9.6: Поперечні перерізи та основні тверді тіла обертання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54464

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поперечні перерізи твердих тіл і твердих тіл створюються обертанням фігур навколо ліній.

Затінену фігуру внизу обертають навколо лінії. Який обсяг твердого тіла, який створюється?

Поперечні перерізи

Нагадаємо, що поперечний переріз - це форма, яку ви бачите, коли робите один зріз через тверде тіло. Тверда може мати багато різних перетинів залежно від того, де ви робите зріз. Розглянемо шестикутну піраміду. Поперечні перерізи, перпендикулярні до основи, будуть трикутниками. Поперечні перерізи, паралельні до основи, будуть шестигранниками. Також можна брати поперечні перерізи за допомогою площин, які не є ні паралельними, ні перпендикулярними до основи. Внизу шестикутна піраміда була нарізана під нахилом. Перетин - п'ятикутник.

Інтерактивний елемент

Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах

Поперечні перерізи - це один із способів з'єднання двох розмірних об'єктів з тривимірними об'єктами.

Другий зв'язок між двома і трьома вимірами походить від того, що тривимірні тверді тіла можуть бути створені шляхом обертання двовимірних об'єктів навколо лінії.

Інтерактивний елемент

Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах

Давайте розглянемо деякі проблеми щодо перетинів.

Визначте тіло, яке створюється, коли наступна форма обертається навколо лінії.

Суцільний являє собою конус радіусом 5 см.

Знайдіть об'єм твердого тіла з #1.

Обсяг конуса дорівнює\(V=\dfrac{\pi r^{2}h}{3}\). Радіус - 5 см. Щоб знайти висоту конуса, скористайтеся теоремою Піфагора:

\(5^{2}+h^{2}=9^{2}\)

\(h=\sqrt{56}\approx 7.48\: cm\)

Обсяг конуса становить:

\(V=\dfrac{\pi (5^{2})(7.48)}3\approx 195.83 cm^{3}\)

Визначте принаймні три двовимірні форми, створені поперечними перерізами твердого тіла з першої задачі.

Поперечні перерізи, взяті паралельно підставі, будуть колами. Поперечні перерізи, взяті перпендикулярно до основи, будуть трикутниками. Коли перетин береться під ухилом, існує безліч інших можливостей. Два додаткових перерізу - це еліпс або заповнена парабола.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, який обсяг твердого тіла, яке було створено.

Затінену фігуру внизу обертають навколо лінії.

Рішення

Отримане тверде тіло являє собою сферу з віддаленою від центру сферою. Обсяг великої сфери - це\(\dfrac{4\pi (3^{3})}{3}=36\pi in^{3}\). Обсяг маленької сфери дорівнює\(\dfrac{4\pi (2^{3})}{3}=32\pi 3 in^{3}\). Обсяг отриманого твердого речовини становить:

\(V=36\pi −\dfrac{32\pi} {3}=\dfrac{76\pi}{3}\text{ in}^{3}\)

Використовуйте малюнок нижче для #2 - #4.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте тверде тіло, яке створюється, коли фігура вище обертається навколо лінії.

Рішення

Тверда речовина являє собою циліндр з півсферою зверху. Радіус кожного дорівнює 4 см.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть об'єм твердого тіла з #2.

Рішення

Обсяг циліндра дорівнює\(\pi (4^{2})(4)=64\pi cm^{3}\). Обсяг півсфери становить\(\dfrac{4\pi (4^{3})}{6}=\dfrac{128\pi}{3} cm^{3}\). Обсяг всього твердого тіла дорівнює\(\dfrac{320\pi}{3} cm^{3}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Визначте принаймні три двовимірні фігури, створені поперечними перерізами твердого тіла з #2.

Рішення

Можливі відповіді: Поперечні перерізи, взяті паралельно підставі, будуть колами. Поперечні перерізи, взяті перпендикулярно до основи, будуть прямокутниками з половиною кіл зверху. Деякі поперечні перерізи, прийняті під нахилом, будуть еліпсами.

Рецензія

Використовуйте малюнок нижче для #1 - #3.

1. Опишіть тверде тіло, яке створюється, коли фігура вище обертається навколо лінії.

2. Знайдіть обсяг твердого тіла.

3. Визначте щонайменше 3 двовимірні форми, створені поперечними перерізами твердого тіла.

Використовуйте малюнок нижче для #4 - #6.

4. Опишіть тверде тіло, яке створюється, коли фігура вище обертається навколо лінії.

5. Знайдіть обсяг твердого тіла.

6. Визначте щонайменше 3 двовимірні форми, створені поперечними перерізами твердого тіла.

Використовуйте малюнок нижче для #7 - #9.

7. Опишіть тверде тіло, яке створюється, коли фігура вище обертається навколо лінії.

8. Знайдіть обсяг твердого тіла.

9. Визначте щонайменше 2 двовимірні форми, створені поперечними перерізами твердого тіла.

Використовуйте малюнок нижче для #10 - #12.

10. Опишіть тверде тіло, яке створюється, коли фігура вище обертається навколо лінії.

11. Знайдіть обсяг твердого тіла.

12. Визначте щонайменше 2 двовимірні форми, створені поперечними перерізами твердого тіла.

Використовуйте малюнок нижче для #13 - #15.

13. Опишіть тверде тіло, яке створюється, коли фігура вище обертається навколо лінії.

14. Знайдіть обсяг твердого тіла.

15. Визначте щонайменше 2 двовимірні форми, створені поперечними перерізами твердого тіла.

16. Нижче наведені поперечні перерізи різних твердих тіл. Знайдіть площу кожного поперечного перерізу. (На зображеному ізометричному папері сітки сторона рівностороннього трикутника представляє 1 одиницю довжини в будь-якому напрямку.)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, натисніть тут.