6.1: Імовірність обчислення

Індуктивні аргументи, нагадаємо, - це аргументи, передумови яких підтверджують їх висновки, наскільки вони роблять їх більш імовірними. Чим вірогідніше висновок в світлі приміщення, тим сильніше аргумент; чим менше вірогідний, тим слабкіше. Як ми бачили в останньому розділі, часто неможливо з будь-якою точністю сказати, наскільки ймовірним є висновок даного індуктивного аргументу у світлі його передумов; часто ми можемо лише робити відносні судження, відзначаючи, що один аргумент сильніший за інший, оскільки висновок є більш імовірним, не маючи можливості вказати, наскільки це більш імовірно.

Іноді, однак, можна точно вказати, наскільки вірогідним є висновок індуктивного аргументу в світлі його приміщень. Для цього ми повинні дізнатися щось про те, як обчислити ймовірності; ми повинні вивчити основи обчислення ймовірностей. Це галузь математики, що займається обчисленнями ймовірностей. (Не злякайтеся про слово «калькулус». Ми не робимо похідні та інтеграли тут; ми використовуємо це слово в загальному сенсі, як у «системі для виконання обчислень», або щось подібне. Крім того, не лякайтеся про «математику». Це дійсно простий, п'ятий клас матеріал: додавання і множення дробів і десяткових знаків.) Ми висвітлимо його найголовніші правила і навчимося виконувати нескладні розрахунки. Після цієї попередньої роботи ми використовуємо інструменти, передбачені обчисленням ймовірностей, щоб думати про те, як приймати рішення в умовах невизначеності, і як коригувати наші переконання в світлі доказів. Ми розглянемо питання про те, що означає бути раціональним при занятті подібного роду міркувальною діяльністю.

Нарешті, ми перейдемо до розгляду індуктивних аргументів за участю статистики. Такі аргументи, звичайно, поширені в публічному дискурсі. Спираючись на те, що ми дізналися про ймовірності, ми розглянемо деякі найбільш фундаментальні статистичні поняття. Це дозволить нам зрозуміти різні форми статистичного міркування - від різних методів тестування гіпотез до методів вибірки. Крім того, навіть рудиментарне розуміння основних статистичних понять та методів міркування поставить нас у хорошу позицію для визнання незліченних способів, за допомогою яких статистика неправильно розуміється, неправильно використовується та розгортається з наміром маніпулювати та обманювати. Як сказав Марк Твен: «Існує три види брехні: брехня, проклята брехня та статистика». (Твен приписує це зауваження прем'єр-міністру Великобританії Бенджаміну Дізраелі, хоча не зовсім зрозуміло, хто сказав це першим.) Рекламодавці, політики, експерти - всі в бізнесі переконання - рись з статистичних претензій, щоб підкріпити свої аргументи, і частіше за все вони або навмисно або помилково вчиняють якусь помилку. Закінчимо обстеженням такого роду помилок.

Але спочатку вивчимо обчислення ймовірності. Наше дослідження того, як обчислювати ймовірності, буде розділено акуратно на два розділи, що відповідають двом основним типам обчислень ймовірностей, які можна зробити. Є, з одного боку, ймовірності кількох подій, які відбуваються - або, що еквівалентно, множинні пропозиції, які є істинними; називайте ці сполучні явища. Спочатку ми дізнаємося, як обчислити ймовірності кон'юнктивних явищ - що ця подія і ця інша подія і якась інша подія і так далі відбуватиметься. З іншого боку, є ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з безлічі альтернативних подій - або, що еквівалентно, що принаймні одне з набору пропозицій буде істинним; називайте ці диз'юнктивні явища. У другій половині нашого вивчення обчислення ймовірності ми дізнаємося, як обчислити ймовірності неспільних явищ - що ця подія або ця інша подія або якась інша подія або... відбудеться.

Кон'юнктивні випадки

Нагадаємо, з нашого вивчення логіки речень, що сполучники - це, приблизно, 'і'-речення. Ми можемо думати про обчислення ймовірності кон'юнктивних явищ як обчислення ймовірності того, що конкретний сполучник істинний. Якщо ви кидаєте дві кістки і хочете знати свої шанси отримати «зміїні очі» (пару з них), ви шукаєте ймовірність того, що ви отримаєте один на першому кубику і один на другий.

