6.2.4: Параболи та аналітична геометрія

Параболи та аналітична геометрія

Брендін графує параболи як частину свого домашнього завдання. Йому знайома стандартна форма параболи:$\ y=a x^{2}$, і більш довга форма:$\ y-k=a(x-h)^{2}$.

На своїй третій проблемі він стикається з корчем. Він значно спростив рівняння і намагається змусити його відповідати стандартній формі, але він продовжує придумувати це:$\ x-4=3(y-3)^{2}$. Він не може зрозуміти, чому термін y є квадратом, а не термін x.

Що тут відбувається?

---

Параболи та аналітична геометрія

Це наш другий урок про параболи. На початковому уроці ми досліджували параболу, використовуючи формулу відстані, і торкнулися використання фокусу та директриси. На цьому уроці ми спочатку розглянемо параболи з точки зору «аналітичної геометрії», а потім працюємо кілька прикладів з фокусом і директрикою параболи.

Пошук рівняння параболи за допомогою аналітичної геометрії

Розглянемо конус, орієнтований в просторі, як на фото нижче:

Якщо конус відкривається під таким кутом, що в будь-якій точці його радіус до висоти дорівнює a, то конус можна визначити як множину точок таким чином, щоб відстань від осі z в рази перевищувала z−координату. Або, іншими словами, множина точок (x, y, z) задовольняє:

$\ \sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=a z$

або

$\ x^{2}+y^{2}=a^{2} z^{2}$

Це рівняння працює для від'ємних значень x, y та z, даючи загальне рівняння для двостороннього конуса.

Щоб розглянути перетин цього конуса з площиною, паралельною лінії,$\ l$ зазначеної на схемі вище, найзручніше повернути весь конус навколо$\ y$ осі, поки ліва сторона конуса не стане вертикальною, потім перетинати її з вертикальною площиною, перпендикулярною $\ x$−вісь. Таке обертання залишає змінну$\ y$ −змінною. Щоб побачити, що він робить зі$\ z$ змінними$\ x$ і, давайте подивимося, що відбувається з точкою$\ (x,z)$ на$\ xz$ −площині, коли вона повертається на кут θ.

На наведеній вище схемі,$\ P(x, z)$ повертається на кут θ до точки$\ P^{\prime}$. Ми відзначили довжини сторін$\ Q P=x$ і$\ S Q=z$. За теоремою Піфагора,$\ S P=\sqrt{x^{2}+z^{2}}$. У нас теж є$\ S P^{\prime}=\sqrt{x^{2}+z^{2}}$, так як обертання залишає відстань від початку незмінним. Щоб знайти$\ x$ −координати нашої повернутої точки$\ P^{\prime}$, ми можемо використати той факт, що

$\ \cos (90-\alpha-\theta)=\frac{S Q^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}$. Але за властивостями косинуса ми маємо:

$\ \cos (90-\alpha-\theta)=\sin (\alpha+\theta)$,

і заміна за допомогою формули додавання синуса дає нам:

$\ \frac{S Q^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}=\sin (\alpha) \cos (\theta)+\cos (\alpha) \sin (\theta)$,

яку ми можемо використовувати нашу діаграму, щоб змінити на:

$\ \frac{S Q^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \cos (\theta)+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \sin (\theta)$

що спрощує:

$\ S Q^{\prime}=x \cos (\theta)+z \sin (\theta)$

Щоб знайти$\ x$ −координати нашої повернутої точки$\ P^{\prime}$, ми можемо використати той факт, що

$\ \sin (90-\alpha-\theta)=\frac{P^{\prime} Q^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}$. Але за властивостями синуса ми маємо:

$\ \sin (90-\alpha-\theta)=\cos (\alpha+\theta)$

і заміна формулою додавання косинусів дає нам:

$\ \frac{P^{\prime} Q^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}=\cos (\alpha) \cos (\theta)-\sin (\alpha) \sin (\theta)$,

яку ми можемо використовувати нашу діаграму, щоб змінити на:

$\ \frac{P^{\prime} Q^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \cos (\theta)-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \sin (\theta)$

що спрощує:

$\ P^{\prime} Q^{\prime}=z \cos (\theta)-x \sin (\theta)$

Озираючись назад на картинку, це означає, що координати$\ P^{\prime}$ є$\ (x \cos (\theta)+z \sin (\theta), z \cos (\theta)-x \sin (\theta))$. Іншими словами, при обертанні від$\ P$ до$\ x$ −coordinate змінюється на$\ P^{\prime}$,$\ x \cos (\theta)+z \sin (\theta)$ а координата$\ z$ − змінюється на$\ z \cos (\theta)-x \sin (\theta)$.

Якщо це обертання відбувається з кожною точкою на конусі, ми можемо замінити$\ x$ і$\ x \cos (\theta)+z \sin (\theta)$$\ z \cos (\theta)-x \sin (\theta)$ для$\ z$ нашого рівняння конуса, в результаті чого нове рівняння для конуса після обертання на$\ \theta$.

\ (\\ почати {вирівняний}
(х\ cos (\ тета) +z\ sin (\ тета)) ^ {2} +y^ {2} &=a^ {2} (z\ cos (\ тета) -х\ sin (\ тета)) ^ {2}\
x^ {2}\ cos ^ {2} (\ тета) +2 х z\ cos (\ тета)\ sin\ theta) +z^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета) +y^ {2} &=a^ {2}\ лівий (x^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета) -2 х z\ cos (\ тета)\ гріх (\ тета) +z^ {2} \ cos ^ {2} (\ тета)\ вправо.) \\
x^ {2}\ cos ^ {2} (\ тета) +2 х z\ cos (\ тета)\ sin (\ тета) +z^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета) +y^ {2} &=a^ {2} x^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета) -2 a^ {2} x z\ cos (\ тета)\ sin\ тета) +a^ {2} z^ {2}\ cos (\ тета))\\
x^ {2}\ cos ^ {2} (\ тета) +2 х z\ cos (\ тета)\ sin (\ тета) +z^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета) +y^ {2} &=a^ {2} x^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета) -2 a^ {2} x z\ cos (\ тета)\ sin (\ тета) +a^ {2} z^ {2}\ cos (\ тета))
\ кінець {вирівняний}\)

Тепер у випадку з нахиленим конусом ми хочемо нахилити конус таким чином, щоб ліва сторона стала вертикальною. Оскільки коефіцієнт$\ a$ визначає, наскільки нахилений конус, ми можемо бачити з трикутника нижче, що$\ \sin (\theta)=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}$ і$\ \cos (\theta)=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}$.

Так рівняння стає:

\ (\\ почати {вирівняний}
x^ {2}\ розриву {1} {1+a^ {2}} +2 х з\ розриву {a} {1+a^ {2}} +z^ {2}\ frac {1}} {1+a^ {2}} +y^ {2} &=a^ {2} &=a^ {2} x^ {2} ^ {2}} {1+a^ {2}} -2 a^ {2} x z\ розриву {a} {1+a^ {2}} +a^ {2} z^ {2}\ розриву {1} {1+a^ {2}}\
x^ {2} +2 х z a+z^ {2} a^ {2} +y^ {2} +y^ {2}\ ліворуч (1+a^ {2}\ праворуч) &=a^ {4} x^ {2} -2 a^ {3} x z+a^ {2} z^ {2}\\
x^ {2} +2 х z a+y^ {2}\ ліворуч (1+a^ {2}\ праворуч) &=a^ {4} x^ {2} -2 a^ {3} x z
\ кінець {вирівняний}\)

Тепер, коли ми нахилили наш конус, щоб взяти поперечний переріз, паралельний лівій стороні конуса, ми можемо просто розрізати його вертикальною площиною. Рівняння вертикальної площини, що проходить$\ (b, 0,0)$ і перпендикулярно до$\ x$ осі −дорівнює$\ x=b$. Тому установка, рівна постійній в$\ x$ рівнянні вище, дасть нам перетин нахиленого конуса і площини, паралельної одній стороні конуса. $\ b$. Ось зображення повороту та поперечного перерізу, що лежить у$\ xz$ −площині.

