1.18: Класифікувати багатокутники

Категорії багатокутників засновані на кількості сторін, а також від того, чи є вони увігнутими або опуклими.

Багатокутники

Багатокутник - це будь-яка замкнута двовимірна фігура, яка повністю складається з відрізків ліній, які перетинаються у своїх кінцевих точках. Багатокутники можуть мати будь-яку кількість сторін і кутів, але сторони ніколи не можуть бути вигнутими. Відрізки називаються сторонами багатокутників, а точки, де перетинаються сегменти, називаються вершинами.

Багатокутники можуть бути як опуклими, так і увігнутими. Термін увігнутий відноситься до печери, або багатокутник - «спелеологія». Всі зірки є увігнутими багатокутниками.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Опуклий багатокутник не прогинається. Опуклі багатокутники виглядають так:

Малюнок$\PageIndex{2}$

Діагональ - це небічний відрізок лінії, який з'єднує дві вершини опуклого багатокутника.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Відрізки червоної лінії - це всі діагоналі. Цей п'ятикутник має 5 діагоналей.

Незалежно від того, чи є багатокутник опуклим або увігнутим, він завжди називається за кількістю сторін. Дослідіть зв'язок між кількістю сторін опуклого багатокутника і його діагоналями. Чи можете ви заповнити таблицю?

Назва багатокутника	Кількість сторін	Кількість діагоналей	Опуклий приклад
Трикутник	3	0	Малюнок$\PageIndex{4}$
Чотирикутник	4	2	Малюнок$\PageIndex{5}$
Пентагон	5	5	Малюнок$\PageIndex{6}$
Шестигранник	6	9	Малюнок$\PageIndex{7}$
Гептагон	7	?	Малюнок$\PageIndex{8}$
Восьмикутник	8	?	Малюнок$\PageIndex{9}$
Нонагон	9	?	Малюнок$\PageIndex{10}$
Декагон	10	?	Малюнок$\PageIndex{11}$
Ундекагон або хендекагон	11	?	Малюнок$\PageIndex{12}$
Додекагон	12	?	Малюнок$\PageIndex{13}$
n-кутник	n (де n> 12)	?	Малюнок$\PageIndex{14}$

Що робити, якщо вам сказали, скільки сторін має багатокутник? Як би ви описали багатокутник на основі цієї інформації?

Приклад$\PageIndex{1}$

Яка з наведених нижче фігур є багатокутником?

Малюнок$\PageIndex{15}$

Рішення

Найпростіший спосіб ідентифікувати багатокутник - визначити, які фігури не є багатокутниками. B і C мають принаймні одну вигнуту сторону, тому вони не є багатокутниками. D має всі прямі сторони, але одна з вершин знаходиться не в кінцевій точці, тому вона не є багатокутником. A - єдиний багатокутник.

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте, чи є наведені нижче форми опуклими або увігнутими.

Малюнок$\PageIndex{16}$

Рішення

Щоб побачити, чи є багатокутник увігнутим, подивіться на багатокутники і подивіться, чи будь-який кут «печери» до внутрішньої частини багатокутника. Перший багатокутник цього не робить, тому він опуклий. Два інших роблять, тому вони увігнуті.

Приклад$\PageIndex{3}$

Назвіть три багатокутники нижче за кількістю сторін і якщо він опуклий або увігнутий.

Малюнок$\PageIndex{17}$

Рішення

Рожевий багатокутник - увігнутий шестикутник (6 сторін).

Зелений багатокутник опуклий п'ятикутник (5 сторін).

Жовтий багатокутник являє собою опуклий декагон (10 сторін).

Приклад$\PageIndex{4}$

Намалюйте 7-сторонній багатокутник, який також називають гептагоном. Скільки діагоналей має гептагон?

Малюнок$\PageIndex{18}$

Рішення

Спочатку намалюйте гептагон. Намалювавши всі діагоналі і порахувавши їх, бачимо їх 14.

Приклад$\PageIndex{5}$

True або false: Чотирикутник - це завжди квадрат.

Рішення

Помилкові. Тільки чотирикутники з чотирма конгруентними сторонами і чотирма прямими кутами будуть квадратами. Існує багато чотирикутників (таких як прямокутники, повітряні змії, паралелограми, трапеції тощо), які не обов'язково є квадратами.

Рецензія

У задачах 1-6 назвіть кожен багатокутник якомога докладніше.

1. Малюнок$\PageIndex{19}$

2. Малюнок$\PageIndex{20}$

3. Малюнок$\PageIndex{21}$

4. Малюнок$\PageIndex{22}$

5. Малюнок$\PageIndex{23}$

6. Малюнок$\PageIndex{24}$

7. Поясніть, чому наступні цифри НЕ є багатокутниками:

   Малюнок$\PageIndex{25}$

8. Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини п'ятикутника? Намалюйте ескіз вашої відповіді.
9. Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини восьмикутника? Намалюйте ескіз вашої відповіді.
10. Скільки діагоналей можна намалювати з однієї вершини додекагона?
11. Визначте кількість загальних діагоналей для восьмикутника, нонагону, декагону, ундекагону та додекагону.

Для 12-14 визначте, чи є твердження істинним чи хибним.

12. Багатокутник повинен бути укладений.
13. Зірка - це опуклий багатокутник.
14. 5-точкова зірка - декагон.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.12.

Ресурс

Лексика

Термін	Визначення
діагональ (багатокутника)	Небічний відрізок лінії, який з'єднує дві вершини опуклого багатокутника.
Багатокутник	Багатокутник - це проста замкнута фігура з принаймні трьома прямими сторонами.
увігнутий	Увігнутий багатокутник має принаймні один внутрішній кут більше 180 градусів. Поширеним способом ідентифікації увігнутого багатокутника є пошуки «печерної» сторони багатокутника.
Опуклий	Опуклий багатокутник не містить внутрішніх кутів більше 180 градусів.
Діагональ	Діагональ - це відрізок лінії в багатокутнику, який з'єднує непослідовні вершини.
Зовнішні кути	Зовнішній кут - це кут, утворений однією стороною багатокутника і продовженням сусідньої сторони.
Внутрішні кути	Внутрішні кути - це кути всередині фігури.
Звичайний багатокутник	Правильний багатокутник - це багатокутник з усіма сторонами однакової довжини і всіма кутами однаковою мірою.
Вершини	Вершини - це точки, де перетинаються відрізки ліній.
Рівносторонній	Багатокутник рівносторонній, якщо всі його сторони мають однакову довжину.

Додатковий ресурс

Інтерактивний елемент

Відео: Сума внутрішніх кутів багатокутника

Види діяльності: Класифікація багатокутників Питання обговорення

Навчальні посібники: Полігони Навчальний посібник

Практика: Класифікувати багатокутники

Реальний світ: Полігони природи