Такі розрахунки можуть бути простими або трохи складнішими. Те, що відрізняє два випадки, полягає в тому, чи є події незалежними. Події незалежні, коли виникнення одного ніяк не впливає на ймовірність того, що відбудеться будь-яке з інших. Розглянемо кубики, згадані вище. Ми розглянули дві події: один на die #1, і один на die #2. Ці події є незалежними. Якщо я отримаю один на померти #1, це не впливає на мої шанси отримати один на другий померти; немає таємничої взаємодії між двома кубиками, таким чином, що те, що відбувається з одним, може вплинути на те, що відбувається з іншим. Вони незалежні. (Якщо ви думаєте інакше, ви вчиняєте те, що відомо як помилка азартного гравця. Це дивно поширене явище. Зайдіть в казино, і ви побачите людей, які це роблять. Наприклад, прямуйте до колеса рулетки, де люди можуть робити ставку на те, чи приземлиться м'яч у червоному чи чорному просторі. Після пробігу, скажімо, п'ять червоних поспіль, хтось зробить помилку: «Червоний гарячий! Я знову роблю ставку на це». Ця людина вважає, що результати попередніх спинив так чи інакше впливають на ймовірність результату наступного. Але вони не помітили, що однаково переконливий (і помилковий) випадок може бути зроблений для чорного: «П'ять червоних поспіль? Чорний колір обумовлений. Ставлю на чорне».) З іншого боку, розглянути можливість вибору двох карт зі стандартної колоди (і зберегти їх після того, як вони будуть намальовані). (Стандартна колода має 52 гральних карти, розділених порівну між чотирма мастями (серця, діаманти, клуби та піки) з 13 різними картами в кожній масті: туз (A), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет (J), дама (Q) та король (K).) Ось дві події: перша карта - це серце, друга карта - серце. Ці події не є незалежними. Отримання серця на першому розіграші впливає на ваші шанси отримати друге серце (це робить друге серце менш імовірним).

Коли події незалежні, все просто. Обчислено ймовірність їх кон'юнктивної появи шляхом множення ймовірностей їх окремих входжень. Це просте правило продукту:

Р (а • б • в •...) = П (а) х Р (б) х П (в) х...

Це правило є абстрактним, воно охоплює всі випадки кон'юнктивного виникнення самостійних подій. 'a ',' b 'та' c 'відносяться до подій; еліпси вказують на те, що їх може бути будь-яка кількість. Коли ми пишемо 'P', а потім щось в дужках, це тільки ймовірність того, що річ в дужках прийде пройти. У лівій частині рівняння ми маємо купу подій з крапками між ними. Точка означає те ж саме, що і в SL: це коротко для і. Таким чином, це рівняння просто говорить нам, що для обчислення ймовірності a і b і c (і як би багато інших є) відбуваються, ми просто помножити разом окремі ймовірності тих подій, що відбуваються самостійно.

Повертаємося до кубиків вище. Скачуємо два кубика. Яка ймовірність отримати пару з них? Події - один на die #1, один на die #2 - незалежні, тому ми можемо використовувати Просте правило продукту і просто помножити їх індивідуальні ймовірності.

Які ці ймовірності? Висловлюємо ймовірності як числа від 0 до 1. Подія з імовірністю 0 точно не відбудеться (пропозиція з ймовірністю 0, безумовно, помилкова); подія з ймовірністю 1 точно трапиться (пропозиція з ймовірністю 1, безумовно, вірна). Все інше - число між ними: ближче до 1 більш імовірно; ближче до 0, менше. Отже, наскільки ймовірно, що прокатний штамп покаже один? Є шість можливих результатів, коли ви кидаєте кубик; кожен з них однаково вірогідний. Коли це так, ймовірність конкретного результату лише 1 ділиться на кількість можливостей. Імовірність прокатки одиниці дорівнює 1/6.

Отже, обчислюємо ймовірність закочування «зміїних очей» наступним чином:

P (один на померти #1 • один на померти #2) = P (один на померти #1) х P (один на штамп #2)
= 1/6 х 1/6
= .0278

Якщо ви кидаєте дві кістки цілу купу разів, ви отримаєте пару з одного трохи менше 3% часу.

Раніше ми зазначали, що якщо ви витягнете дві карти з колоди, два можливих результату - перша карта - це серце, друга карта - серце —не є незалежними. Таким чином, ми не змогли обчислити ймовірність отримання двох пік за допомогою простого правила продукту. Ми могли б зробити це лише в тому випадку, якщо ми зробили дві події незалежними - якщо ми обумовили, що після витягування першої карти ви поміщаєте її (випадковим чином) назад у колоду, тож ви щоразу вибираєте випадковим чином з повної колоди карт. У такому випадку у вас є 1/4 шанс кожного разу вибрати серце, так що ймовірність вибору два поспіль буде 1/4 х 1/4 - і ймовірність вибору три в ряд буде 1/4 х 1/4, і так далі.

Звичайно, більш цікаве питання - і більш практичний, якщо ви гравець в карти шукає край - це оригінальний: яка ймовірність, скажімо, намалювати три серця, припускаючи, як це відбувається у всіх реальних карткових іграх, що ви зберігаєте карти, коли ви їх малюєте? Як ми зазначали, ці події— серце на першій карті, серце на другій карті, серце на третій - не є самостійними, тому що кожен раз, коли вам вдасться намалювати серце, що впливає на ваші шанси (негативно) намалювати ще одне. Давайте подумаємо про цей ефект в поточному випадку. Імовірність витягнути перше серце з добре перетасованої, повної колоди проста: 1/4. Це наступні серця, які є складними. Наскільки ефект робить успіх у малюванні, що перше серце має на ймовірність намалювати друге? Ну, якщо ми вже намалювали одне серце, колода, з якої ми намагаємося намалювати другу, відрізняється від оригінальної, повної колоди: конкретно, це коротка одна карта вже намальована - так що всього лише 51 - і зараз у неї менше сердець - 12 замість оригінальних 13. 12 з решти 51 карти то серця. Так що ймовірність намалювати друге серце, припускаючи, що перше вже підібрано, становить 12/51. Якщо нам вдасться намалювати друге серце, які наші шанси на малювання третього? Знову ж таки, в цьому випадку колода інша: ми тепер знизилися до 50 загальних карт, тільки 11 з яких - серця. Так що ймовірність отримати третє серце становить 11/50.

