6.3.3: Гіперболи з будь-яким центром
Гіперболи по центру в (h, k)
Ваше домашнє завдання полягає в тому, щоб графувати гіперболу 9(y+2)2−4(x−3)2=36. Які вершини вашого графа?
Гіперболи по центру в (h, k)
Так само, як ви вже дізналися раніше, гіперболу не завжди потрібно розміщувати з центром біля початку. Якщо центром є (h,k) весь еліпс, будуть зміщені h одиниці вліво або вправо і k одиниці вгору або вниз. Рівняння стає (x−h)2a2−(y−k)2b2=1. Ми розглянемо, як змінюються вершини, співвершини та фокуси у наступній задачі.
Давайте графуємо (x−2)216−(y+1)29=1. Тоді давайте знайдемо вершини, вогнища та асимптоти.
По-перше, ми знаємо, що це горизонтальна гіпербола, оскільки x термін перший. Тому центром є (2,−1) і a=4 і b=3. Використовуйте цю інформацію для графування гіперболи.
Для графіка побудуйте центр, а потім вийдіть 4 одиниці вправо і вліво, а потім вгору і вниз 3 одиниці. Намалюйте коробку і асимптоти.
Це також, як ви можете знайти вершини. Вершини є (2±4,−1) або (6,−1) і (−2,−1).
Щоб знайти осередки, нам потрібно знайти c за допомогою c2=a2+b2.
\ (\\ begin {масив} {l}
c^ {2} &=16+9=25\\
c&=5
\ end {масив}\)
Тому осередками є (2±5,−1) або (7,−1) і (−3,−1).
Щоб знайти асимптоти, нам доведеться трохи попрацювати, щоб знайти y-перехоплення. Ми знаємо, що схил є ±ba або ±34 і вони проходять через центр. Давайте запишемо кожну асимптоту в точковій формі нахилу, використовуючи центр і кожен нахил.
y−1=34(x+2)і y−1=−34(x+2)
Спрощуючи кожне рівняння, асимптоти є y=34x−52 і y=−34x+12.
З цієї задачі ми можемо створити формули для знаходження вершин, вогнищ та асимптотів гіперболи з центром (h,k). Крім того, графуючи гіперболу, не зосереджену на початку, переконайтеся, що розмістіть центр.
Орієнтація | Рівняння | Вершини | вогнища | Асимптоти |
---|---|---|---|---|
Горизонтальний | (x−h)2a2−(y−k)2b2=1 | (h±a,k) | (h±c,k) | y−k=±ba(x−h) |
Вертикальний | (y−k)2a2+(x−h)2b2=1 | (h,k±a) | (h,k±c) | y−k=±ab(x−h) |
Тепер знайдемо рівняння гіперболи з вершинами (−3,2) (7,2) і фокусом (−5,2).
Ці дві вершини створюють горизонтальну поперечну вісь, роблячи гіперболу горизонтальною. Якщо ви не впевнені, наведіть вказану інформацію на набір осей. Щоб знайти центр, скористайтеся формулою середньої точки з вершинами.
(−3+72,2+22)=(42,42)=(2,2)
Відстань від однієї з вершин до центру дорівнює a,|7−2|=5. Відстань від центру до заданого фокусу дорівнює c,|−5−2|=7. cВикористовувати a і вирішувати для b.
\ (\\ почати {масив} {l}
7^ {2} =5^ {2} +b^ {2}\\
b^ {2} =24\ стрілка вправо b = 2\ sqrt {6}
\ кінець {масив}\)
Тому рівняння є (x−2)225−(y−2)224=1.
Нарешті, давайте проведемо графік 49(y−3)2−25(x+4)2=1225 і знайдемо вогнища.
Спочатку ми повинні отримати рівняння в стандартній формі, як і рівняння вище. Щоб зробити праву сторону 1, нам потрібно розділити все на 1225.
\ (\\ почати {масив} {c}
\ розриву {49 (y-3) ^ {2}} {1225} -\ гідророзриву {25 (x+4) ^ {2}} {1225} =\ розриву {1225} {1225}\
\ гідророзриву {(y-3) ^ {2}} {25} -\ гідророзриву {(x+4) ^ {2} {49}} =1
\ end {масив}\)
Тепер ми знаємо, що гіпербола буде вертикальною, оскільки y-термін є першим.
a=5, b=7 а центр є (−4,3).
Щоб знайти вогнища, нам спочатку потрібно знайти c за допомогою c2=a2+b2.
