Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.3.4: Рівняння гіперболи та фокальна властивість

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55088

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівняння гіперболи та фокальна властивість

    Адріан та Еван обговорювали клас математики, який вони щойно закінчили. Клас зосередився на гіперболах (каламбур призначений!) , і розглянули властивості гіпербол.

    Адріан вважає, що гіперболи дуже схожі на параболи, які вони вивчали минулого тижня, і вважає, що форми дійсно однакові. Еван вважає, що не має значення, як виглядають частини гіперболи, оскільки це повна форма, яку вони вивчають.

    Хто правий?

    Рівняння гіперболи та фокальна властивість

    Порівняно з параболами та еліпсами, гіперболи можуть здатися... безладними! Мало того, що це нескінченна форма, але є дві частини, які навіть не пов'язані! Гіперболи - це конічні перерізи, хоча: коли площина прорізає дві частини конуса, дві нескінченні «U» -образні частини разом називаються гіперболою.

    Ф-Д_2Ф297Е52Д40КФ696Ф072026942Ф2ФБ60317Д93Е78953Д77Е704БА6АА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    У цьому розділі ми побачимо, що ця розлога форма насправді має деякі прекрасні властивості, які роблять її такою ж благородною, як і її двоюрідні брати.

    Фокусна властивість

    Незважаючи на те, що ця форма здається набагато складнішою для розуміння, ніж еліпс, гіпербола має визначальну фокусну властивість, яка така ж проста, як еліпс. Пам'ятайте, еліпс має два осередки, і форма може бути визначена як набір точок на площині, відстані яких до цих двох вогнищ мають фіксовану суму.

    Ф-д_7Ф97С9980093Ф6АА1С378Е1Д3Б5643922352196 EBC38571373599F2B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Гіперболи також мають два вогнища, і їх можна визначити як множина точок на площині, відстані яких до цих двох точок мають однакову різницю. Так на малюнку нижче, для кожної точки\(\ P\) на гіперболі,\(\ \left|d_{2}-d_{1}\right|=C\) для якоїсь константи\(\ C\).

    Ф-Д_8С8 ДБ88С33602Б 41262С5Ф6427Е43ФЦ26ЕЦ8ЦБФАА 4Д8Ф8Ф81КС7А0Ф88+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.JPG

    Загальна форма гіперболи, що відкривається вгору і вниз і осередки якої лежать на осі y, така:

    \(\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)

    Перемикаючи x та y, ми маємо гіперболи, які відкриваються вправо та вліво, осередки яких лежать на осі x.

    \(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    Для гіперболи, яка зосереджена навколо точки (h, k), ми маємо зсунуті рівняння:

    \(\ \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)

    для гіперболи, що відкриваються вгору і вниз, і

    \(\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

    для гіперболи, що відкривається вліво і вправо.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чи правий Еван чи Адріан.

    Рішення

    Еван і Адріан обидва правильні по-своєму. Адріан правильно, що гіпербола - це всього лише дві параболи в протилежних напрямках, що стає зрозумілим, якщо врахувати, що парабола створюється шляхом нарізки одного конуса, а гіпербола - шляхом нарізки двох однакових конусів одночасно. Еван правильно, що хоча гіпербола побудована з двох парабол, це повна форма, яку вони вивчають, і багато або більшість формул та визначень, які вони вважатимуть, стосуються лише повної форми.

    Приклад 2

    Гіпербола нескінченна за розміром. У математиці це називається необмеженим, що означає, що жоден коло, незалежно від того, наскільки великий, не може обкласти фігуру. Поясніть, чому фокальна властивість, що включає різницю, призводить до необмеженої форми, тоді як фокусна властивість, що включає суму, призводить до обмеженої форми.

    Рішення

    У випадку еліпса ми мали дві відстані, підсумовуючи до константи. Оскільки відстані обидва позитивні, то існує обмеження на розмір чисел. У випадку з гіперболами два дуже великих позитивних числа можуть мати набагато меншу різницю, нескінченно малу насправді.

    Приклад 3

    Покажіть, що наступне рівняння є гіперболою. Графік його, і покажіть його осередки.