Саме ці дроби—1/4, 12/51 і 11/50 - ми повинні помножити разом, щоб визначити ймовірність намалювати три прямі серця, зберігаючи карти. Результатом є (приблизно) .013 - менша ймовірність, ніж у вибору 3 прямих сердець, коли карти не зберігаються, але замінюються після кожного вибору: 1/4 x 1/4 x 1/4 = .016 (приблизно). Це як годиться: важче намалювати три прямих серця, коли карти зберігаються, тому що кожен успіх зменшує ймовірність намалювати інше серце. Події не є самостійними.

Загалом, коли події не є незалежними, ми повинні зробити той самий крок, який ми зробили у випадку з трьома серцями. Замість того, щоб розглядати автономну ймовірність другого і третього серця - як ми могли б у випадку, коли події були незалежними - ми повинні були враховувати ймовірність цих подій, припускаючи, що інші події вже відбулися. Нам довелося запитати, яка ймовірність намалювати друге серце, враховуючи, що перше вже було намальовано; потім ми запитали після ймовірності намалювати третє серце, враховуючи, що перші два були намальовані.

Ми називаємо такі ймовірності—ймовірність події, що відбувається, припускаючи, що інші відбулися - умовні ймовірності. Коли події не є незалежними, Просте правило продукту не застосовується; натомість ми повинні використовувати Загальне правило продукту:

Р (а • б • в •...) = П (а) х Р (б | а) х П (в | а • б) х...

Термін «P (b | a)» позначає умовну ймовірність виникнення b, за умови, що a вже має. Термін «P (c | a • b)» позначає умовну ймовірність виникнення c, за умови, що a і b вже мають. Якби була четверта подія, d, ми мали б цей термін у правій частині рівняння: 'P (d | a • b • c) '. І так далі.

Давайте посилимо наше розуміння того, як обчислити ймовірності кон'юнктивних явищ за допомогою зразкової задачі:

Є урна, наповнена мармуром різних кольорів. Зокрема, він містить 20 червоних кульок, 30 синіх мармурів та 50 білих мармурів. Якщо ми виберемо 4 кульки з заробити випадковим чином, яка ймовірність того, що всі чотири будуть синіми, (а) якщо ми замінимо кожен мармур після його малювання, і (б) якщо ми збережемо кожен мармур після його малювання?

Давайте дозволимо 'B1' стояти за подію вибору синього мармуру на першому виборі; і ми дозволимо 'B2', 'B3' і 'B4' стояти для подій вибору синього кольору на другому, третьому і четвертому виділеннях, відповідно. Ми хочемо ймовірність того, що всі ці події відбуваються:

Р (B1 • B2 • Б3 • Б4) =?

(а) Якщо ми замінимо кожен мармур після його малювання, то події незалежні: вибір синього кольору на одному малюнку не впливає на наші шанси вибрати синій на будь-якому іншому; для кожного вибору урна має однаковий склад мармуру. Оскільки події в цьому випадку незалежні, ми можемо використовувати Просте правило продукту для обчислення ймовірності:

Р (В1 • Б2 • В3 • В4) = Р (В1) х Р (В2) х П (В3) х П (В4)

А оскільки в урні 100 мармурів, а 30 з них сині, на кожному виборі ми маємо 30/100 (= .3) ймовірність вибору синього мармуру.

П (В1 • Б2 • В3 • В4) = 3,3 х 3,3 х 3,3 = 0,0081

(б) Якщо ми не замінимо кульки після їх малювання, то події не є незалежними: кожен успішний вибір синього мармуру впливає на наші шанси (негативно) намалювати інший синій мармур. Коли події не є незалежними, нам потрібно використовувати Загальне правило продукту:

Р (В1 • Б2 • В3 • В4) = Р (В1) х Р (В2 | В1) х Р (В3 | В1 • В2) х Р (В4 | В1 • В2 • В3)

На першому відборі у нас повна урна, тому P (B1) = 30/100. Але для другого члена в нашому творі ми маємо умовну ймовірність P (B2 | B1); ми хочемо знати шанси вибору другого синього мармуру з припущення, що перший вже обраний. У цій ситуації залишилося всього 99 мармуру, і 29 з них сині. Для третього члена в нашому творі ми маємо умовну ймовірність P (B3 | B1 • B2); ми хочемо знати шанси намалювати третій синій мармур з припущенням, що вибрано перший і другий. У цій ситуації залишилося лише 98 мармурів, а 28 з них сині. І для остаточного терміну - P (B4 | B1 • B2 • B3) - ми хочемо ймовірність четвертого синього мармуру, припускаючи, що три вже вибрані; з загальної кількості 97 залишилося 27.

