3.9: Паралельні лінії в координатній площині

Лінії з однаковим нахилом, які ніколи не перетинаються.

Паралельні лінії - це дві лінії, які ніколи не перетинаються. У координатній площині, що б виглядало так:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Якщо уважніше розглянути ці дві лінії, то схили обидва$\dfrac{2}{3}$.

Це можна узагальнити на будь-яку пару паралельних ліній. Паралельні лінії завжди мають однаковий нахил і різні$y$ −перехоплення.

Що робити, якщо вам дали дві паралельні лінії в координатній площині? Що ви могли б сказати про їх схилах?

Відео

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть рівняння прямої, яка паралельна$y=\dfrac{1}{4}x+3$ і проходить через неї$(8, -7)$.

Рішення

Ми знаємо, що паралельні лінії мають однаковий нахил, тому лінія буде мати нахил$dfrac{1}{4}$. Тепер нам потрібно знайти$y$ −intercept. Увімкніть 8 для x та -7$y$ для розв'язання нового$y$ параметра −intercept (b).

$\begin{align*}−7=\dfrac{1}{4} (8)+b \\ −7&=2+b \\ −9 &=b \end{align*}$

Рівняння паралельної прямої є$y=\dfrac{1}{4}x−9$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Чи є лінії$3x+4y=7$ і$y=\dfrac{3}{4} x+1$ паралельні?

Рішення

Спочатку нам потрібно переписати перше рівняння у вигляді нахилу-перехоплення.

$\begin{align*}3x+4y &=7 \\ 4y &=−3x+7 \\ y &=−\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4} \end{align*}$.

Нахил цієї лінії$−\dfrac{3}{4}$ при цьому нахил іншої лінії$\dfrac{3}{4}$. Оскільки схили різні, лінії не паралельні.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть рівняння прямої, яка паралельна$y=−\dfrac{1}{3} x+4$ і проходить через неї$(9, -5)$.

Рішення

Нагадаємо, що рівнянням прямої є y = mx+b, де m - нахил, а b -$y$ перехоплення. Ми знаємо, що паралельні лінії мають однаковий нахил, тому лінія матиме нахил −13. Тепер нам потрібно знайти$y$ −intercept. Увімкніть 9 для$x$ та -5$y$ для розв'язання нового$y$ параметра −intercept (b).

$\begin{align*}−5&=−\dfrac{1}{3} (9)+b \\ −5&=−3+b \\−2&=b\end{align*}$

Рівняння паралельної прямої є$y=−\dfrac{1}{3} x−2$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть рівняння ліній нижче і визначте, чи паралельні вони.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Верхній рядок містить$y$ −перехоплення 1. Звідти використовуйте «підйом над бігом», щоб знайти схил. З$y$ −intercept, якщо ви підніметеся вгору на 1 і більше 2, ви знову натиснете рядок,$m=\dfrac{1}{2}$. Рівняння є$y=\dfrac{1}{2} x+1$.

Для другого рядка$y$ −intercept дорівнює -3. «Підйом» дорівнює 1, а «пробіг» - 2, що робить ухил$\dfrac{1}{2}$. Рівняння цієї лінії є$y=\dfrac{1}{2} x−3$.

Лінії паралельні, оскільки мають однаковий нахил.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть рівняння прямої, яка паралельна прямій через точку, позначену синьою крапкою.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

По-перше, зверніть увагу, що рівняння$y=2x+6$ прямої є і точка є$(2, -2)$. Паралель мала б однаковий ухил і проходила наскрізь$(2, -2)$.

$\begin{align*}y &=2x+b \\ −2 &=2(2)+b \\ −2&=4+b \\−6&=b \end{align*}$

Рівняння паралельної прямої є$y=2x+−6$.

Рецензія

Визначте, чи кожна пара ліній паралельна. Потім намалюйте кожну пару на одному і тому ж наборі осей.

1. $y=4x−2$і$y=4x+5$
2. $y=−x+5$і$y=x+1$
3. $5x+2y=−4$і$5x+2y=8$
4. $x+y=6$і$4x+4y=−16$

Визначте рівняння прямої, яка паралельна даній прямій, через задану точку.

5. $y=−5x+1; (−2,3)$
6. $y=\dfrac{2}{3}x−2; (9,1)$
7. $x−4y=12; (−16,−2)$
8. $3x+2y=10; (8,−11)$

Знайдіть рівняння двох рядків на кожному графіку нижче. Потім визначте, чи дві лінії паралельні.

9. 

   Малюнок$\PageIndex{4}$

Для лінії і точки нижче знайдіть паралельну лінію, через задану точку.

10. 

    Малюнок$\PageIndex{5}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{6}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{7}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{8}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.8.

Лексика

Термін	Визначення
Паралельний	Дві або більше ліній паралельні, коли вони лежать в одній площині і ніколи не перетинаються. Ці лінії завжди будуть мати однаковий ухил.

Додатковий ресурс

Інтерактивний елемент

Відео: Рівняння паралельних і перпендикулярних ліній

Діяльність: Паралельні лінії в координатній площині дискусійні питання

Навчальні посібники: Лінії в координатній площині

Практика: Паралельні лінії в координатній площині

Реальний світ: Паралельні лінії в площині координат