    \(\ 144 x^{2}-576 x-25 y^{2}-150 y-3249=0\)

    Рішення

    Позитивний провідний коефіцієнт для\(\ x^{2}\) терміна і негативний провідний коефіцієнт для\(\ y^{2}\) терміна вказують на те, що це гіпербола, орієнтована по горизонталі. Групуючи і доповнюючи квадрат, ми маємо:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    144\ ліворуч (x^ {2} -4 х\ праворуч) -25\ ліворуч (y^ {2} +6 y\ праворуч) &=3249\
    144\ ліворуч (x^ {2} -4\ праворуч) -25\ ліворуч (y^ {2} +6 y+9\ праворуч) &=3249+576-225\\
    144 (x-2) ^ {2}} -25 (y+3) ^ {2} &=3600
    \\ розриву {(x-2) ^ {2}} {5^ {2}} -\ розрив {(y+3) ^ {2}} {12^ {2}} & ; =1
    \ кінець {вирівняний}\)

    Таким чином, наша гіпербола зосереджена на\(\ (2,-3)\). Його вершини складають 5 одиниць праворуч і ліворуч від\(\ (2,-3)\), або в точках\(\ (7,-3)\) і\(\ (-3,-3)\). Він відкривається праворуч і ліворуч від цих вершин. Це осередки є\(\ c\) одиниці зліва і праворуч від\(\ (2,-3)\), де\(\ c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\). Так що це осередки знаходяться при\(\ (15,-3)\) і\(\ (-11,-3)\). Поклавши кілька точок поруч\(\ (7,-3)\) і\(\ (-3,-3)\), графік виглядає так:

    Ф-Д_71Б1129Б630Ф210ББ3 СА46113ЕБ14КС7506Б5А96С2099156Е27Д3А80+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.JPG

    Приклад 4

    Графік наступної гіперболи і відзначте її вогнища:\(\ 16 x^{2}+64 x-9 y^{2}+90 y-305=0\).

    Рішення

    Позитивний провідний коефіцієнт для терміна і негативний провідний коефіцієнт для терміна вказують на те, що це гіпербола, орієнтована по горизонталі. Групуючи і доповнюючи квадрат, ми маємо:

    \(\ 16\left(x^{2}+4 x+4\right)-9\left(y^{2}-10 y+25\right)-305=64-225\)

    Факторинг і комбінування подібних термінів:

    \(\ 16(x+2)^{2}-9(y-5)^{2}=144\)

    Розділіть обидві сторони на 144 і перепишіть 9 і 16 як 3 2 і 4 2:

    \(\ \frac{(x+2)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y-5)^{2}}{4^{2}}=1\)

    Ф-д_6д 67737221062Ф858КА8А3Ф47613А2625АК 46951 ББ6Д7011Б534ДЦА8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Приклад 5

    Графік наступної гіперболи і відзначте її вогнища:\(\ x^{2}-8 x-y^{2}-4 y=-28\).

    Рішення

    Для графіка\(\ x^{2}-8 x-y^{2}+4 y=-28\):

    \(\ (x-4)^{2}-(y-2)^{2}=-16\)... завершити квадрат до фактора

    \(\ \frac{(y-2)^{2}}{16}-\frac{(x-4)^{2}}{16}=1\)... рерайт в стандартному вигляді

    \(\ x-4=0 \rightarrow x=4\)і\(\ y-2=0 \rightarrow y=2\)... тому центр\(\ (4, 2)\)

    Позначте 4 одиниці ліворуч\(\ (4, 2)\) і праворуч і позначте 2 одиниці вище і нижче\(\ (4, 2)\), використовуйте ці чотири точки, щоб визначити сторони коробки.

    З'єднайте кути коробки, щоб проілюструвати асимптоти.

    Оскільки термін «у» є позитивним, гіпербола відкривається вгору і вниз.

    Графік гіперболи, він повинен виглядати так:

    Ф-Д_197773 ЕЦ55А0Д6БДК9ФДД2 КБДС7 де 8667976А43Д83С36Ф0АЕ99054Ф6Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    приклад 6

    Графік наступної гіперболи:\(\ x^{2}-8 x-y^{2}-2 y=-14\).