Р (В1 • В2 • В3 • В4) = 30/100 х 29/99 х 28/98 х 27/97 = 0,007 (приблизно)

Диз'юнктивні випадки

Сполучники - це (приблизно) 'і'-речення. Розмежування - це (приблизно) «або» -речення. Таким чином, ми можемо думати про обчислення ймовірності диз'юнктивних явищ як обчислення ймовірності того, що конкретна диз'юнкція є істинною. Якщо, наприклад, ви кидаєте кубик, і ви хочете знати ймовірність того, що він прийде з непарним числом, показуючи, ви шукаєте ймовірність того, що ви будете кидати один або ви будете кидати три, або ви будете кидати п'ять.

Як і у випадку з кон'юнктивними входженнями, такі обчислення можуть бути простими або трохи складнішими. Те, що відрізняє два випадки, полягає в тому, чи є пов'язані події взаємовиключними. Події є взаємовиключними, коли може відбутися не більше однієї з них - коли виникнення одного виключає виникнення будь-якого з інших. Розглянемо згадану вище плашку. Ми розглянули три події: він з'являється, показуючи один, він з'являється, показуючи три, і він з'являється, показуючи п'ять. Ці події є взаємовиключними; максимум одна з них може відбутися. Якщо я прокату один, це означає, що я не можу котити три або п'ять; якщо я прокату три, це означає, що я не можу згорнути один або п'ять; і так далі. (Не більше одного з них може виникнути; зверніть увагу, можливо, жоден з них не відбувається.) З іншого боку, розглянемо приклад кістки з раніше: прокатка двох кубиків, з розглянутими подіями прокатки одного на die #1 і прокатки одного на die #2. Ці події не є взаємовиключними. Це не так, що принаймні один з них може статися; вони обидва могли статися - ми могли б закочувати зміїні очі.

Коли події взаємовиключні, все просто. Обчислено ймовірність їх диз'юнктивної появи шляхом додавання ймовірностей їх окремих явищ. Це просте правило додавання:

Р (а ∞ б ∨ с...) = Р (а) + Р (б) + П (с) +...

Це правило точно паралельно Simple Product Rule зверху. Ми замінюємо крапки цього правила клинами, щоб відобразити той факт, що ми обчислюємо ймовірність диз'юнктивних, а не кон'юнктивних явищ. І ми замінюємо знаки множення знаками додавання на правій стороні рівняння, щоб відобразити той факт, що в таких випадках ми додаємо, а не множимо окремі ймовірності.

Повертаємося до плашки вище. Ми згортаємо його, і хочемо дізнатися ймовірність отримання непарного числа. Є три взаємовиключні події - прокатка одного, прокатка трійки, і прокатка п'ятірки - і ми хочемо їх диз'юнктивної ймовірності; це P (один ⠀ три ⠀ п'ять). Кожна окрема подія має ймовірність 1/6, тому ми обчислюємо диз'юнктивне входження за допомогою правила простого додавання таким чином:

P (один ∨ три п'ять) = P (один) + P (три) + P (п'ять)
= 1/6 +1/6 +1/6 = 3/6 = 1/2

Це прекрасний результат, тому що це результат, який ми знали, що наближається. Подумайте про це: ми хотіли знати ймовірність прокатки непарного числа; половина чисел непарні, а половина - парні; тому відповідь краще 1/2. І це так.

Тепер, коли події не є взаємовиключними, правило простого додавання не може бути використано; його результати приводять нас в оману. Розглянемо дуже простий приклад: двічі переверніть монету; яка ймовірність того, що ви отримаєте голови хоча б один раз? Це диз'юнктивне явище: ми шукаємо ймовірність того, що ви отримаєте голови на першому киданні або голови на другому киданні. Але ці дві події - голови на киданні #1, голови на киданні #2 - не є взаємовиключними. Це не так, що в більшості випадків може статися; ви можете отримати голови на обох кидках. Таким чином, в цьому випадку правило простого додавання дасть нам хитрі результати. Імовірність закидання головок дорівнює 1/2, тому отримуємо ось що:

P (голови на #1 ∨ голів на #2) = P (голови на #1) + P (голови на #2) = 1/2 + 1/2 = 1 [НЕПРАВИЛЬНО!]

Якщо використовувати в цьому випадку правило простого додавання, то отримаємо результат, що ймовірність закидання голови хоча б один раз дорівнює 1; тобто це абсолютно точно відбудеться. Поговоріть про навороту! Ми не гарантовано отримаємо голови хоча б один раз; ми могли б кидати хвости двічі поспіль.

