9.5: Обсяг

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54471

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Кількість одиничних кубів для заповнення призм, сфер, пірамід, циліндрів, конусів та композитних твердих тіл.

Обсяг твердих речовин

Обсяг твердого тіла - це міра того, скільки місця займає об'єкт. Він вимірюється кількістю одиничних кубів, необхідних для заповнення твердого тіла.

Обсяг призми

Призма - це суцільне тіло з двома конгруентними основами багатокутників, які паралельні і з'єднані прямокутниками. Призми названі своєю базовою формою.

Щоб знайти обсяг призми, знайдіть площу її підстави і помножте на її висоту.
\(V_{prism}=A_{base}\cdot h\)

Обсяг циліндра

Циліндр являє собою тривимірне тверде тіло, що складається з двох конгруентних, паралельних, круглих сторін (підстав), з'єднаних вигнутою поверхнею.

Щоб знайти об'єм циліндра, знайдіть площу його круглої основи і помножте на його висоту.

\(V_{cylinder}= \pir^{2}h\)

CK-12 PLIX: Площа поверхні та об'єм циліндрів

Інтерактивний елемент

Об'єм піраміди

Піраміда - це тривимірне тверде тіло з багатокутною основою. Кожен кут багатокутника прикріплений до однини вершини, що надає піраміді свою відмінну форму. Кожен базовий край і вершина утворюють трикутник. Піраміди названі за формою основи.

Щоб знайти обсяг піраміди, знайдіть обсяг призми з однаковим підставою і розділіть на три.

\(V_{pyramid}=\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}\)

Об'єм конуса

Конус являє собою тривимірне тверде тіло з круговою основою, бічна поверхня якого зустрічається в точці, званої вершиною.

Щоб знайти обсяг конуса, знайдіть обсяг циліндра з однаковим підставою і розділіть на три.

\(V_{cone}=\dfrac{ \pi r^{2}h}{3}\)

Розглянемо:

Яке співвідношення між об'ємом циліндра і конуса, що мають однаковий радіус і висоту?

Співвідношення між об'ємом циліндра і конуса з однаковим радіусом і висотою становить _______.

Обсяг сфери

Сфера - це сукупність усіх точок у просторі, рівновіддалених від центральної точки. Відстань від центральної точки до сфери називається радіусом.

Обсяг сфери спирається на її радіус.

\(V_{sphere}=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}\)

Обчислення обсягу

Клацніть маленьку синю стрілку поруч із зображенням нижче і перетягніть помаранчеві точки, щоб відрегулювати розміри твердого тіла, наведені нижче, і спостерігати за тим, як змінюється гучність.

Об'єм композитного твердого тіла

Композитне тверде тіло - це тверда речовина, що складається із загальних геометричних твердих тіл. Тверді речовини, з яких він складається, як правило, призми, піраміди, конуси, циліндри та сфери.

Обсяг композитного твердого тіла - це сума обсягів окремих твердих тіл, що входять до складу композиту.

Давайте розглянемо деякі проблеми, де знаходимо гучність.

1. Знайдіть обсяг прямокутної призми нижче.

Щоб знайти обсяг призми, потрібно знайти площу підстави і помножити на висоту. Зверніть увагу, що для прямокутної призми будь-яке обличчя може бути «базою», а не тільки особа, яка здається внизу.

2. Обсяг конуса знайдіть нижче.

Щоб знайти обсяг конуса, потрібно знайти площу круглої основи, помножити на висоту, і розділити на три.

3. Знайдіть обсяг сфери радіусом 4 см.

\(\begin{aligned} \text{Volume of Sphere }&=&\dfrac{4}{3} \pi r^{3} \\ &=&\dfrac{4}{3} \pi(4)^{3} \\ &=&\dfrac{256 \pi}{3} cm^{3}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Складене тверде тіло внизу виконано з куба і квадратної піраміди. Довжина кожного краю куба становить 12 футів, а загальна висота твердого тіла - 22 фути. Який обсяг твердого тіла? Чому ви можете знати обсяг твердої речовини?

Рішення

Щоб знайти обсяг твердого тіла, знайдіть суму обсягів призми (куба) і піраміди. Зверніть увагу, що оскільки загальна висота становить 22 фути, а висота куба - 12 футів, висота піраміди повинна бути 10 футів.

