмінну форму. Кожен базовий край і вершина утворюють трикутник. Піраміди названі за формою основи.

    Щоб знайти обсяг піраміди, знайдіть обсяг призми з однаковим підставою і розділіть на три.

    VolumeOfPyramid.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    \(V_{pyramid}=\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}\)

    Об'єм конуса

    Конус являє собою тривимірне тверде тіло з круговою основою, бічна поверхня якого зустрічається в точці, званої вершиною.

    VolumeOfCone.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Щоб знайти обсяг конуса, знайдіть обсяг циліндра з однаковим підставою і розділіть на три.

    \(V_{cone}=\dfrac{ \pi r^{2}h}{3}\)

    Розглянемо:

    Яке співвідношення між об'ємом циліндра і конуса, що мають однаковий радіус і висоту?

    U1C10GQ1.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Співвідношення між об'ємом циліндра і конуса з однаковим радіусом і висотою становить _______.

    Обсяг сфери

    Сфера - це сукупність усіх точок у просторі, рівновіддалених від центральної точки. Відстань від центральної точки до сфери називається радіусом.

    VolumeOfSphere.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Обсяг сфери спирається на її радіус.

    \(V_{sphere}=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}\)

    Обчислення обсягу

    Клацніть маленьку синю стрілку поруч із зображенням нижче і перетягніть помаранчеві точки, щоб відрегулювати розміри твердого тіла, наведені нижче, і спостерігати за тим, як змінюється гучність.


    VolumeInteractive.png

    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Об'єм композитного твердого тіла

    Композитне тверде тіло - це тверда речовина, що складається із загальних геометричних твердих тіл. Тверді речовини, з яких він складається, як правило, призми, піраміди, конуси, циліндри та сфери.

    CompositeSolid.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Обсяг композитного твердого тіла - це сума обсягів окремих твердих тіл, що входять до складу композиту.

    Давайте розглянемо деякі проблеми, де знаходимо гучність.

    1. Знайдіть обсяг прямокутної призми нижче.

    U1C10P1.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Щоб знайти обсяг призми, потрібно знайти площу підстави і помножити на висоту. Зверніть увагу, що для прямокутної призми будь-яке обличчя може бути «базою», а не тільки особа, яка здається внизу.

    U1C10Eq1.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    2. Обсяг конуса знайдіть нижче.

    U1C10P2.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

    Щоб знайти обсяг конуса, потрібно знайти площу круглої основи, помножити на висоту, і розділити на три.

    U1C10Eq2.png
    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

    3. Знайдіть обсяг сфери радіусом 4 см.

    U1C10P3.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

    \(\begin{aligned} \text{Volume of Sphere }&=&\dfrac{4}{3} \pi r^{3} \\ &=&\dfrac{4}{3} \pi(4)^{3} \\ &=&\dfrac{256 \pi}{3} cm^{3}\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Складене тверде тіло внизу виконано з куба і квадратної піраміди. Довжина кожного краю куба становить 12 футів, а загальна висота твердого тіла - 22 фути. Який обсяг твердого тіла? Чому ви можете знати обсяг твердої речовини?

    U1C10E1.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Рішення

    Щоб знайти обсяг твердого тіла, знайдіть суму обсягів призми (куба) і піраміди. Зверніть увагу, що оскільки загальна висота становить 22 фути, а висота куба - 12 футів, висота піраміди повинна бути 10 футів.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ текст {Об'єм призми (куб)} &=A_ {\ текст {база}}\ cdot h\\
    & =( 12\ cdot 12) (12)\\
    &=1728\ mathrm {ft} ^ {3}\\
    \ текст {Обсяг піраміди} &=\ frac {A_ {\ текст {база}}\ cdot {h} 3}\\
    &=\ гідророзриву {(12\ точка 12) (10)} {3}\\
    &= 480\ mathrm {ft} ^ {3}\\
    &=\ текст {обсяг призми (куб)} +\ текст {Обсяг піраміди}\\
    &=1728+480\\
    &=2208\ mathrm {ft} ^ {3}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Обсяг допомагає дізнатися, скільки буде триматися тверда речовина. Один кубічний фут вміщує близько 7,48 галонів рідини, тому

    \ (\ begin {вирівняний}
    \ text {Галони рідини, яку може містити тверда речовина} &=\ text {Обсяг твердого тіла. Кількість галонів/кубічних футів}\\
    & =( 2208) (7.48)\\
    &= 16,515.84\ текст {галони}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Площа підстави піраміди нижче дорівнює\(100 cm^{2}\). Висота - 5 см. Який обсяг піраміди?