У таких випадках, коли ми хочемо обчислити ймовірність диз'юнктивного виникнення подій, які не є взаємовиключними, ми повинні робити це побічно, використовуючи наступну універсальну істину:

P (успіх) = 1 - P (невдача)

Ця формула підходить для будь-якої події або комбінації подій взагалі. У ньому йдеться про те, що ймовірність будь-якого виникнення (однини, кон'юнктивної, диз'юнктивної, що завгодно) дорівнює 1 мінус ймовірність того, що воно не відбувається. 'Успіш' = це відбувається; 'провал' = це не так. Ось як ми дійдемо до формули. Для будь-якого явища є дві можливості: або воно здійсниться, або не буде; успіх або невдача. Абсолютно впевнено, що принаймні один з цих двох станеться; тобто P (успіх ∨ невдача) = 1. Успіх і невдача - це (очевидно) взаємовиключні результати (вони обидва не можуть статися). Таким чином, ми можемо висловити P (успіх ∨ невдача), використовуючи правило простого додавання: P (успіх ∨ невдача) = P (успіх) + P (невдача). І як ми вже відзначали, P (успіх ∨ невдача) = 1, тому P (успіх) + P (невдача) = 1. Віднімання Р (відмова) з кожної сторони рівняння дає нам нашу універсальну формулу: P (успіх) = 1 - P (відмова).

Давайте подивимося, як ця формула працює на практиці. Ми повернемося до справи перевернути монету двічі. Яка ймовірність отримати хоча б одну голову? Ну а ймовірність домогтися успіху в отриманні хоча б однієї голови становить всього 1 мінус ймовірність невдачі. Як виглядає збій в цьому випадку? Без голів; два хвоста поспіль. Тобто хвости на першому підкинути і хвости на другому підкинути. Бачите, що «і» там? (Я виділила його курсивом.) Спочатку це був розрахунок диз'юнктивно-виникнення; тепер у нас є обчислення кон'юнктивної випадковості. Шукаємо ймовірність хвостів на першому кидку і хвостів на другому киданні:

P (хвости на кидок #1 • хвости на кидок #2) =?

Ми знаємо, як робити такі проблеми. Для кон'юнктивних явищ нам потрібно спочатку запитати, чи є події незалежними. В даному випадку вони явно є. Отримання хвостів на першому кидку не впливає на мої шанси отримати хвости на другий. Це означає, що ми можемо використовувати просте правило продукту:

P (хвости на кидок #1 • хвости на кидок #2) = P (хвости на кидок #1) х Р (хвости на кидку #2)
= 1/2x1/2 = 1/4

Повернемося до нашої універсально вірної формули: P (успіх) = 1 — P (невдача). Імовірність невдачі кинути хоча б одну голову становить 1/4. Імовірність вдасться кинути хоча б одну голову, значить, становить всього 1 — 1/4 = 3/4. (Це має хороший сенс. Якщо ви кидаєте монету двічі, є чотири різні способи: (1) ви кидаєте голови двічі; (2) ви кидаєте голови в перший раз, хвости другий; (3) ви кидаєте хвости в перший раз, голови другий; (4) ви кидаєте хвости двічі. У трьох з цих чотирьох сценаріїв (усі, крім останнього), ви кинули хоча б одну голову.)

Отже, загалом кажучи, коли ми обчислюємо ймовірність диз'юнктивних явищ, і події не є взаємовиключними, нам потрібно зробити це побічно, обчислюючи ймовірність невдачі будь-якого з диз'юнктивних явищ, які прийдуть, і віднімаючи це з 1. Це призводить до перетворення розрахунку диз'юнктивного виникнення в розрахунок кон'юнктивного виникнення: невдача диз'юнкції - це сукупність невдач. Це знайомий момент з нашого дослідження SL в розділі 4. Відмова диз'юнкції - це заперечена диз'юнкція; заперечені диз'юнкції еквівалентні сполучникам заперечень. Це один із законів ДеМорган:

~ (р ∨ q) ≡ ~ р • ~ q

Давайте посилимо наше розуміння того, як обчислити ймовірності з іншою проблемою зразка. Ця проблема буде включати як кон'юнктивні, так і диз'юнктивні явища.

Є урна, наповнена мармуром різних кольорів. Зокрема, він містить 20 червоних кульок, 30 синіх мармурів та 50 білих мармурів. Якщо ми виберемо 4 кульки з урни випадковим чином, яка ймовірність того, що всі чотири будуть одного кольору, (а) якщо ми замінимо кожен мармур після його малювання, і (б) якщо ми збережемо кожен мармур після його малювання? Крім того, яка ймовірність того, що принаймні один з наших чотирьох варіантів буде червоним, (c) якщо ми замінимо кожен мармур після його нанесення, і (d) якщо ми збережемо кожен мармур після його малювання?

Ця проблема розділяється на дві частини: з одного боку, в (a) і (b), ми шукаємо ймовірність малювання чотирьох кульок одного кольору; з іншого боку, в (c) і (d), ми хочемо ймовірність того, що принаймні один з чотирьох буде червоним. Ми візьмемо ці два питання по черзі.

