Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.3.1: Графіки гіпербол, орієнтовані на походження

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55081

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Графічні гіперболи, орієнтовані на початок

    Ваше домашнє завдання полягає в тому, щоб графувати гіперболу\(\ 9 y^{2}-4 x^{2}=36\). Які асимптоти та осередки вашого графіка?

    Графічні гіперболи

    Відомо, що отриманий графік раціональної функції є гіперболою з двома гілками. Гіпербола - це також конічний розріз. Щоб створити гіперболу, ви б розрізали площину через два перевернуті конуси, таким чином, щоб площина була перпендикулярною основам конусів.

    Ф-д_А3С482ЕЕ75Е7Ф307ДФ 2Ф30КД9Е59Ф5Ф19Ф378202ДДД0ДД388ДФД0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    За конічним визначенням гіпербола - це сукупність всіх точок такого, що відмінності відстаней від вогнищ постійна.

    F-д_Е17Е8ДФ 5375Ф3АААД 2172Б60ДФДД51А080А8КБ232Ф49 КД823652Е9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Використовуючи картинку, будь-яка точка,\(\ (x,y)\) на гіперболі має властивість\(\ d_{1}-d_{2}=P\), де\(\ P\) знаходиться константа.

    Порівнюючи це з еліпсом, де\(\ d_{1}+d_{2}=P\) і рівняння було\(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) або\(\ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\).

    Для гіперболи тоді рівняння буде\(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) або\(\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\). Зверніть увагу у вертикальній орієнтації гіперболи,\(\ y^{2}\) термін перший. Так само, як і з еліпсом, є дві вершини, на гіперболі. Тут вони є двома точками, які найбільш близькі один до одного на графіку. Лінія через вершини і вогнища називається поперечною віссю. Його середина - центр гіперболи. У цій концепції центром буде походження. Завжди буде дві гілки для будь-якої гіперболи і дві асимптоти.

    F-д_52ф59ад 5Е64Ф24Б9А0096Б56Ф6Ф6Ф6Ф6Ф0БД5Е38478Д5Д5АБ08АЕД 34+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNGF-D_216 СЕ 270ДФ 65Д29А34ФА5872А522 ЕА1ДА59А44Д9Б66ДФ1А18Е65С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG

    Давайте графуємо,\(\ \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{25}=1\) а потім знайдемо вершини, вогнища та асимптоти.

    По-перше, ця гіпербола має горизонтальну поперечну вісь, оскільки\(\ x^{2}\) термін перший. Крім того, з гіперболами,\(\ a\) і\(\ b\) термін залишитися на місці, але\(\ x\) і\(\ y\) терміни перемикаються. \(\ a\)не завжди більше, ніж\(\ b\).

    Тому\(\ a=\sqrt{64}=8\) і\(\ b=\sqrt{25}=5\). Щоб намалювати цю гіперболу, вийдіть на 8 одиниць ліворуч і праворуч від центру та 5 одиниць вгору та вниз, щоб створити прямокутник. Діагоналі цього прямокутника є асимптотами.

    Намалюйте гілки гіперболи з вершинами на поперечній осі і прямокутником. Намалюйте гілки, щоб наблизитися до асимптотів, але не чіпати їх.

    F-д_7076570418А 3ЕСД 298Ф835Б80А9С048 АФ268Е5Б85Ф114C2F56FFD9A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Вершини є\(\ (\pm 8,0)\) і асимптоти є\(\ y=\pm \frac{5}{8} x\) (див. Малюнки вище. Для знаходження вогнищ використовуємо теорему Піфагора,\(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\) тому що вогнища знаходяться далі від центру, ніж вершини.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    c^ {2} &=64+25=89\\
    c &=\ sqrt {89}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Вогнища є\(\ (\pm \sqrt{89}, 0)\).

    Тепер давайте проведемо графік\(\ 36 y^{2}-9 x^{2}=324\) і виявимо вогнища.

    Це рівняння не в стандартній формі. Щоб переписати його в стандартному вигляді, права частина рівняння повинна бути 1. Розділіть все на 324.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ розрив {36 y^ {2}} {324} -\ розрив {9 x^ {2}} {324} &=\ розрив {324} {324} {324}\
    \ розрив {y^ {2}} {9}} -\ розрив {x^ {2}}} {36} &=1
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тепер ми бачимо, що це вертикальна гіпербола, де\(\ a=3\) і\(\ b=6\). Намалюйте прямокутник, асимптоти та намалюйте вершини на\(\ y \text { -axis }\).

    F-D_AC68A7A88 ЕФ48БФДБЕ02 БББ0ДФА12Е8ФДА2 ФА007341 ЕЕБДФ7С44Б0Е2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Щоб знайти вогнища, використовують\(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

    \ (\\ почати {масив} {л}
    c^ {2} &=36+9=45\\
    c&=\ sqrt {45} =3\ sqrt {5}
    \ кінець {масив}\)

    Вогнищами є\(\ (0,3 \sqrt{5})\) і\(\ (0,-3 \sqrt{5})\)

    Нарешті, давайте проведемо графік\(\ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1\) і ідентифікуємо асимптоти.

    Це буде горизонтальна гіпербола, тому що\(\ x \text { -term }\) це перша. \(\ a\)і обидва\(\ b\) будуть 2 тому що\(\ \sqrt{4}=2\). Намалюйте квадрат і діагоналі, щоб сформувати асимптоти.

