3.7: Часткові функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53073

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Іноді корисно послабити визначення функції, щоб не вимагалося, щоб вивід функції був визначений для всіх можливих входів. Такі відображення називаються частковими функціями.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Часткова функція\(f \colon A \pto B\) - це відображення, яке присвоює кожному елементу\(A\) не більше одного елемента\(B\). Якщо\(f\) присвоює елемент\(B\) до\(x \in A\), ми говоримо,\(f(x)\) що визначено, а в іншому випадку невизначено. Якщо\(f(x)\) визначено, пишемо\(f(x) \fdefined\), інакше\(f(x) \fundefined\). Домен часткової функції\(f\) - це підмножина того,\(A\) де вона визначена, тобто\(\dom{f} = \Setabs{x \in A}{f(x) \fdefined}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Кожна функція також\(f\colon A \to B\) є частковою функцією. Часткові функції, які визначаються скрізь на\(A\) —тобто те, що ми досі просто називали функцією - також називаються тотальні функції.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Часткова функція,\(f \colon \Real \pto \Real\) задана,\(f(x) = 1/x\) є undefined\(x = 0\) for і визначена скрізь.

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Дано\(f\colon A \pto B\), визначити часткову функцію\(g\colon B \pto A\) шляхом: для\(y \in B\) any, якщо є унікальна\(x \in A\) така що\(f(x) = y\), то\(g(y) = x\); інакше\(g(y) \fundefined\). Покажіть,\(f\) що якщо ін'єкційний, то\(g(f(x)) = x\) для всіх\(x \in \dom{f}\), і\(f(g(y)) = y\) для всіх\(y \in \ran{f}\).

Визначення\(\PageIndex{2}\): Graph of a partial function

\(f\colon A \pto B\)Дозволяти часткова функція. Графік\(f\) - це відношення,\(R_f \subseteq A \times B\) яке визначається\[R_f = \Setabs{\tuple{x,y}}{f(x) = y}.\nonumber\]

Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

Припустимо,\(R \subseteq A \times B\) має властивість, що коли\(Rxy\) і\(Rxy'\) тоді\(y = y'\). Потім\(R\) йде графік часткової функції,\(f\colon X \pto Y\) визначеної: якщо є\(y\) така що\(Rxy\), то\(f(x) = y\), інакше\(f(x) \fundefined\). Якщо\(R\) теж серійний, тобто для кожного\(x \in X\) є\(y \in Y\) таке\(Rxy\), що, то\(f\) є тотальним.

Доказ. Припустимо, є\(y\) таке, що\(Rxy\). Якби було інше\(y' \neq y\) таке\(Rxy'\), що, умова на\(R\) було б порушено. Значить, якщо є\(y\) таке\(Rxy\), що,\(y\) тобто унікальне, і так\(f\) чітко визначено. Очевидно,\(R_f = R\) і\(f\) є загальним, якщо\(R\) є серійним. ◻