По-перше, ймовірність того, що всі чотири будуть одного кольору. Ми мали справу з більш вузькою версією цього питання раніше, коли ми обчислювали ймовірність того, що всі чотири виділення будуть синіми. Але справжнє питання ширше: ми хочемо знати ймовірність того, що всі вони будуть одного кольору, а не лише одного кольору (наприклад, синього) зокрема, але будь-якої з трьох можливостей - червоного, білого або синього. Є три способи, якими ми могли б досягти успіху у виборі чотирьох кульок одного кольору: всі чотири червоні, всі чотири білі або всі чотири сині. Ми хочемо, щоб ймовірність того, що одне з них станеться, і це диз'юнктивне явище:

P (всі 4 червоні, всі 4 білі, всі 4 сині) =?

Коли ми обчислюємо ймовірність диз'юнктивних явищ, наш перший крок полягає в тому, щоб запитати, чи є пов'язані події взаємовиключними. В даному випадку вони явно є. Найбільше, одна з трьох подій - всі чотири червоні, всі чотири білі, всі чотири сині - відбудеться (і, ймовірно, жодна з них не буде); ми не можемо намалювати чотири кульки, і всі вони будуть червоними і всі будуть білими, наприклад. Оскільки події є взаємовиключними, ми можемо використовувати Правило простого додавання для обчислення ймовірності їх диз'юнктивної появи:

P (всі 4 червоні, всі 4 білі, всі 4 сині) = P (всі 4 червоні) + P (всі 4 білі) + P (всі 4 сині)

Тому нам потрібно обчислити ймовірності для кожного окремого кольору - що всі будуть червоними, білими і всіма синіми - і додати їх разом. Знову ж таки, це такий розрахунок, який ми зробили раніше, в нашій першій практиці завдання, коли ми розрахували ймовірність того, що всі чотири кульки будуть синіми. Нам просто потрібно зробити те ж саме для червоного і білого. Це обчислення ймовірностей кон'юнктивних явищ:

Р (Р1 • Р2 • Р3 • Р4) =? Р (W1 • W2 • W3 • W4) =?

(a) Якщо ми замінимо кульки після їх малювання, події є незалежними, і тому ми можемо використовувати Просте правило продукту для виконання наших розрахунків:

П (Р1 • Р2 • Р3 • Р4) = П (Р1) х П (Р2) х П (Р3) х П (Р4) П (Ш1 • Ш2 • Ш3 • Ш4) = Р (Ш1) х П (Ш2) х П (Ш3) х П (Ш4)

Оскільки 20 з 100 мармуру є червоними, ймовірність кожного з окремих червоних виділень становить .2; оскільки 50 мармуру білі, ймовірність для кожного білого виділення становить .5.

П (Р1 • Р2 • Р3 • Р4) = 2,2 х 2,2 х 2,2 = 0,0016 П (Ш1 • Ш2 • Ш3 • Ш4) = 0,5 х 2,5 х 0,5 = 0,625

У нашій попередній задачі вибірки ми розрахували ймовірність вибору чотирьох синіх кульок: .0081. Зібравши їх разом, ймовірність вибору чотирьох кульок одного кольору:

P (всі 4 червоні, всі 4 білі, всі 4 сині) = P (всі 4 червоні) + P (всі 4 білі) + P (всі 4 сині) = 0,0016 + .0625 + 0,0081 = .0722

(b) Якщо ми не замінюємо кульки після кожного вибору, події не є незалежними, і тому ми повинні використовувати Загальне правило продукту для виконання наших розрахунків. Імовірність вибору чотирьох червоних кульок така:

Р (Р1 • Р2 • Р3 • Р4) = П (Р1) х Р (Р2 | Р1) х Р (Р3 | Р1 • Р2) х Р (Р4 | Р1 • Р2 • Р3)

Починаємо з 20 з 100 червоних кульок, тому P (R1) = 20/100. На другому виборі ми припускаємо, що перший червоний мармур вже намальований, тому залишилося лише 19 червоних мармурів із загальної кількості 99; P (R2 | R1) = 19/99. Для третього вибору, припускаючи, що два червоні кульки були намальовані, ми маємо P (R3 | R1 • R2) = 18/98. А на четвертому відборі маємо Р (R4 | R1 • R2 • R3) = 17/97.

Р (Р1 • Р2 • Р3 • Р4) = 20/100 х 19/99 х 18/98 х 17/97 = 0,0012 (приблизно)

Ті самі міркування стосуються нашого розрахунку малювання чотирьох білих кульок, за винятком того, що ми починаємо з 50 з тих, що на першому розіграші:

П (Ш1 • Ш2 • Ш3 • Ш4) = 50/100 х 49/99 х 48/98 х 47/97 = 0,0587 (приблизно)

У нашій попередній задачі вибірки ми розрахували ймовірність вибору чотирьох синіх кульок як 0,007. Зібравши їх разом, ймовірність вибору чотирьох кульок одного кольору:

P (всі 4 червоні, всі 4 білі, всі 4 сині) = P (всі 4 червоні) + P (всі 4 білі) + P (всі 4 сині) = 0,0012 + .0587 + 0,007 = .0669 (приблизно)

Як і слід було очікувати, існує трохи нижча ймовірність вибору чотирьох кульок одного кольору, коли ми не замінюємо їх після кожного вибору.