\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=49+25=74\\
c &=\ sqrt {74}
\ кінець {вирівняний}\)
Вогнищами є (−4,3±√74) або (−4,11.6) і (−4,−5.6).
Приклади
Раніше вам було запропоновано визначити вершини графа гіперболи, визначеної 9(y+2)2−4(x−3)2=36.
Рішення
Спочатку нам потрібно отримати рівняння в стандартному вигляді (y−k)2a2+(x−h)2b2=1, тому ділимо на 36.
\ (\\ почати {масив} {r}
9 (y+2) ^ {2} -4 (x-3) ^ {2} =&36\
\ розриву {9 (y+2) ^ {2}} {36} -\ розриву {4 (x-3) ^ {2}} {36} =&\ гідророзриву {36} {36} {36}\
\ frac {(y+2) ^ {2}} {4} -\ гідророзриву {(x-3) ^ {2}} {9} =&1
\ end {масив}\)
Тому що y -термін є першим, тепер ми можемо бачити, що вершини є (h,k±a)(3,−2±2). Тобто, (3,0) і (3,−4)
Знайдіть центр, вершини, вогнища та асимптоти (y−1)281−(x+5)216=1.
Рішення
Центр є (−5,1), a=√81=9 і b=√16=4, і гіпербола горизонтальна, тому що y-термін є першим. Вершини є (−5,1±9) або (−5,10) і (−5,−8). Використовуйте c2=a2+b2 для пошуку c.
\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=81+16 = 97\\
c &=\ sqrt {97}
\ кінець {вирівняний}\)
Вогнищами є (−5,1+√97) і (−5,1−√97).
Асимптотами є y−1=±94(x+5) або y=94x+1214 і y=−94x−1014.
Графік 25(x−3)2−4(y−1)2=100 і знайдіть осередки.
Рішення
Змініть це рівняння на стандартну форму для того, щоб зробити графік.
\ (\\ почати {масив} {l}
\ гідророзриву {25 (x-3) ^ {2}} {100} -\ гідророзриву {4 (y-1) ^ {2}} {100} {100} {100}\
\ гідророзриву {(x-3) ^ {2}} {4} -\ гідророзриву {(y-1) ^ {2}} {25} &=1
\ end {масив}\)
центр: (3,1),a=2,b=5
Знайдіть вогнища.
\ (\\ почати {масив} {l}
c^ {2} &=25+4=29\\
c&=\ sqrt {29}
\ кінець {масив}\)
Вогнищами є (3,1+√29) і (3,1−√29).
Знайдіть рівняння гіперболи з вершинами (−6,−3) (−6,5) і фокусом (−6,7).
Рішення
Вершини є (−6,−3) і, (−6,5) і фокус є (−6,7). Поперечна вісь буде вертикальною, оскільки значення x не змінюється між цими трьома точками. Відстань між вершинами - |−3−5|=8 одиниці, що роблять a=4. Серединою між вершинами є центр.
(−6,−3+52)=(−6,22)=(−6,1)
Фокус є (−6,7) і відстань між ним і центром становить 6 одиниць, або c. Знайти b.
\ (\\ почати {вирівняний}
36 &=b^ {2} +16\\
20 &=b^ {2}\\
b &=\ sqrt {20} =2\ sqrt {5}
\ кінець {вирівняний}\)
Рівняння гіперболи є (y−1)216−(x+6)220=1.
Рецензія
Знайдіть центр, вершини, вогнища та асимптоти кожної гіперболи нижче.
- (x+5)225−(y+1)236=1
- (y+2)2−16(x−6)2=16
- (y−2)29−(x−3)249=1
- 25x2−64(y−6)2=1600
- (x−8)2−(y−4)29=1
- 81(y+4)2−4(x+5)2=324
- Графік гіперболи в #1.
- Графік гіперболи в #2.
- Графік гіперболи в #5.
- Графік гіперболи в #6.
Використовуючи наведену нижче інформацію, знайдіть рівняння кожної гіперболи.
- вершини: (−2,−3) і (8,−3)b=7
- вершини: (5,6) і (5,−12) фокус: (5,−15)
- асимптота: y+3=49(x+1) горизонтальна поперечна вісь
- вогнища: (−11,−4) і (1,−4) вершинні: (−8,−4)
- Розширення Перепишіть рівняння гіперболи,
- x2−4y2+490x−16y+1013=0в стандартній формі, заповнивши квадрат для обох x і y термінів.
Відповіді на проблеми з оглядом
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.9.
Атрибуції зображень
- [Малюнок 1]
Кредит: Бен Солтер
Джерело: https://www.flickr.com/photos/ben_salter/2348052408