3.6: Ізоморфізм

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53086

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Ізоморфізм - це біекція, яка зберігає структуру множин, до яких він відноситься, де структура - це питання відносин, які отримують між елементом s множин. Розглянемо наступні два\(X=\{1,2,3\}\) набори і\(Y=\{4,5,6\}\). Ці набори обидва структуровані спадкоємцем відносин, менше, і більше ніж. Ізоморфізм між двома множинами - це біекція, яка зберігає ці структури. Таким чином, двооб'єктивна функція\(f \colon X \to Y\) є ізоморфізм, якщо\(f(i)<f(j)\),\(i<j\)\(i>j\) IFF\(f(i)>f(j)\), IFF, і\(j\) є наступником\(i\) iff\(f(j)\) є спадкоємець\(f(i)\).

Визначення\(\PageIndex{1}\): Isomorphism

\(U\)Дозволяти бути парою\(\langle X, R\rangle\) і\(V\) бути парою\(\langle Y, S\rangle\) такою, що\(X\) і\(Y\) є набори\(R\) і і\(S\) є відносини на\(X\) і \(Y\)відповідно. Біекція\(f\) від\(X\) до\(Y\) - це ізоморфізм від\(U\) до\(V\), якщо він зберігає реляційну структуру, тобто для будь-якого\(x_{1}\) і \(x_{2}\)в\(X\),\(\tuple{x_1,x_2} \in R\) іф\(\tuple{f(x_1),f(x_2)} \in S\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо наступні два\(X=\{1,2,3\}\)\(Y=\{4,5,6\}\) множини і, і відносини менше і більше ніж. \(f(x) = 7-x\)Функція\(f\colon X \to Y\) де - ізоморфізм між\(\tuple{X,<}\) і\(\tuple{Y,>}\).