3.9: Паралельні лінії в координатній площині

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.8: Кути і перпендикулярні лінії
- 3.10: Перпендикулярні лінії в координатній площині

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Лінії з однаковим нахилом, які ніколи не перетинаються.

Паралельні лінії - це дві лінії, які ніколи не перетинаються. У координатній площині, що б виглядало так:

F-D_3CEEB 0БА 9414CC883C09344Ф3559186 АЕ 97БД2434Е1Д67КДФЕ4483D5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Якщо уважніше розглянути ці дві лінії, то схили обидва $\dfrac{2}{3}$ .

Це можна узагальнити на будь-яку пару паралельних ліній. Паралельні лінії завжди мають однаковий нахил і різні $y$ −перехоплення.

Що робити, якщо вам дали дві паралельні лінії в координатній площині? Що ви могли б сказати про їх схилах?

Відео

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть рівняння прямої, яка паралельна $y=\dfrac{1}{4}x+3$ і проходить через неї $(8, -7)$ .

Рішення

Ми знаємо, що паралельні лінії мають однаковий нахил, тому лінія буде мати нахил $dfrac{1}{4}$ . Тепер нам потрібно знайти $y$ −intercept. Увімкніть 8 для x та -7 $y$ для розв'язання нового $y$ параметра −intercept (b).

$\begin{align*}−7=\dfrac{1}{4} (8)+b \\ −7&=2+b \\ −9 &=b \end{align*}$

Рівняння паралельної прямої є $y=\dfrac{1}{4}x−9$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Чи є лінії $3x+4y=7$ і $y=\dfrac{3}{4} x+1$ паралельні?

Рішення

Спочатку нам потрібно переписати перше рівняння у вигляді нахилу-перехоплення.

$\begin{align*}3x+4y &=7 \\ 4y &=−3x+7 \\ y &=−\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4} \end{align*}$ .

Нахил цієї лінії $−\dfrac{3}{4}$ при цьому нахил іншої лінії $\dfrac{3}{4}$ . Оскільки схили різні, лінії не паралельні.

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть рівняння прямої, яка паралельна $y=−\dfrac{1}{3} x+4$ і проходить через неї $(9, -5)$ .

Рішення

Нагадаємо, що рівнянням прямої є y = mx+b, де m - нахил, а b - $y$ перехоплення. Ми знаємо, що паралельні лінії мають однаковий нахил, тому лінія матиме нахил −13. Тепер нам потрібно знайти $y$ −intercept. Увімкніть 9 для $x$ та -5 $y$ для розв'язання нового $y$ параметра −intercept (b).

$\begin{align*}−5&=−\dfrac{1}{3} (9)+b \\ −5&=−3+b \\−2&=b\end{align*}$

Рівняння паралельної прямої є $y=−\dfrac{1}{3} x−2$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть рівняння ліній нижче і визначте, чи паралельні вони.

F-D_38 ДДФ 73576D1 ДБ57503Д88Е4Е7Д53 Е5А222ДАА 943706D3ed39C8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Рішення

Верхній рядок містить $y$ −перехоплення 1. Звідти використовуйте «підйом над бігом», щоб знайти схил. З $y$ −intercept, якщо ви підніметеся вгору на 1 і більше 2, ви знову натиснете рядок, $m=\dfrac{1}{2}$ . Рівняння є $y=\dfrac{1}{2} x+1$ .

Для другого рядка $y$ −intercept дорівнює -3. «Підйом» дорівнює 1, а «пробіг» - 2, що робить ухил $\dfrac{1}{2}$ . Рівняння цієї лінії є $y=\dfrac{1}{2} x−3$ .

Лінії паралельні, оскільки мають однаковий нахил.

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть рівняння прямої, яка паралельна прямій через точку, позначену синьою крапкою.

F-д_Ф0БД 89659Д33Е5Б8Ф1Е5Б8818076С5 DeF893454 ЕБ65БФ21Б79А0d1ad5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

По-перше, зверніть увагу, що рівняння $y=2x+6$ прямої є і точка є $(2, -2)$ . Паралель мала б однаковий ухил і проходила наскрізь $(2, -2)$ .

$\begin{align*}y &=2x+b \\ −2 &=2(2)+b \\ −2&=4+b \\−6&=b \end{align*}$

Рівняння паралельної прямої є $y=2x+−6$ .

Рецензія

Визначте, чи кожна пара ліній паралельна. Потім намалюйте кожну пару на одному і тому ж наборі осей.

$y=4x−2$ і $y=4x+5$
$y=−x+5$ і $y=x+1$
$5x+2y=−4$ і $5x+2y=8$
$x+y=6$ і $4x+4y=−16$

Визначте рівняння прямої, яка паралельна даній прямій, через задану точку.

$y=−5x+1; (−2,3)$
$y=\dfrac{2}{3}x−2; (9,1)$
$x−4y=12; (−16,−2)$
$3x+2y=10; (8,−11)$

Знайдіть рівняння двох рядків на кожному графіку нижче. Потім визначте, чи дві лінії паралельні.

Малюнок $\PageIndex{4}$

Для лінії і точки нижче знайдіть паралельну лінію, через задану точку.

Малюнок $\PageIndex{5}$
Малюнок $\PageIndex{6}$
Малюнок $\PageIndex{7}$
Малюнок $\PageIndex{8}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.8.

Лексика

Термін	Визначення
Паралельний	Дві або більше ліній паралельні, коли вони лежать в одній площині і ніколи не перетинаються. Ці лінії завжди будуть мати однаковий ухил.

Додатковий ресурс

Інтерактивний елемент

Відео: Рівняння паралельних і перпендикулярних ліній

Діяльність: Паралельні лінії в координатній площині дискусійні питання

Навчальні посібники: Лінії в координатній площині

Практика: Паралельні лінії в координатній площині

Реальний світ: Паралельні лінії в площині координат