Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.3.2: Рівняння гіпербол, зосереджені біля витоків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55075

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Написання рівняння гіперболи, зосередженого на початку

    Вас просять розгадати загадку. Вам надається наступна інформація, щоб допомогти вам.

    1. Я гіпербола в центрі походження.
    2. Моя вершина (0, −2).
    3. Один з моїх вогнищ - (0, −3).

    Яке моє рівняння?

    Рівняння гіперболи

    У цій концепції ми будемо працювати назад і знайти рівняння гіпербол, враховуючи певні фрагменти інформації. Для всієї цієї концепції гіпербола буде зосереджена на початку.

    Знайдемо рівняння гіперболи, відцентрованого біля початку, з вершиною (−4, 0) та фокусом (−6, 0).

    Оскільки вершина і фокус знаходяться на\(\ x \text {-axis }\), ми знаємо, що поперечна вісь горизонтальна.

    Тому рівняння буде\(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\). З вершини ми знаємо, що\(\ a=4\) і\(\ c=6\). Давайте вирішимо для\(\ b^{2}\) використання\(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

    \ (\\ почати {масив} {l}
    6^ {2} =4^ {2} +b^ {2}\\
    36=16+b^ {2}\ стрілка вправо b^ {2} =20
    \ кінець {масив}\)

    Рівняння гіперболи є\(\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1\).

    Тепер, давайте знайдемо рівняння гіперболи, зосереджене на початку, з асимптотою\(\ y=\frac{2}{3} x\) і вершиною\(\ (0,12)\).

    Ми знаємо\(\ a=12\), що, роблячи поперечну вісь вертикальною і загальним рівнянням асимптоти\(\ y=\frac{a}{b} x\). Тому\(\ \frac{2}{3}=\frac{12}{b}\), виготовляючи\(\ b=18\). Тому рівняння гіперболи є\(\ \frac{y^{2}}{144}-\frac{x^{2}}{324}=1\).

    У цій задачі ми показали, що нахил асимптоти можна звести до чогось, що є не завжди\(\ \frac{a}{b}\)\(\ c\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{a}{b}\), але де\(\ c\) є певна константа, на яку ми можемо зменшити частку.

    Нарешті, знайдемо рівняння двох гіпербол з асимптотою\(\ y=-\frac{5}{9} x\).

    Ця асимптота може бути як для вертикальної, так і для горизонтальної гіперболи. \(\ -\frac{5}{9}\)також може бути зменшена частка\(\ \frac{a}{b}\), як і в попередній задачі. Наприклад, асимптота\(\ y=-\frac{10}{18} x\) зводиться до\(\ y=-\frac{5}{9} x\).

    Якщо гіпербола горизонтальна, то рівняння асимптоти є\(\ y=-\frac{b}{a} x\) і що б зробити\(\ a=9\)\(\ b=5\) і рівняння буде\(\ \frac{x^{2}}{81}-\frac{y^{2}}{25}=1\). Якщо рівняння вертикальне, то асимптота дорівнює\(\ y=-\frac{a}{b} x\) і\(\ a=5\) і\(\ b=9\). Рівняння було б\(\ \frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{81}=1\). Якщо нахил зменшується з більшої частки, ми також могли б мати\(\ \frac{x^{2}}{324}-\frac{y^{2}}{100}=1\) або\(\ \frac{y^{2}}{100}-\frac{x^{2}}{324}=1\) як можливу відповідь.

    F-д_Б2872А6Ф99А25ЕД 745302Д03КД9Д6358Б7ЕФ838Б3936Ф14 Б81Д7Ф1Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Існує нескінченно багато гіперболічних рівнянь з цією асимптотою.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили знайти рівняння параболи, задане загадкою.

    Рішення

    Оскільки вершина і фокус знаходяться на\(\ y \text {-axis }\), ми знаємо, що поперечна вісь вертикальна.

    Тому рівняння буде\(\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\).

    З вершини та фокусу ми знаємо, що\(\ a=2\) і\(\ c=3\). Давайте вирішимо для\(\ b^{2}\) використання\(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    3^ {2} &=2^ {2} +b^ {2}\\
    9 &=4+b^ {2}\ стрілка вправо b^ {2} =5
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тому рівняння гіперболи буде\(\ \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1\).

