Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.7: Резюме

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52676

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Набори пропозицій у певному сенсі описують структури, в яких вони спільно істинні; ці структури є їх моделями. І навпаки, якщо ми почнемо зі структури або набору структур, ми можемо бути зацікавлені в сукупності пропозицій, які вони є моделями, це теорія структури або набір структур. Будь-яка така сукупність пропозицій має властивість, що кожне речення, пов'язане з ними, вже є в множині; вони закриті. Більш загально, ми називаємо\(\Gamma\) набір теорією, якщо вона закрита під тягненням, і скажімо\(\Gamma\), аксіоматизується\(\Delta\) якщо\(\Gamma\) складається з усіх речень, що спричинені\(\Delta\).

    Математика дає багато прикладів теорій, наприклад, теорії лінійних порядків, груп або теорій арифметики, наприклад, теорія аксіоматизована аксіомами Пеано. Але є багато прикладів важливих теорій і в інших дисциплін, наприклад, реляційні бази даних можуть розглядатися як теорії, а метафізика стосується теорій батьківства, які можуть бути аксіоматизовані.

    Одне важливе питання при налаштуванні теорії для вивчення полягає в тому, чи достатньо її мова виразна, щоб дозволити нам сформулювати все, про що ми хочемо, щоб теорія говорила, а інше - чи достатньо вона сильна, щоб довести те, що ми хочемо, щоб вона довела. Для вираження відношення нам потрібна формула з необхідною кількістю вільних змінних. У теорії множин ми маємо лише\(\in\) як символ відношення, але це дозволяє нам висловити\(x \subseteq y\) використання\(\lforall{u}{(u \in x \lif u \in y)}\). Теорія множин Цермело-Френкеля\(\Log{ZFC}\), насправді, досить сильна, щоб як висловити (майже) кожну математичну претензію, так і (майже) довести кожну математичну теорему, використовуючи кілька аксіом і ланцюжок все більш складних визначень, таких як\(\subseteq\).