    Рішення

    Для графіка\(\ x^{2}-8 x-y^{2}-2 y=-14\):

    \(\ (x-4)^{2}-(y+1)^{2}=1\)... заповніть квадрат на фактор\(\ \frac{(x-4)^{2}}{1}-\frac{(y+1)^{2}}{1}=1\)... перепишіть в стандартній формі

    \(\ x-4=0 \rightarrow x=4\)і\(\ y+1=0 \rightarrow y=-1\)... тому центр\(\ (4, -1)\)

    Позначте 4 одиниці ліворуч\(\ (4, -1)\) і праворуч і позначте 1 одиницю вище і нижче\(\ (4, -1)\), використовуйте ці чотири точки, щоб визначити сторони коробки.

    З'єднайте кути коробки, щоб проілюструвати асимптоти.

    Оскільки термін «х» є позитивним, гіпербола відкривається вліво і вправо.

    Графік гіперболи, він повинен виглядати так:

    F-D_369f9f53EEABF 272892f3023c0841930 Деб 88454A42FCD465ec3C50+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Приклад 7

    Знайдіть рівняння для наступної гіперболи:

    Ф-Д_Ф050С64Б1С280ДБСЕ 6ФД12 Е1Е1С13665410489E3AE1F390B72106E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Рішення

    \(\ \frac{(x-4)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{45}=1\)

    Рецензія

    Намалюйте гіперболи.

    1. \(\ \frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=1\)
    2. \(\ \frac{(y+3)^{2}}{4}-\frac{(x-4)^{2}}{9}=1\)
    3. \(\ \frac{(y+4)^{2}}{16}-\frac{(x-1)^{2}}{4}=1\)
    4. \(\ (x-2)^{2}-4 y^{2}=16\)
    5. \(\ \frac{y^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{4}=1\)
    6. \(\ \frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+4)^{2}}{1}=1\)
    7. \(\ \frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y+2)^{2}}{16}=1\)
    8. \(\ \frac{(x+4)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{4}=1\)
    9. Графік гіперболи і відзначте її вогнища:\(\ 9 y^{2}+18 y-x^{2}+4 x-4=0\)
    10. Графік гіперболи і відзначте її вогнища:\(\ 25 x^{2}+150 x-4 y^{2}+24 y+89=0\)

    Визначте рівняння гіперболи за допомогою зображення.

    1. F-D_3F2008016E21DB2D4DE61DCA0119 ЕБ6779278Б2ДБФС 56D90967+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    2. F-д_35ЕФК 43Ф2 АБ 58DAD7ЕФ 3БК 95Д024 ДК4АФ7С4717Ф69Е49С1Е625686А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крошечкий.PNG
    3. Ф-д_С58ФБ6714Ф8ЕЦ2Ф3ЕБ9ДФД01ад00Ф727768к1708Ф3А3А7Е415+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    4. F-д_Ф4Д5А0Е62Д41С8Б21А240 ББ713 Даце А331182 ДФ ФБ9Ф49А8C652C6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    5. F-д_д444938Ф47 ЕЕБ 2605751d0554F16e3660419А9БД74Б226КБ6Д1ФБ935+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    Асимптоти Асимптота - це рядок на графіку функції, що представляє значення, до якого функція може наблизитися, але не досягати (за деякими винятками).
    Конічна Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи.
    Еліпс Еліпси - це конічні зрізи, які мають вигляд витягнутих кіл. Еліпс представляє всі місця в двох вимірах, які знаходяться на однаковій відстані від двох заданих точок, які називаються вогнищами.
    еліпси Еліпси - це конічні зрізи, які мають вигляд витягнутих кіл. Еліпс представляє всі місця в двох вимірах, які знаходяться на однаковій відстані від двох заданих точок, які називаються вогнищами.
    гіпербола Гіпербола - це конічний переріз, утворений, коли січна площина перетинає обидві сторони конуса, в результаті чого утворюються дві нескінченні «U» -образні криві.
    гіперболи Гіпербола - це конічний переріз, утворений, коли січна площина перетинає обидві сторони конуса, в результаті чого утворюються дві нескінченні «U» -образні криві.
    Парабола Парабола - це множина точок, що знаходяться на рівній відстані від фіксованої точки внутрішньої кривої, яка називається «'focus"', і лінія на зовнішній стороні, яка називається «'directrix"'. Директриса буває вертикальною або горизонтальною, в залежності від орієнтації параболи.
    перпендикулярна гіпербола Перпендикулярна гіпербола має асимптоти, які перетинаються під кутом 90.
    необмежений Бути необмеженим означає бути настільки великим, що жодне коло, яким би великим не було, не може обкласти фігуру.