6.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52689

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Розвиток аксіоматичного методу є значним досягненням в історії науки, і має особливе значення в історії математики. Аксіоматична розробка поля передбачає з'ясування багатьох питань: про що це поле? Які найфундаментальніші поняття? Як вони пов'язані? Чи можна визначити всі поняття галузі з точки зору цих фундаментальних понять? Яким законам і повинні підкорятися ці поняття?

Аксіоматичний метод і логіка були зроблені один для одного. Формальна логіка надає інструменти для формулювання аксіоматичних теорій, для доведення теорем з аксіом теорії точно заданим способом, для систематичного вивчення властивостей всіх систем, що задовольняють аксіоми.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Набір речень\(\Gamma\) закривається, якщо, коли\(\Gamma \Entails A\) тоді\(A \in \Gamma\). Закриття набору пропозицій\(\Gamma\) є\(\Setabs{A}{\Gamma \Entails A}\).

Ми говоримо,\(\Gamma\) що аксіоматизується набором пропозицій,\(\Delta\) якщо\(\Gamma\) це закриття\(\Delta\).

Ми можемо думати про аксіоматичну теорію як сукупність речень, яка аксіоматизується її набором аксіом\(\Delta\). Іншими словами, коли у нас є мова першого порядку, яка містить нелогічні символи для примітивів аксіоматично розвиненої науки, яку ми хочемо вивчити, разом із набором речень, які виражають фундаментальні закони науки, ми можемо думати про теорію як представлена усіма реченнями в ця мова, які тягнуть за собою аксіоми. Це варіюється від простих прикладів з лише однією примітивною та простими аксіомами, такими як теорія часткових порядків, до складних теорій, таких як ньютонівська механіка.

Важливими логічними фактами, які роблять цей формальний підхід до аксіоматичного методу настільки важливим, є наступні. Припустимо,\(\Gamma\) це система аксіоми для теорії, тобто сукупності пропозицій.

Ми можемо точно констатувати, коли система аксіом захоплює передбачуваний клас структур. Тобто, якщо нас цікавить певний клас структур, ми успішно захопимо цей клас системою\(\Gamma\) аксіом, якщо структури саме\(\Struct M\) такі, що\(\Sat{M}{\Gamma}\).
Ми можемо зазнати невдачі в цьому відношенні, тому що є\(\Struct M\) такі\(\Sat{M}{\Gamma}\), але не\(\Struct M\) є однією з структур, які ми маємо намір. Це може призвести до додавання аксіом, які не відповідають дійсності\(\Struct M\).
Якщо ми досягаємо успіху хоча б у тому відношенні, що\(\Gamma\) є істинним у всіх намічених структурах, то речення\(A\) вірно у всіх намічених структурах, коли завгодно\(\Gamma \Entails A\). Таким чином, ми можемо використовувати логічні інструменти (такі як методи доказів), щоб показати, що речення є істинними у всіх намічених структурах, просто показуючи, що вони спричинені аксіомами.
Іноді ми не маємо намічених структур на увазі, а натомість починаємо з самих аксіом: ми починаємо з деяких примітивів, які ми хочемо задовольнити певні закони, які ми кодифікуємо в системі аксіом. Одне, що ми хотіли б перевірити відразу, це те, що аксіоми не суперечать один одному: якщо вони це роблять, не може бути понять, які підкоряються цим законам, і ми спробували створити незв'язну теорію. Ми можемо переконатися, що цього не відбувається, знайшовши модель\(\Gamma\). І якщо є моделі нашої теорії, ми можемо використовувати логічні методи для їх дослідження, а також використовувати логічні методи для побудови моделей.
Незалежність аксіом також є важливим питанням. Може трапитися так, що одна з аксіом насправді є наслідком інших, і так надмірна. Ми можемо довести, що аксіома\(A\) в\(\Gamma\) надлишкова шляхом доведення\(\Gamma \setminus \{A\} \Entails A\). Ми також можемо довести, що аксіома не є зайвою, показуючи, що\((\Gamma \setminus \{A\}) \cup \{\lnot A\}\) задовольняється. Наприклад, так було показано, що паралельний постулат не залежить від інших аксіом геометрії.
Ще одне важливе питання полягає в визначеності понять в теорії: Вибір мови визначає, з чого складаються моделі теорії. Але не кожен аспект теорії повинен бути представлений окремо в її моделями. Наприклад, кожне замовлення\(\le\) визначає відповідне суворе замовлення\(<\) —враховуючи одне, ми можемо визначити інше. Тож необов'язково, щоб модель теорії, що передбачає такий порядок, також повинна містити відповідне суворе впорядкування. Коли взагалі трапляється, що одне відношення можна визначити з точки зору інших? Коли неможливо визначити відношення з точки зору іншого (а значить, потрібно додати його до примітивів мови)?