Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.3.3: Гіперболи з будь-яким центром

Гіперболи по центру в (h, k)

Ваше домашнє завдання полягає в тому, щоб графувати гіперболу 9(y+2)24(x3)2=36. Які вершини вашого графа?


Гіперболи по центру в (h, k)

Так само, як ви вже дізналися раніше, гіперболу не завжди потрібно розміщувати з центром біля початку. Якщо центром є (h,k) весь еліпс, будуть зміщені h одиниці вліво або вправо і k одиниці вгору або вниз. Рівняння стає (xh)2a2(yk)2b2=1. Ми розглянемо, як змінюються вершини, співвершини та фокуси у наступній задачі.

Давайте графуємо (x2)216(y+1)29=1. Тоді давайте знайдемо вершини, вогнища та асимптоти.

По-перше, ми знаємо, що це горизонтальна гіпербола, оскільки x термін перший. Тому центром є (2,1) і a=4 і b=3. Використовуйте цю інформацію для графування гіперболи.

Для графіка побудуйте центр, а потім вийдіть 4 одиниці вправо і вліво, а потім вгору і вниз 3 одиниці. Намалюйте коробку і асимптоти.

F-D_06127D7ЕКА 98 AFDA5E8A62ЕЕ90ЕЕ84293 CFBB33252BA01E67CE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Це також, як ви можете знайти вершини. Вершини є (2±4,1) або (6,1) і (2,1).

Щоб знайти осередки, нам потрібно знайти c за допомогою c2=a2+b2.

\ (\\ begin {масив} {l}
c^ {2} &=16+9=25\\
c&=5
\ end {масив}\)

Тому осередками є (2±5,1) або (7,1) і (3,1).

Щоб знайти асимптоти, нам доведеться трохи попрацювати, щоб знайти y-перехоплення. Ми знаємо, що схил є ±ba або ±34 і вони проходять через центр. Давайте запишемо кожну асимптоту в точковій формі нахилу, використовуючи центр і кожен нахил.

 y1=34(x+2)і y1=34(x+2)

Спрощуючи кожне рівняння, асимптоти є y=34x52 і y=34x+12.

З цієї задачі ми можемо створити формули для знаходження вершин, вогнищ та асимптотів гіперболи з центром (h,k). Крім того, графуючи гіперболу, не зосереджену на початку, переконайтеся, що розмістіть центр.

Орієнтація Рівняння Вершини вогнища Асимптоти
Горизонтальний  (xh)2a2(yk)2b2=1  (h±a,k)  (h±c,k)  yk=±ba(xh)
Вертикальний  (yk)2a2+(xh)2b2=1  (h,k±a)  (h,k±c)  yk=±ab(xh)

Тепер знайдемо рівняння гіперболи з вершинами (3,2) (7,2) і фокусом (5,2).

Ці дві вершини створюють горизонтальну поперечну вісь, роблячи гіперболу горизонтальною. Якщо ви не впевнені, наведіть вказану інформацію на набір осей. Щоб знайти центр, скористайтеся формулою середньої точки з вершинами.

 (3+72,2+22)=(42,42)=(2,2)

Відстань від однієї з вершин до центру дорівнює a,|72|=5. Відстань від центру до заданого фокусу дорівнює c,|52|=7.  cВикористовувати a і вирішувати для b.

\ (\\ почати {масив} {l}
7^ {2} =5^ {2} +b^ {2}\\
b^ {2} =24\ стрілка вправо b = 2\ sqrt {6}
\ кінець {масив}\)

Тому рівняння є (x2)225(y2)224=1.

Нарешті, давайте проведемо графік 49(y3)225(x+4)2=1225 і знайдемо вогнища.

Спочатку ми повинні отримати рівняння в стандартній формі, як і рівняння вище. Щоб зробити праву сторону 1, нам потрібно розділити все на 1225.

\ (\\ почати {масив} {c}
\ розриву {49 (y-3) ^ {2}} {1225} -\ гідророзриву {25 (x+4) ^ {2}} {1225} =\ розриву {1225} {1225}\
\ гідророзриву {(y-3) ^ {2}} {25} -\ гідророзриву {(x+4) ^ {2} {49}} =1
\ end {масив}\)

Тепер ми знаємо, що гіпербола буде вертикальною, оскільки y-термін є першим.

 a=5, b=7 а центр є (4,3).

F-д_2 ЕЕ7А95А 3А69913Е 98А60915ДФ 1Е2А616362Б160Б160Б436Е679А2А30+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Щоб знайти вогнища, нам спочатку потрібно знайти c за допомогою c2=a2+b2.

