4.5.1: Уявні числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54973

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

уявні числа

У вас коли-небудь був уявний вихованець? Деякі люди мають, особливо як маленькі діти.

Чи не здивуєтеся ви, якщо ви з вашим справжнім другом залишили двох уявних цуценят наодинці разом, і ви повернулися, щоб знайти справжнього цуценя?

Це дурна думка, так що це має відношення до уявних чисел?

уявні числа

Що таке квадратний корінь -1?

Ви можете згадати, що зіткнулися з коренями негативів в алгебрі, при спробі вирішити рівняння, такі як x ² + 4 = 0.

Оскільки немає дійсних чисел, які можуть бути зведені в квадрат до рівних -4, це рівняння не має дійсного рішення. Введіть уявну константу: "i».

Визначення «i»:\(\ i=\sqrt{-1}\)

Вживання слова уявне не означає, що ці цифри марні. Протягом тривалого періоду в історії математики вважалося, що квадратний корінь негативного числа насправді знаходиться лише в межах математичної уяви, без реального значення, отже, уявного. Це змінилося. Математики тепер розглядають уявні числа як ще один набір чисел, які мають реальне значення, але не поміщаються на те, що називається числовою лінією, а інженери, вчені та інші вирішують реальні світові завдання, використовуючи комбінації дійсних і уявних чисел (званих комплексними числами) кожен день.

Уявні значення, такі як\(\ \sqrt{-16}\) можна спростити шляхом спрощення радикала в\(\ \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}\), поступаючись:\(\ 4 \sqrt{-1}\) або\(\ 4 i\).

Використання я стає більш очевидним, коли ви починаєте працювати з підвищеними повноваженнями i, як ви побачите в прикладах нижче.

Комплексні числа

При поєднанні уявних чисел з дійсними числами виходять комплексні числа:

Комплексні числа мають вигляд\(\ a+b i\), де дійсне число,\(\ a\)\(\ b\) є дійсним числом, і\(\ i\) є уявною константою\(\ \sqrt{-1}\).

Приклади

Приклад 1

Раніше вам давали аналогію про уявних вихованців.

Рішення

Ви бачите його застосування?

Два уявних цуценя, що створюють справжнього цуценя, - це дивно ефективна метафора поведінки сил i.

Один i є уявним, але два я множити, щоб бути дійсним числом. Насправді, кожна парна сила i призводить до реального числа!

Приклад 2

Спростити\(\ \sqrt{-5}\).

Рішення

\ (\\ почати {масив} {л}
\ sqrt {-5} =\ sqrt {(-1)\ cdot (5)}\\
=\ sqrt {-1}\ sqrt {5}\
= i\ sqrt {5}
\ кінець {масив}\)

Приклад 3

Спростити\(\ \sqrt{-72}\).

Рішення

\ (\\ почати {масив} {л}
\ sqrt {-72} =\ sqrt {(-1)\ cdot (72)}\
=\ sqrt {-1}\ sqrt {72}\
sqrt {72}
\ кінець {масив}\)

Але, ми ще не закінчили! З 72=36⋅2

\ (\\ почати {масив} {л}
я\ sqrt {72} =i\ sqrt {36}\ sqrt {2}\\
=i (6)\ sqrt {2}\\
=6 i\ sqrt {2}
\ end {масив}\)

Приклад 4

Дивні речі трапляються, коли уявна константа i множиться на себе різну кількість разів.

Що таке\(\ i^2\)?
Що таке\(\ i^3\)?
Що таке\(\ i^4\)?

Рішення

\(\ i^2\)це те ж саме, що і\(\ (\sqrt{-1})^{2}\). Коли ви квадратично квадратний корінь, вони скасовуються, і вам залишається число, початкове всередині радикала, у цьому випадку −1
\(\ \therefore i^{2}=-1\)
\(\ i^3\)це те ж саме, що\(\ i^{2} \cdot i\), який є\(\ -1 \cdot i\) або\(\ -i\)
\(\ \therefore i^{3}=-i\)
\(\ i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}\)який є\(\ -1 \cdot-1\)
\(\ \therefore i^{4}=1\)

Приклад 5

Спростити наступні радикальні:\(\ \sqrt{108-140}\).

Рішення

\(\ \sqrt{-32}\): Відняти в дужках

\(\ \sqrt{32 \cdot-1}\): Перепишіть\(\ −32\) як\(\ -1 \cdot 32\)

\(\ \sqrt{32} \cdot \sqrt{-1}\): Перепишіть як продукт радикалів

\(\ \sqrt{32} \cdot i\): Замінник\(\ \sqrt{-1} \rightarrow i\)

\(\ \sqrt{16 \cdot 2} \cdot i\): Фактор\(\ 32\)

\(\ 4 i \sqrt{2}\): Спростити\(\ \sqrt{16}\)

приклад 6

Помножте уявні числа:\(\ 4 i \cdot 3 i\).

Рішення

\(\ 4 \cdot 3 \cdot i \cdot i\): Використання комутативного закону для множення

\(\ 12 \cdot i^{2}\): Спростити

\(\ 12 \cdot-1\): Згадати\(\ i^{2}=-1\)

\(\ −12\)

Приклад 7

Помножте уявні числа:\(\ \sqrt{4 i^{2}} \cdot \sqrt{12} i\).

Рішення

\(\ \sqrt{4} \cdot \sqrt{i^{2}} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \cdot i\): Фактор

\(\ 2 \cdot i \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i\): Спростити коріння

\(\ 4 \sqrt{3} \cdot i^{2}\): Збирайте терміни та спрощуйте

\(\ 4 \sqrt{3} \cdot-1\): Згадати\(\ i^{2}=-1\)

\(\ -4 \sqrt{3}\)

Рецензія

Спростити:

\(\ \sqrt{-49}\)
\(\ \sqrt{-81}\)
\(\ \sqrt{-324}\)
\(\ \sqrt{-121}\)
\(\ -\sqrt{-16}\)
\(\ -\sqrt{-1}\)
\(\ \sqrt{-1.21}\)

Спростити:

\(\ i^{8}\)
\(\ i^{12}\)
\(\ i^{3}\)
\(\ 24 i^{20}\)
\(\ i^{225}\)
\(\ i^{1024}\)

Помножити:

\(\ i^{4} \cdot i^{11}\)
\(\ 5 i^{6} \cdot 5 i^{8}\)
\(\ 3 \sqrt{-75} \cdot 5 \sqrt{-3}\)
\(\ 2 \sqrt{-12} \cdot 6 \sqrt{-27}\)
\(\ -4 \sqrt{-10} \cdot 5 \sqrt{-3} \cdot 6 \sqrt{-18}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.4.

Лексика

Термін	Визначення
\(\ i\)	\(\ i\)є уявним числом. \(\ i=\sqrt{-1}\).
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді\(\ a+bi\).
я	це уявне число. \(\ i=\sqrt{-1}\).
Уявне число	Уявне число - це число, яке можна записати як добуток дійсного числа і i.
уявні числа	Уявне число - це число, яке можна записати як добуток дійсного числа і i.