\ (\ почати {вирівняний}
\ текст {Об'єм призми (куб)} &=A_ {\ текст {база}}\ cdot h\\
& =( 12\ cdot 12) (12)\\
&=1728\ mathrm {ft} ^ {3}\\
\ текст {Обсяг піраміди} &=\ frac {A_ {\ текст {база}}\ cdot {h} 3}\\
&=\ гідророзриву {(12\ точка 12) (10)} {3}\\
&= 480\ mathrm {ft} ^ {3}\\
&=\ текст {обсяг призми (куб)} +\ текст {Обсяг піраміди}\\
&=1728+480\\
&=2208\ mathrm {ft} ^ {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Обсяг допомагає дізнатися, скільки буде триматися тверда речовина. Один кубічний фут вміщує близько 7,48 галонів рідини, тому

\ (\ begin {вирівняний}
\ text {Галони рідини, яку може містити тверда речовина} &=\ text {Обсяг твердого тіла. Кількість галонів/кубічних футів}\\
& =( 2208) (7.48)\\
&= 16,515.84\ текст {галони}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Площа підстави піраміди нижче дорівнює\(100 cm^{2}\). Висота - 5 см. Який обсяг піраміди?

Рішення

\(V_{prism}=A_{base}\cdot h=(100\text{ cm}^{2} )\cdot (5 cm)=500\text{ cm}^{3}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Обсяг сфери є\(\dfrac{500 \pi}{3} in^{3}\). Що таке радіус сфери?

Рішення

Щоб знайти радіус, скористайтеся формулою:\(Volume\: of\: Sphere = \dfrac{4}{3} \pir^{3}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{500 \pi}{3}&=\dfrac{4}{3} \pi r^{3} \\ 4r^{3} =500 \\ r^{3} &=125 \\ r&=5\text{ in} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Обсяг квадратної піраміди дорівнює\(64 in^{3}\). Висота піраміди в три рази перевищує довжину сторони підстави. Яка висота піраміди?

Рішення

Сторона\(s=4\) в і висота\(h=3(4)=12 in.\)

Рецензія

Знайдіть обсяг кожного твердого або композитного твердого тіла.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)
Малюнок\(\PageIndex{15}\)
Малюнок\(\PageIndex{16}\)
Малюнок\(\PageIndex{17}\)
Підстава - рівносторонній трикутник.

Малюнок\(\PageIndex{18}\)
Малюнок\(\PageIndex{19}\)

7. Поясніть, чому формула об'єму призми передбачає площу підстави.

8. Як пов'язаний циліндр з призмою?

9. Як пов'язана піраміда з конусом?

10. Як сфера пов'язана з колом?

11. Якщо один кубічний сантиметр вмістить 1 мілілітр води, приблизно скільки літрів води буде тримати тверда речовина в #1? (Один літр - 1000 мілілітрів).

12. Якщо один кубічний сантиметр вмістить 1 мілілітр води, приблизно скільки літрів води буде тримати тверда речовина в #3? (Один літр - 1000 мілілітрів).

13. Якщо 231 кубічних дюймів буде містити один галон води, приблизно скільки галонів води буде тверда речовина в #5 тримати?

14. Обсяг конуса дорівнює\(125 \pi in^3\). Висота в три рази перевищує довжину радіуса. Яка висота конуса?

15. Обсяг п'ятикутної призми дорівнює\(360 in^3\). Висота призми - 3 дюйми. Яка площа підстави п'ятикутника?

16. На малюнку нижче представлений циліндр, висота якого становить 3 одиниці. Усередині циліндра знаходиться півсфера (половина сфери). А всередині півсфери знаходиться конус. Знайдіть обсяг циліндра і конуса. Знайдіть обсяг сфери, а потім півкулі. Чи бачите ви зв'язок між об'ємом циліндра та конуса та півкулі? Поясніть. Скористайтеся цим, щоб отримати формулу об'єму сфери з формул для циліндра та конуса.

17. Ізометрична сітка нижче складається з рівносторонніх трикутників, сторона яких має одиничну довжину 1. Знайдіть обсяг для кожної з пірамід. Що ви спостерігаєте? Поясніть.

18. Знайдіть площу поверхні і обсяг наступної піраміди. Кожен відрізок лінії у фоновому сітці має довжину 1.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, натисніть тут.