Встановлюючи$\ x$ рівну$\ b$ константі, маємо:

\ (\\ почати {вирівняний}
b^ {2} +2 a b z+y^ {2}\ ліворуч (1+a^ {2}\ праворуч) &=a^ {4} b^ {2} -2 a^ {3} b\\
ліворуч (2 a b+2 a^ {3} b\ праворуч) &=-y^ {2}\ ліворуч (1+a^ {2}\ ліворуч (1+a^ {2} праворуч) +a^ {4} b^ {2} -b^ {2}\\
z &=\ ліворуч (\ frac {-1-a^ {2}} {2} b+2 a^ {3} b}\ праворуч) y^ {2} +\ ліворуч (a^ {4} b^ {2} -b^ {2}\ праворуч)
\ end {вирівняний}\)

Хоча цей коефіцієнт і постійний термін здаються складними,$\ a$ і$\ b$ можуть бути підібрані так, щоб коефіцієнт$\ y^{2}$ терміна міг дорівнювати будь-якому числу (цей факт ви будете досліджувати у вправі). Постійний термін можна ігнорувати, оскільки будь-яка парабола може бути зрушена вертикально на будь-яку величину.

Отже, загальна форма параболи така:

$\ z=A y^{2}$

де A - будь-яка константа.

Або, використовуючи більш$\ y-\text { coordinates }$ стандартну$\ x-$ і форму параболи є

$\ y=a x^{2}$

Як і раніше, це рівняння може бути адаптоване для отримання зсунутих і горизонтально орієнтованих форм.

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вам задавали питання про Брендіна, який не впевнений, чому він має$\ y^{2}$ термін у рівнянні стандартної форми замість$\ x^{2}$ члена.

Рішення

Брендін продовжує придумувати$\ y^{2}$ термін, тому що це бокова парабола.

Приклад 2

У доказі вище ми значно спростили формулу в кінці, підставивши A на

$\ \frac{-1-a^{2}}{2 a b+2 a^{3} b}$

Рішення

Поясніть, чому це було допустимо, показавши, що для будь-якого$\ A$ існують константи$\ a$ і$\ b$ такі, що$\ A=\frac{-1-a^{2}}{2 a b+2 a^{3} b}$

Вирішуючи для з$\ b$ точки зору$\ A$ і$\ a$, ми маємо:

\ (\\ почати {
вирівняний} A\ ліворуч (2 a b+2 a^ {3} b\ праворуч) &=-1-a^ {2}\
2 A b\ ліворуч (1+a^ {2}\ праворуч) &=-\ ліворуч (1+a^ {2}\ праворуч)\\
2 A b &= -1\\
2 A b = -1\\ 2 A b =-1\\
b\ =\ гідророзриву {1} {2 A}
\ end {вирівняний}\)

Так ми можемо встановити$\ b=2Aa$ і відносини будуть триматися.

Приклад 3

Намалюйте ескіз наступної параболи. Також визначте його директрису і фокус. $\ 3 x^{2}+6 x-y=0$

Рішення

Фактор і заповніть квадрат, щоб отримати:$\ 3(x+1)=y+3$. Вершина знаходиться за адресою:$\ (-1,-3)$.

Фокус -$\ \left(-1,-2 \frac{11}{12}\right)$ Директриса - це лінія$\ y=-3 \frac{1}{12}$

Приклад 4

Знайдіть рівняння для параболи з директрисою$\ y=-2$ та фокусом$\ (3,8)$.

Рішення

Вершина знаходиться вертикально посередині між фокусом та директрисою:$\ \frac{-2+8}{2}=3$, так само горизонтально, як фокус:$\ x=3$ і, отже, в:$\ (3,3)$.