    Знайдіть рівняння наступних гіпербол, зосереджених на початку, з заданою інформацією.

    Приклад 2

    вершина: (0, 2)

    фокус: (0, 5)

    Рішення

    Вершина знаходиться на осі y, так що це вертикальна гіпербола с\(\ a=2\). \(\ c=5\), Тому нам потрібно знайти\(\ b^{2}\).

    \ (\\ begin {масив} {l}
    c^ {2} &=a^ {2} +b^ {2}\\
    25&=4+b^ {2}\ стрілка вправо b^ {2} =21
    \ end {масив}\)

    Рівняння гіперболи є\(\ \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{21}=1\).

    Приклад 3

    асимптота:\(\ y=x\)

    вершина:\(\ (4,0)\)

    Рішення

    Переписуючи нахил\(\ y=x\), отримуємо\(\ y=\frac{1}{1} x\). Отже, ми знаємо, що\(\ a\) і\(\ b\) знаходяться в співвідношенні 1:1.

    Оскільки вершина є\(\ (4,0)\), ми знаємо, що\(\ a=4\) і що гіпербола горизонтальна. Тому що\(\ a\) і\(\ b\) знаходяться в співвідношенні 1:1,\(\ b\) має дорівнювати 4, а також. Рівняння гіперболи є\(\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{16}=1\).

    Приклад 4

    Знайдіть рівняння двох гіпербол, центрованих у початку, з різними\(\ b\) значеннями\(\ a\) та асимптотою\(\ y=\frac{3}{4} x\).

    Рішення

    Одна з можливостей полягає в тому, що\(\ b=3\) і\(\ a=4\) зробити рівняння\(\ \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\). Другою можливістю може бути те, що\(\ a\) і\(\ b\) є множенням співвідношення 4:3. Отже,\(\ a=8\) і\(\ b=6\), складаючи рівняння\(\ \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1\).

    Рецензія

    Знайдіть рівняння гіперболи, зосереджене на початку, з огляду на наведену нижче інформацію.

    1. вершина:\(\ (−2,0)\), фокус:\(\ (−5,0)\)
    2. вершина:\(\ (4,0)\), фокус:\(\ (7,0)\)
    3. \(\ b=8\), фокус:\(\ (−15,0)\)
    4. вершина:\(\ (−6,0)\), асимптота:\(\ y=\frac{4}{3} x\)
    5. \(\ b=6\), фокус:\(\ (0,11)\)
    6. вершина:\(\ (0,5)\), асимптота:\(\ y=x\)
    7. асимптота:\(\ y=-\frac{1}{2} x\), вершина:\(\ (6,0)\)
    8. асимптота:\(\ y=3x\),\(\ b=9\), вертикальна поперечна вісь
    9. вершина:\(\ (0,8)\), фокус:\(\ (0,6 \sqrt{2})\)
    10. Знайдіть рівняння двох гіпербол таким чином, щоб вони мали однакові\(\ a\) і\(\ b\) значення, рівняння асимптоти є\(\ y=\frac{4}{5} x\), і по центру на початку.
    11. Знайдіть рівняння двох гіпербол таким чином, що вони мають різні\(\ a\) і\(\ b\) значення, обидва горизонтальні, рівняння асимптоти є\(\ y=-\frac{2}{3} x\), і по центру на початку.
    12. Знайдіть рівняння двох гіпербол таким чином, що вони мають різні\(\ a\) і\(\ b\) значення, обидва вертикальні, рівняння асимптоти є\(\ y=6x\), і по центру на початку.
    13. Знайдіть рівняння двох гіпербол таким чином, щоб вони мали однакові\(\ a\) і\(\ b\) значення, рівняння асимптоти є\(\ y=-\frac{10}{7} x\), і по центру на початку.

    Знайдіть рівняння гіпербол нижче.

    1. F-D_FC89D72B058579D8037bfffffff72f435e613A96b4afebf4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    2. F-D_3311 ФАА 79610 CC66B8C961A38 ААФ 8Ф585А8Ф59Б399ЕЕ665Ф020E6B6B6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.8.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
      Кредит: Бен Солтер
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/ben_salter/2348052408