\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=49+25=74\\
c &=\ sqrt {74}
\ кінець {вирівняний}\)

Вогнищами є (4,3±74) або (4,11.6) і (4,5.6).


Приклади

Приклад 1

Раніше вам було запропоновано визначити вершини графа гіперболи, визначеної 9(y+2)24(x3)2=36.

Рішення

Спочатку нам потрібно отримати рівняння в стандартному вигляді (yk)2a2+(xh)2b2=1, тому ділимо на 36.

\ (\\ почати {масив} {r}
9 (y+2) ^ {2} -4 (x-3) ^ {2} =&36\
\ розриву {9 (y+2) ^ {2}} {36} -\ розриву {4 (x-3) ^ {2}} {36} =&\ гідророзриву {36} {36} {36}\
\ frac {(y+2) ^ {2}} {4} -\ гідророзриву {(x-3) ^ {2}} {9} =&1
\ end {масив}\)

Тому що y -термін є першим, тепер ми можемо бачити, що вершини є (h,k±a)(3,2±2). Тобто, (3,0) і (3,4)

Приклад 2

Знайдіть центр, вершини, вогнища та асимптоти (y1)281(x+5)216=1.

Рішення

Центр є (5,1), a=81=9 і b=16=4, і гіпербола горизонтальна, тому що y-термін є першим. Вершини є (5,1±9) або (5,10) і (5,8). Використовуйте c2=a2+b2 для пошуку c.

\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=81+16 = 97\\
c &=\ sqrt {97}
\ кінець {вирівняний}\)

Вогнищами є (5,1+97) і (5,197).

Асимптотами є y1=±94(x+5) або y=94x+1214 і y=94x1014.

Приклад 3

Графік 25(x3)24(y1)2=100 і знайдіть осередки.

Рішення

Змініть це рівняння на стандартну форму для того, щоб зробити графік.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ гідророзриву {25 (x-3) ^ {2}} {100} -\ гідророзриву {4 (y-1) ^ {2}} {100} {100} {100}\
\ гідророзриву {(x-3) ^ {2}} {4} -\ гідророзриву {(y-1) ^ {2}} {25} &=1
\ end {масив}\)

центр: (3,1),a=2,b=5

F-D_CCC6d9d6261c5586C5586C80a6E035BCBBE3E0470159203C5BB62CA61E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Знайдіть вогнища.

\ (\\ почати {масив} {l}
c^ {2} &=25+4=29\\
c&=\ sqrt {29}
\ кінець {масив}\)

Вогнищами є (3,1+29) і (3,129).

Приклад 4

Знайдіть рівняння гіперболи з вершинами (6,3) (6,5) і фокусом (6,7).

Рішення

Вершини є (6,3) і, (6,5) і фокус є (6,7). Поперечна вісь буде вертикальною, оскільки значення x не змінюється між цими трьома точками. Відстань між вершинами - |35|=8 одиниці, що роблять a=4. Серединою між вершинами є центр.

 (6,3+52)=(6,22)=(6,1)

Фокус є (6,7) і відстань між ним і центром становить 6 одиниць, або c. Знайти b.

\ (\\ почати {вирівняний}
36 &=b^ {2} +16\\
20 &=b^ {2}\\
b &=\ sqrt {20} =2\ sqrt {5}
\ кінець {вирівняний}\)

Рівняння гіперболи є (y1)216(x+6)220=1.


Рецензія

Знайдіть центр, вершини, вогнища та асимптоти кожної гіперболи нижче.

  1.  (x+5)225(y+1)236=1
  2.  (y+2)216(x6)2=16
  3.  (y2)29(x3)249=1
  4.  25x264(y6)2=1600
  5.  (x8)2(y4)29=1
  6.  81(y+4)24(x+5)2=324
  7. Графік гіперболи в #1.
  8. Графік гіперболи в #2.
  9. Графік гіперболи в #5.
  10. Графік гіперболи в #6.

Використовуючи наведену нижче інформацію, знайдіть рівняння кожної гіперболи.

  1. вершини: (2,3) і (8,3)b=7
  2. вершини: (5,6) і (5,12) фокус: (5,15)
  3. асимптота: y+3=49(x+1) горизонтальна поперечна вісь
  4. вогнища: (11,4) і (1,4) вершинні: (8,4)
  5. Розширення Перепишіть рівняння гіперболи,
  6.  x24y2+490x16y+1013=0в стандартній формі, заповнивши квадрат для обох x і y термінів.

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.9.


Атрибуції зображень

  1. [Малюнок 1]
    Кредит: Бен Солтер
    Джерело: https://www.flickr.com/photos/ben_salter/2348052408