Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Вираження властивостей структур

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52678

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Часто корисно і важливо висловити умови щодо функцій і відносин, або в цілому, щоб функції та відносини в структурі задовольняли цим умовам. Наприклад, ми хотіли б мати способи відрізнити ті структури для мови, які «захоплюють» те, що ми хочемо, щоб символи присудок «означали» від тих, які цього не роблять. Звичайно, ми абсолютно вільні вказувати, які структури ми «маємо намір», наприклад, ми можемо вказати, що інтерпретація символу присудка\(\le\) повинна бути порядком, або що нас цікавлять лише інтерпретації,\(\Lang L\) в яких домен складається з множин і \(\Obj \in\)інтерпретується «є елементом» відношення. Але чи можемо ми це зробити з реченнями мови? Іншими словами, які умови щодо структури ми\(\Struct M\) можемо висловити реченням (або, можливо, сукупністю речень) мовою\(\Struct M\)? Є деякі умови, які ми не зможемо висловити. Наприклад, немає речення,\(\Lang L_A\) яке є істинним лише у структурі\(\Struct M\) if\(\Domain M = \Nat\). Ми не можемо висловити «домен містить лише натуральні числа». Але є «структурні властивості» структур, які ми, мабуть, можемо висловити. Які властивості конструкцій ми можемо висловити пропозиціями? Або, інакше кажучи, які колекції структур ми можемо описати як ті, що роблять речення (або набір речень) правдивим?

    Визначення\(\PageIndex{1}\): Model of a set

    \(\Gamma\)Дозволяти бути сукупністю речень мовою\(\Lang L\). Ми говоримо, що структура\(\Struct M\) - це модель\(\Gamma\) якщо\(\Sat{M}{A}\) для всіх\(A \in \Gamma\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Речення\(\lforall{x}{x \le x}\) істинно в\(\Struct M\) iff\(\Assign{\le}{M}\) є рефлексивним відношенням. Речення\(\lforall{x}{\lforall{y}{((x \le y \land y \le x) \lif x = y)}}\) є істинним,\(\Struct M\) якщо\(\Assign{\le}{M}\) є антисиметричним. Речення\(\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x \le y \land y \le z) \lif x \le z)}}}\) істинне в\(\Struct M\) iff\(\Assign{\le}{M}\) є перехідним. Таким чином, моделі\[\begin{aligned} \{\quad &\lforall{x}{x \le x}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{((x \le y \land y \le x) \lif x = y)}}, \\ &\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x \le y \land y \le z) \lif x \le z)}}} \quad \}\end{aligned}\] є саме тими структурами, в яких\(\Assign{\le}{M}\) є рефлексивний, антисиметричний і перехідний, тобто частковий порядок. Отже, ми можемо сприймати їх як аксіоми для теорії часткових порядків першого порядку.