    Ф-д_75288Б4А0А0А404АФ7Д046Ф5Б13Ф34047608ФА2Б79Д9С72КФ 9355AB1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Асимптотами є\(\ y=\pm \frac{2}{2} x\) або\(\ y=x\) і\(\ y=-x\).

    Важливе зауваження: асимптоти і квадрат не є частиною функції. Вони включені в графіку гіперболи, оскільки це полегшує це зробити.

    Також, графуючи гіперболи, ми малюємо кожну гілку. Ми не складали таблицю значень, щоб знайти певні точки, а потім з'єднати. Ви можете зробити це, але використання квадрата або прямокутника з асимптотами створює досить точний графік і набагато простіше.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили знайти асимптоти та осередки вашого графіка.

    Рішення

    Спочатку нам потрібно отримати рівняння у вигляді\(\ \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\), тому ділимо на 36.

    \ (\\ почати {масив} {l}
    9 y^ {2} -4 x^ {2} &=36
    \\ гідророзриву {9 y^ {2}} {36} -\ гідророзриву {4 x^ {2}} {36} {36} {36}\
    \ гідророзриву {y^ {2}} {4} -\ frac {x^ {2} {9} &=1
    \ end {масив}\)

    Тепер ми можемо бачити, що\(\ a^{2}=4\) і\(\ b^{2}=9\), так\(\ a=2\) і\(\ b=3\). Крім того, оскільки на\(\ y \text { -term }\) першому місці гіпербола орієнтована вертикально. Тому асимптотами є\(\ y=-\frac{a}{b} x\) і\(\ y=\frac{a}{b} x\).

    Підставивши\(\ a\) і\(\ b\), отримуємо\(\ y=-\frac{2}{3} x\) і\(\ y=\frac{2}{3} x\).

    Нарешті, щоб знайти вогнища, використовують\(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

    \ (\\ почати {масив} {l}
    c^ {2} &=4+9=13\
    c&=\ sqrt {13}
    \ кінець {масив}\)

    Вогнищами є\(\ (0, \sqrt{13})\) і\(\ (0,-\sqrt{13})\).

    Приклад 2

    Знайдіть вершини, вогнища та асимптоти\(\ y^{2}-\frac{x^{2}}{25}=1\).

    Рішення

    Для початку давайте перепишемо рівняння так:\(\ \frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{25}=1\). Ми знаємо, що поперечна вісь вертикальна\(\ y \text { -term }\), тому що перша, роблячи\(\ a=1\) і\(\ b=5\). Тому вершини - це\(\ (0,−1)\) і\(\ (0,1)\). Асимптотами є\(\ y=\frac{1}{5} x\) і\(\ y=-\frac{1}{5} x\). Нарешті, давайте знайдемо вогнища за допомогою\(\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

    \ (\\ почати {масив} {л}
    c^ {2} &=1+25=26\\
    c&=\ sqrt {26}
    \ кінець {масив}\)

    Вогнищами є\(\ (0,-\sqrt{26})\) і\(\ (0, \sqrt{26})\)

    Приклад 3

    Приклад графіка 2.

    Рішення

    F-D_4 ДБКК С137Е3726Б59074СС4С4ФФ 953А6С2ЕФД 0CAF06191D1D1A5B535A4B7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Приклад 4

    Графік\(\ 9 x^{2}-49 y^{2}=411\).

    Рішення

    Перепишіть рівняння так, щоб права сторона дорівнювала 1. Розділіть все на 441.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ розриву {9 x^ {2}} {441} -\ гідророзриву {49 y^ {2}} {441} &=\ розриву {441} {441} {441}\
    \ розриву {x^ {2}} {49}} -\ розриву {y^ {2}}} {9} &=1
    \ кінець {вирівняний}\)

    \(\ a=9\)і\(\ b=6\) з горизонтальною поперечною віссю.

    Ф-д_6ф 56941388 ЕФ94С7Д50С8БД11Д3Е54441Д8 Ліжко BB7Е8Д5Д445БАЕ18Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рецензія

    Знайдіть вершини, асимптоти та вогнища кожної гіперболи нижче.

    1. \(\ \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)
    2. \(\ 4 y^{2}-25 x^{2}=100\)
    3. \(\ \frac{x^{2}}{81}-\frac{y^{2}}{64}=1\)
    4. \(\ x^{2}-y^{2}=16\)
    5. \(\ \frac{y^{2}}{49}-\frac{x^{2}}{25}=1\)
    6. \(\ 121 y^{2}-9 x^{2}=1089\)
    7. \(\ y^{2}-x^{2}=1\)
    8. \(\ \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{4}=1\)
    9. \(\ \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{64}=1\)
    10. Графік #1.
    11. Графік #2.
    12. Графік #8.
    13. Графік #9.
    14. Написання Порівняйте гіперболи з #8 та #9. Як вони однакові? Чим вони відрізняються? Що ви знаєте про асимптотах і вогнищах?
    15. Критичне мислення Порівняйте рівняння\(\ \frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1\) і\(\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\). Намалюйте їх на однакових осях і знайдіть їх осередки.

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.7.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: Авторське право на зображення DVARG, 2014, модифікований Фондом CK-12;
      Джерело Фонду CK-12: http://www.shutterstock.com
       Ліцензія: Ліцензія від Заттерсток; CC BY-SA