Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2.1: Параболи з вершиною на початку

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55098

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Параболи з вершиною на початку

    Площа квадрата представлена рівнянням\(\ y=9 x^{2}\). Які фокус і директриса цього рівняння?

    Параболи з вершиною на початку

    Ви вже знаєте, що граф параболи має батьківський граф\(\ y=x^{2}\), з вершиною (0, 0) і віссю симетрії\(\ x = 0\). Параболу також можна визначити по-іншому. Він має таку властивість, що будь-яка точка на ній знаходиться на рівновіддаленій від іншої точки, званої фокусом, і лінія, яка називається директриса.

    Основна увага приділяється осі симетрії, а вершина знаходиться на півдорозі між нею і директрисою. Директриса перпендикулярна осі симетрії.

    Ф-д_А980615 ЕБ303ЕЕ117Б66698 АААААААААБК2К0696220683CE883А23АБ7311e+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    До цих пір ми звикли бачити рівняння подібної параболи\(\ y=a x^{2}\). У цій концепції ми перепишемо рівняння, щоб виглядати так,\(\ x^{2}=4 p y\) де\(\ p\) використовується для пошуку фокусу та директриси. Ми також намалюємо параболу з горизонтальною орієнтацією, такою, що рівняння буде\(\ y^{2}=4 p x\).

    F-д_7980 А3С31917Д6Д9238Е3Е Е5 ЕЕ79 BE178774387290A21 ЕБА 7БА 82D2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Зверніть увагу, що коли парабола відкривається вліво або вправо, y знаходиться в квадраті. У цьому понятті вершина буде (0, 0).

    Розберемо рівняння\(\ y^{2}=-12 x\). Ми знайдемо фокус, Directrix, і визначити, якщо функція відкривається вгору, вниз, вліво або вправо. Потім ми будемо графувати параболу.

    Щоб знайти фокус і директрису, нам потрібно знайти\(\ p\). Ми можемо встановити\(\ -12=4 p\) і вирішити для\(\ p\).

    \ (\\ begin {масив} {c}
    -12&=4 p\\
    -3&=p
    \ end {масив}\)

    Оскільки\(\ y\) знаходиться в квадраті, ми знаємо, що парабола відкривається вліво або вправо. Оскільки\(\ p\) негативний, ми знаємо, що він відкриється ліворуч, до негативної сторони осі х. Використовуючи фотографії вище, ця парабола схожа на другу під\(\ y^{2}=4 p x\). Отже, фокус дорівнює (−3, 0), а директриса дорівнює x=3. Для побудови графіка параболи нанесіть вершину, фокус, директрису та намалюйте криву. Знайдіть принаймні одну або дві точки на кривій, щоб переконатися, що ваш ескіз точний. Наприклад, оскільки (−3, 6) знаходиться на параболі, то (−3, −6) також знаходиться на параболі, оскільки вона симетрична.

    Зверніть увагу, що точки (−3, 6) та (−3, −6) рівновіддалені від фокуса та директриси. Вони обидва по 6 одиниць з кожного.

    F-D_0810БС 3612139Б75Б423Д53Д61218С6КД03А9С1ДБ2С367816ББ1Б1Ф9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    У центрі уваги параболи\(\ \left(0, \frac{1}{2}\right)\). Знайдемо рівняння параболи.

    Оскільки\(\ p\) значення є значенням y і позитивним, ця парабола відкриється. Отже, загальне рівняння є\(\ x^{2}=4 p y\). Підключивши\(\ \frac{1}{2}\) для\(\ p\), у нас є\(\ x^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} y\) або\(\ x^{2}=2 y\).

    Тепер знайдемо рівняння параболи нижче.

    F-D_A8652ФБ42Ф611ЕС60ФБЕ06539 ББ435А9Ф193Ф83ДФ 6C39A3788B2F2F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рівняння директриси є\(\ y=5\), а значить,\(\ p=-5\) і загальне рівняння буде\(\ x^{2}=4 p y\). Підключення в -5 для\(\ p\), у нас є\(\ x^{2}=-20 y\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили знайти фокус і директрису рівняння\(\ y=9 x^{2}\).

    Рішення

    Щоб знайти фокус і директрису, нам потрібно вирішити,\(\ x^{2}\) а потім знайти\(\ p\).

    \ (\\ begin {масив} {l}
    y&=9 x^ {2}\
    \ розрив {1} {9} y&=x^ {2}
    \ end {масив}\)

    Тепер ми можемо встановити\(\ \frac{1}{9}=4 p\) і вирішити для\(\ p\).