Переходимо тепер до другої половини завдання, в якій нас просять обчислити ймовірність того, що хоча б один з чотирьох обраних кульок буде червоним. Фраза «принаймні один» є підказкою: це проблема диз'юнктивної виникнення. Ми хочемо знати ймовірність того, що перший мармур буде червоним або другий буде червоним або третім або четвертим:

Р (R1 ∨ R2 ∨ R3 ∨ Р4) =?

Коли наше завдання полягає в тому, щоб обчислити ймовірність диз'юнктивних явищ, першим кроком є питання, чи є події взаємовиключними. В даному випадку їх немає. Це не так, що щонайбільше один з наших виборів буде червоним мармуром; ми могли б вибрати два-три або навіть чотири (ми розрахували ймовірність вибору чотирьох всього хвилину тому). Це означає, що ми не можемо використовувати Просте правило додавання, щоб зробити цей розрахунок. Замість цього треба обчислити ймовірність побічно, спираючись на те, що P (успіх) = 1 - P (невдача). Ми повинні відняти ймовірність того, що ми не вибираємо жодного червоного мармуру з 1:

P (R1 ∨ R2 ∨ R3 ∨ R4) = 1 - P (без червоних мармурів)

Як завжди буває, невдача диз'юнктивного явища - це всього лише сукупність окремих невдач. Не отримати жодного червоного мармуру не вдається отримати червоний мармур на першому розіграші, а не отримати його на другому розіграші та невдачі на третьому та четвертому:

Р (Р1 ∨ Р2 ∨ Р3 ∨ Р4) = 1 - Р (~ Р1 • ~ Р2 • ~ Р3 • ~ Р4)

У цій формулюванні '~ R1' означає випадковість не малювання червоного мармуру на першому виборі, а інші терміни для не отримання червоного кольору при наступних виділеннях. Знову ж таки, ми просто запозичення символів з SL.

Тепер у нас є проблема кон'юнктивної виникнення, щоб вирішити, і тому питання, щоб запитати, чи події ~ R1, ~ R2, і так далі є незалежними чи ні. І відповідь полягає в тому, що це залежить від того, замінюємо ми кульки після їх малювання чи ні.

(c) Якщо ми замінюємо кульки після кожного вибору, то неможливість вибрати червоний на одному виборі не впливає на ймовірність того, що згодом не вдасться вибрати червоний. Це той самий urn— з 20 червоними мармурами з 100 - для кожного вибору. У цьому випадку ми можемо використовувати Просте правило продукту для нашого розрахунку:

П (Р1 ∨ Р2 ∨ Р3 ∨ Р4) = 1 - [П (~ Р1) х П (~ Р2) х П (~ Р3) х П (~ Р4)]

Оскільки є 20 червоних мармурів, є 80 не червоних мармурів, тому ймовірність вибору кольору, відмінного від червоного, на будь-якому заданому виборі становить .8.

Р (Р1 ∨ Р2 ∨ Р3 ∨ Р4) = 1 - (0,8 х 8,8 х 1,8 х 1,8) = 1 - 0,4096 = 0,5904

(d) Якщо ми не замінюємо кульки після кожного вибору, то події не є незалежними, і ми повинні використовувати Загальне правило продукту для нашого розрахунку. Кількість, яку ми віднімаємо з 1, буде такою:

П (~ Р1) х П (~ Р2 | ~ Р1) х Р (~ Р3 | ~ Р1 • ~ Р2) х П (~ Р4 | ~ Р1 • ~ Р2 • ~ Р3) =?

На першому відборі наші шанси вибрати не червоний мармур становлять 80/100. На другому відборі, припускаючи, що ми вперше обрали не червоний мармур, наші шанси 79/99. А на третьому і четвертому відборі ймовірності 78/98 і 77/97 відповідно. Помноживши всі ці разом, отримаємо .4033 (приблизно), і тому наш розрахунок ймовірності отримання хоча б одного червоного мармуру виглядає так:

Р (Р1 ∨ R2 ∨ R3 ∨ R4) = 1 - .4033 = 0,5967 (приблизно)

У нас є трохи більше шансів отримати червоний мармур, якщо ми не замінимо їх, оскільки кожен вибір нечервоного мармуру робить композицію урни трохи більш червоно-важкою.

вправи

1. Переверніть монету 6 разів; яка ймовірність кожного разу отримувати голови?

2. Зайдіть в майданчик для ракетболу і за допомогою клейкої стрічки розділіть підлогу на чотири квадранта рівної площі. Киньте три супер-кулі у випадкових напрямках проти стін так важко, як ви можете. Яка ймовірність того, що всі три кулі приходять відпочивати в одному квадранті?

3. Ви перебуваєте в будинку вашої бабусі на Різдво, і є миска святкових тематичних M & Ms— червоних і зелених тільки. У чаші 500 цукерок, з рівною кількістю кожного кольору. Виберіть один, зверніть увагу на його колір, потім з'їжте його. Виберіть інший, зверніть увагу на його колір і з'їжте його. Виберіть третину, зверніть увагу на його колір і з'їжте. Яка ймовірність того, що ви з'їли три прямі червоні M & Ms?