    U1C10E2.png
    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

    Рішення

    \(V_{prism}=A_{base}\cdot h=(100\text{ cm}^{2} )\cdot (5 cm)=500\text{ cm}^{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Обсяг сфери є\(\dfrac{500 \pi}{3} in^{3}\). Що таке радіус сфери?

    Рішення

    Щоб знайти радіус, скористайтеся формулою:\(Volume\: of\: Sphere = \dfrac{4}{3} \pir^{3}\)

    \(\begin{aligned} \dfrac{500 \pi}{3}&=\dfrac{4}{3} \pi r^{3} \\ 4r^{3} =500 \\ r^{3} &=125 \\ r&=5\text{ in} \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Обсяг квадратної піраміди дорівнює\(64 in^{3}\). Висота піраміди в три рази перевищує довжину сторони підстави. Яка висота піраміди?

    Рішення

    U1C10Eq3.png
    Малюнок\(\PageIndex{13}\)

    Сторона\(s=4\) в і висота\(h=3(4)=12 in.\)

    Рецензія

    Знайдіть обсяг кожного твердого або композитного твердого тіла.


    1. F-D_6 Плата 75Б7Ф9Ф55D3296D погано 5Ф7752C9C27646E4C96F8C1E8389E77C+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{14}\)

    2. F-D_A36693Ф55Ф1А7А3Д35 КБКФ8БКФ8Д 21А1Ф3Д4Б4Б4Е716Ц9ЕФ301D36C2DBE+зображення_thumb_поштова листівка_крихіткий+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)

    3. F-D_C840D15C019F5DF3BFA23EF09 FFE0E97F8F223244D07618D0FAF360+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{16}\)

    4. F-D_088AB8A782A00C205A04DA66F9C5DDA9BD39eb5FCCC3AD91BEF3F2B+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{17}\)
    5. Підстава - рівносторонній трикутник.

      F-D_363FBF814A48954725A72FF5BEF16B53A80447b03E331b99146CAD8B+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{18}\)

    6. F-D_9002140d0d0354fc761ccd8d17eb5a836b492d0d09d0E7c9ec0b5D+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{19}\)

    7. Поясніть, чому формула об'єму призми передбачає площу підстави.

    8. Як пов'язаний циліндр з призмою?

    9. Як пов'язана піраміда з конусом?

    10. Як сфера пов'язана з колом?

    11. Якщо один кубічний сантиметр вмістить 1 мілілітр води, приблизно скільки літрів води буде тримати тверда речовина в #1? (Один літр - 1000 мілілітрів).

    12. Якщо один кубічний сантиметр вмістить 1 мілілітр води, приблизно скільки літрів води буде тримати тверда речовина в #3? (Один літр - 1000 мілілітрів).

    13. Якщо 231 кубічних дюймів буде містити один галон води, приблизно скільки галонів води буде тверда речовина в #5 тримати?

    14. Обсяг конуса дорівнює\(125 \pi in^3\). Висота в три рази перевищує довжину радіуса. Яка висота конуса?

    15. Обсяг п'ятикутної призми дорівнює\(360 in^3\). Висота призми - 3 дюйми. Яка площа підстави п'ятикутника?

    16. На малюнку нижче представлений циліндр, висота якого становить 3 одиниці. Усередині циліндра знаходиться півсфера (половина сфери). А всередині півсфери знаходиться конус. Знайдіть обсяг циліндра і конуса. Знайдіть обсяг сфери, а потім півкулі. Чи бачите ви зв'язок між об'ємом циліндра та конуса та півкулі? Поясніть. Скористайтеся цим, щоб отримати формулу об'єму сфери з формул для циліндра та конуса.


    F-D_21F80FF719CF0E1F7267309D00DC9539FA99F9B7C63C5368AA2ADB06+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{20}\)

    17. Ізометрична сітка нижче складається з рівносторонніх трикутників, сторона яких має одиничну довжину 1. Знайдіть обсяг для кожної з пірамід. Що ви спостерігаєте? Поясніть.


    F-D_95935811C5D10BE728E22B7D7D0244917f4203b65DA29D55562+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{21}\)

    18. Знайдіть площу поверхні і обсяг наступної піраміди. Кожен відрізок лінії у фоновому сітці має довжину 1.


    F-D_64Ф712Е6Д 20006641891d2F33BFF2A37752911b3E75EB8DE1C92A817+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{22}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, натисніть тут.