    \ (\\ begin {масив} {l}
    \ frac {1} {9} =4 p\
    \ frac {1} {36} =p
    \ кінець {масив}\)

    Тому фокус є\(\ \left(0, \frac{1}{36}\right)\) і директриса є\(\ y=-\frac{1}{36}\).

    Приклад 2

    Визначте, чи\(\ x^{2}=-2 y\) відкривається парабола вгору, вниз, вліво або вправо.

    Рішення

    Вниз;\(\ p\) є негативним і\(\ x\) знаходиться в квадраті.

    Приклад 3

    Знайдіть фокус і директрису\(\ y^{2}=6 x\). Потім графуйте параболу.

    Рішення

    Рішення для\(\ p\), ми маємо\(\ 4 p=6 \rightarrow p=\frac{3}{2}\). Оскільки\(\ y\) квадрат і\(\ p\) є позитивним, парабола відкриється праворуч. Фокус є\(\ \left(\frac{3}{2}, 0\right)\) і директриса є\(\ x=-\frac{3}{2}\).

    Ф-Д_2ФД 574А17571 ЕАФ 0Е2 БББД 80А7Ф21 ЕФБ 8БД194КБ9Б68БКФ9БФ9БФ932Ф00Е9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Приклад 4

    Знайдіть рівняння параболи за допомогою директриси\(\ x=-\frac{3}{8}\).

    Рішення

    Якщо директриса негативна і вертикальна (x =), ми знаємо, що рівняння буде,\(\ y^{2}=4 p x\) і парабола відкриється праворуч, зробивши\(\ p\) позитивний;\(\ p=\frac{3}{8}\). Тому рівняння буде\(\ y^{2}=4 \cdot \frac{3}{8} \cdot x \rightarrow y^{2}=\frac{3}{2} x\).

    Рецензія

    Визначте, чи відкривається парабола вліво, вправо, вгору або вниз.

    1. \(\ x^{2}=4 y\)
    2. \(\ y^{2}=-\frac{1}{2} x\)
    3. \(\ x^{2}=-y\)

    Знайдіть фокус і директрису наступних парабол.

    1. \(\ x^{2}=-2 y\)
    2. \(\ y^{2}=\frac{1}{4} x\)
    3. \(\ y^{2}=-5 x\)

    Графік наведені нижче параболи. Визначте фокус і директрису, а також.

    1. \(\ x^{2}=8 y\)
    2. \(\ y^{2}=\frac{1}{2} x\)
    3. \(\ x^{2}=-3 y\)

    Знайдіть рівняння параболи, враховуючи, що вершина (0, 0) і фокус або директриса.

    1. фокус: (4, 0)
    2. директриса: x = 10
    3. фокус:\(\ \left(0, \frac{7}{2}\right)\)
    4. Ви бачили, що раніше основне параболічне рівняння було\(\ y=a x^{2}\). Тепер пишемо\(\ x^{2}=4 p y\). Перепишіть з\(\ p\) точки зору\(\ a\) і визначте, як вони впливають один на одного.
    5. Виклик Використовуйте формулу відстані\(\ d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}-\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\), щоб довести, що точка (4, 2) знаходиться на параболі\(\ x^{2}=8 y\).
    6. Застосування реального світу Супутникова антена - це 3-вимірна парабола, яка використовується для отримання звуку, телевізора або інших хвиль. Припускаючи, що вершина (0, 0), де фокус повинен бути на супутниковій антені шириною 4 фути і глибиною 9 дюймів? Можна припустити, що парабола має вертикальну орієнтацію (відкривається вгору).

    F-D_211d7 ДК 34С92ДФ 14Б9656А4 Баб 4691 ББ5Д413С5Ф2610Б87А3ФЕ88С9С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.1.

    Лексика

    Термін Визначення
    директриса Директриса параболи - це лінія, від якої парабола, здається, крива. Всі точки на параболі рівновіддалені від вогнища параболи і директриси параболи.
    фокус У центрі уваги параболи є точка, яка «закріплює» параболу. Будь-яка точка на параболі знаходиться точно на такій же відстані від фокуса, як і від директриси.
    Парабола Парабола - це множина точок, що знаходяться на рівній відстані від фіксованої точки внутрішньої кривої, яка називається «'focus"', і лінія на зовнішній стороні, яка називається «'directrix"'. Директриса буває вертикальною або горизонтальною, в залежності від орієнтації параболи.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: Холлі Фішер
      Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png
       Ліцензія: CC BY-NC 3.0