4. Ви і двоє ваших друзів вступаєте в розіграш. Приз один: повний набір карт Ultra Secret Rare Pokémon. Всього продано 1000 квитків; тільки один є переможцем. Ви купуєте 20, а ваші друзі кожен купують по 10. Яка ймовірність того, що хтось із вас виграє ці карти покемонів?

5. Ти 75% шутер зі штрафного кидка. Ви отримуєте забруднені спроби 3-очкового пострілу, що означає, що ви отримуєте 3 спроби вільного кидка. Яка ймовірність того, що ви зробите хоча б одну з них?

6. Киньте дві кістки; яка ймовірність прокатки сімки? Як щодо вісімки?

7. У моєму окрузі 70% людей проголосували за Дональда Трампа. Виберіть трьох людей навмання. Яка ймовірність того, що хоча б один з них є виборцем Трампа?

8. Ви бачите ці дві коробки тут на столі? Кожен з них має драже всередині. Ми зіграємо в маленьку гру, в кінці якої вам належить вибрати випадкову квасолю і з'їсти його. Ось справа з драже. Можливо, ви не знаєте про це, але вчені з харчової промисловості здатні створити драже майже з будь-яким смаком, який ви хочете, - і багато хто ви не хочете. Існує, власне, таке поняття, як драже зі смаком блювоти. (Дійсно: http://mentalfloss.com/article/62593... -дивні смаки) У всякому разі, в одній з моїх двох коробок є 100 загальних драже, 8 з яких ароматизовані блювотою (решта - нормальні фруктові аромати). В іншій коробці у мене 50 драже, 7 з яких ароматизовані блювотою. Пам'ятайте, це все закінчується тим, що ви вибираєте випадкову квасолю і їсте її. Але у вас є вибір між двома методами визначення того, як він буде йти вниз: (а) Ви перевертаєте монету, і результат фліп визначає, який з двох коробок ви вибираєте желе боби з; (б) Я скидаю всі драже боби в ту ж коробку, і ви вибираєте з цього. Який варіант ви вибираєте? Який з них мінімізує ймовірність того, що ви будете в кінцевому підсумку їдять блювоту ароматизовані желе боби? Або це не має ніякої різниці?

9. Для чоловіків, які вступають до коледжу, ймовірність того, що вони закінчать ступінь протягом чотирьох років, становить .329; для жінок це .438. Розглянемо двох першокурсників - Альберта і Бетті. Яка ймовірність того, що принаймні один з них не зможе закінчити коледж принаймні за чотири роки? Яка ймовірність того, що саме одному з них вдасться це зробити?

10. Я люблю Chex Mix. Мої улюблені речі в суміші - це ті маленькі чіпси з помпернікелю. Але вони відносно рідкісні порівняно з іншими інгредієнтами. Це нормально, хоча, оскільки мій другий улюблений - це самі шматки Chex, і вони досить багаті. Я не знаю, які точні співвідношення, але давайте припустимо, що це 50% Chex крупи, 30% кренделі, 10% хрусткі хлібні палички та 10% мої улюблені чіпси pumpernickel. Припустимо, у мене є велика миска Chex Mix: 1000 всього шматочків їжі. Якщо я з'їду три штуки з миски, (а) яка ймовірність того, що хоча б один з них буде чіпом pumpernickel? І (б) яка ймовірність того, що або всі три будуть чіпами pumpernickel, або всі три будуть моїм другим улюбленим - шматки Chex?

11. Ви граєте в покер. Ось як працює гра: покерна рука - це комбінація з п'яти карт; деякі комбінації краще, ніж інші; в розіграші покеру ви роздаєте початкову руку, а потім, після раунду відіграшу, вам надається шанс скинути деякі з ваших карт (до трьох) і залучити нові, сподіваючись поліпшити свою руку; після чергового раунду ставок, ви бачите, хто виграє. У цій конкретній руці ви спочатку роздали 7 сердець і 4, 5, 6 і король пік. Ця рука сама по собі досить слабка, але вона дуже близька до того, щоб бути досить сильною, двома способами: вона близька до того, щоб бути «флеш», який є п'ятьма картами однієї масті (у вас є чотири піки); це також близько до того, щоб бути «прямим», тобто п'ять карт послідовного рангу (у вас є чотири поспіль у 4, 5, 6 та 7). Флеш б'є прямо, але в цій ситуації, що doesn 't має значення; на основі того, як інші гравці діяли під час першого раунду ставок, Ви' re переконані, що або прямо або флеш виграє гроші в кінці. Питання в тому, на який з них слід піти? Якщо ви відкинути короля, сподіваючись намалювати 3 або 8, щоб завершити свій прямий? Або ви повинні відкинути 7 сердець, сподіваючись намалювати лопату, щоб завершити свій флеш? Яка ймовірність для кожного? Ви повинні вибрати той, який з них вище. (Натхненний вправою від Копі та Коена, стор. 596 - 597)