3.8: Кути і перпендикулярні лінії

Лінії, які перетинаються під 90 градусів або прямим кутом.

Дві лінії перпендикулярні, коли вони перетинаються,$90^{\circ}$ утворюючи кут. Нижче,$l\perp \overline{AB}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

У визначенні перпендикуляра використовується слово «лінія». Однак відрізки ліній, промені і площини також можуть бути перпендикулярними. На зображенні нижче показані дві паралельні площини з третьою синьою площиною, яка перпендикулярна обом з них.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Основні факти про перпендикулярних лініях

Теорема #1: Якщо$l\parallel m$ і$n\perp l$, то$n\perp m$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Теорема #2: Якщо$l\perp n$ і$n\perp m$, то$l\parallel m$.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Постулат: Для будь-якої лінії і точки, яка не знаходиться на лінії, є одна лінія, перпендикулярна цій лінії, що проходить через точку. Є нескінченно багато ліній, які проходять через$A$, але тільки одна, яка перпендикулярна$l$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Що робити, якщо вам дали пару ліній, які перетинаються один з одним$90^{\circ}$ під кутом? Яку термінологію ви б використали для опису таких рядків?

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте міру$\angle 1$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Ми знаємо, що обидві паралельні лінії перпендикулярні поперечної.

$m\angle 1=90^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$m\angle 1$.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

Два сусідніх кута складають до$90^{\circ}$, так$l\perp m$.

$m\angle 1=90^{\circ}$

тому що це вертикальний кут до пари сусідніх кутів, а вертикальні кути є конгруентними.

Приклад$\PageIndex{3}$

Який із наведених нижче є найкращим прикладом перпендикулярних ліній: широта на глобусі, протилежні сторони фоторамки, стовпи огорожі або суміжні сторони фоторамки?

Рішення

Кращим прикладом можуть бути сусідні сторони фоторамки. Пам'ятайте, що суміжні означає поруч і спільне використання вершини. Сусідні сторони фоторамки зустрічаються$90^{\circ}$ під кутом і тому ці сторони перпендикулярні.

Приклад$\PageIndex{4}$

Є$\overleftrightarrow{SO} \perp \overrightarrow{GD}$?

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

$\angle OGD\cong \angle SGD$а кути утворюють лінійну пару. Це означає, що обидва кути є$90^{\circ}$, тому лінії перпендикулярні.

Приклад$\PageIndex{5}$

Напишіть 2-стовпцевий доказ, щоб довести теорему #1. Примітка: Вам потрібно зрозуміти відповідні кути, щоб зрозуміти цей доказ. Якщо ви ще не вивчили відповідні кути, обов'язково спочатку ознайомтеся з цією концепцією або пропустіть цей приклад.

З огляду на:$l\parallel m$,$l\perp n$

Доведіть:$n\perp m$

Малюнок$\PageIndex{9}$

Рішення

Заява	Причина
1. $l\parallel m$,$l\perp n$	1. Враховується
2. $\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3$, і$\angle 4 are right angles$	2. Визначення перпендикулярних ліній
3. $m\angle 1=90^{\circ}$	3. Визначення прямого кута
4. $m\angle 1=m\angle 5$	4. Відповідні кути постулат
5. $m\angle 5=90^{\circ}$	5. Перехідний$PoE$
6. $m\angle 6=m\angle 7=90^{\circ}$	6. Конгруентні лінійні пари
7. $m\angle 8=\(90^{\circ}$	7. Теорема про вертикальні кути
8. $\angle 5$,$\angle 6$,$\angle 7$, і$\angle 8$ є прямими кутами	8. Визначення прямого кута
9. $n\perp m$	9. Визначення перпендикулярних ліній

Рецензія

Використовуйте малюнок нижче, щоб відповісти на питання 1-2. Два п'ятикутника паралельні і всі прямокутні сторони перпендикулярні обом.

Малюнок$\PageIndex{10}$

1. Перерахуйте пару перпендикулярних ліній.
2. Бо$\overline{AB}$, скільки перпендикулярних ліній буде проходити через точку$V$? Назвіть this/ці рядки (и).

Використовуйте малюнок нижче для питання 3.

Малюнок$\PageIndex{11}$

3. Якщо$t\perp l$, є$t\perp m$? Чому чи чому ні?

Знайдіть міру$\angle 1$ для кожної проблеми нижче.

4. 

   Малюнок$\PageIndex{12}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{13}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{14}$

7. 

   Малюнок$\PageIndex{15}$

8. 

   Малюнок$\PageIndex{16}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{17}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{18}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{19}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{20}$

У питаннях 13-16 визначте, якщо$l\perp m.$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{21}$

14. 

    Малюнок$\PageIndex{22}$

15. 

    Малюнок$\PageIndex{23}$

16. 

    Малюнок$\PageIndex{24}$

Заповніть пропуски в доказі нижче.

17. З огляду на:$l\perp m$,$l\perp n$ Доведіть:$m\parallel n$

Малюнок$\PageIndex{25}$

Заява	Причина
1.	1.
2. $\angle 1$і$\angle 2$ є прямими кутами	2.
3.	3. Визначення прямих кутів
4.	4. Перехідний$PoE$
5. $m\parallel n$	5.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
перпендикуляр	Дві лінії перпендикулярні, коли вони перетинаються,$90^{\circ}$ утворюючи кут.
Кут	Геометрична фігура, утворена двома променями, які з'єднуються в одній точці або вершині.
перпендикулярні лінії	Перпендикулярні лінії - це лінії, які перетинаються під$90^{\circ}$ кутом.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи перпендикулярних ліній - основні

Види діяльності: Перпендикулярні лінії обговорення

Навчальні посібники: Керівництво по вивченню ліній та кутів

Практика: Кути і перпендикулярні лінії

Реальний світ: поворот столів