Підстановка цих значень у формулу дає:

$\ y-3=\frac{1}{20}(x-3)^{2}$

Приклад 5

Знайдіть рівняння для параболи з директрисою$\ y=3$ та фокусом$\ (2, -1)$.

Рішення

Використання вершинної форми параболи$\ (y-k)^{2}=4 a(x-h)$:

Нагадаємо, що значення вершини y$\ k$ є середньою точкою директриси і фокусом на прямій, перпендикулярній директрисі і перетинаючи фокус. Тому значення y вершини дорівнює 1.

Нагадаємо, що значення вершини x$\ h$ таке ж, як і фокус, тому значення вершини x дорівнює 2

Нарешті, нагадаємо, що$\ a$ відстань від вершини до фокуса або від вершини до директриси (які однакові):$\ \therefore a=2$

Заміна дає:$\ (y-1)^{2}=8(x-2) \rightarrow y^{2}+1=8 x-16 \rightarrow y^{2}=8 x-17$

приклад 6

Опишіть форму параболи, оскільки вона відноситься до конуса або подвійного конуса.

Рішення

Форма параболи, як вона відноситься до конуса або подвійного конуса, полягає в тому, що парабола представляє виявлену форму, коли порожнистий конус прорізається під кутом, рівним стороні конуса. Особливо ясно з подвійним конусом є той факт, що прорізання під більш крутим кутом призведе до двох кривих (гіпербола), а менший кут призведе до еліпса.

приклад 7

Намалюйте наступну параболу та визначте директрису та фокус:$\ 4 x^{2}-3 x+y=7$.

Рішення

$\ y=a x^{2}+b x+c$... Згадаймо стандартну форму параболи.

$\ a=-3|b=6| c=-2$... Витяг a, b, c

$\ x=\frac{-6}{2(-3)} \rightarrow x=1$... X-координата вершини$\ =\frac{-b}{2 a}$

$\ y=(-3)(1)+6(1)-2$... Підставити обчислене значення x для розв'язання$\ y$

$\ y=1$... Вершина = (1,1)

$\ x=1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$... Визначте Х-перехоплення за допомогою квадратичної формули

---

Рецензія

Використовуйте зображення для ідентифікації частин параболи:

1. Фокус
2. Вершина
3. Фокусний радіус
4. Директриса
5. Парабола

Використовуйте зображення та задане рівняння параболи, щоб визначити наступне:

6. Координати фокуса
7. Рівняння директриси
8. Відстані фокусного радіуса
9. Рівняння осі симетрії
10. Координати вершини

11. Знайти рівняння для параболи з директрикою: x=2 та фокусом: (0, −2)
12. Знайти рівняння для параболи з вершиною: (5, −2) та директрирою: y=−5
13. Знайдіть рівняння для параболи з фокусом: (3, 5) та вершиною: (3, 1)

Використовуйте зображення для ідентифікації вершини, осі симетрії та рівняння параболи:

14. 
15. 
16. 

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.4.

---

Ресурси

---

Лексика

Термін	Визначення
Аналітична геометрія	Аналітична геометрія - це галузь математики, що займається моделюванням та дослідженням форм за допомогою алгебраїчних формул та системи координат.
вісь симетрії	Вісь симетрії параболи - це вертикальна лінія, яка проходить через вершину параболи. Парабола симетрична щодо цієї лінії.
Конічний	Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи.
директриса	Директриса параболи - це лінія, від якої парабола, здається, крива. Всі точки на параболі рівновіддалені від вогнища параболи і директриси параболи.
фокус	У центрі уваги параболи є точка, яка «закріплює» параболу. Будь-яка точка на параболі знаходиться точно на такій же відстані від фокуса, як і від директриси.
Парабола	Парабола - це множина точок, що знаходяться на рівній відстані від фіксованої точки внутрішньої кривої, яка називається «'focus"', і лінія на зовнішній стороні, яка називається «'directrix"'. Директриса буває вертикальною або горизонтальною, в залежності від орієнтації параболи.