3.5: Склад функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53099

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Ми побачили в розділі 3.4, що\(f^{-1}\) зворотна біекція сама по собі\(f\) є функцією. Іншою операцією над функціями є композиція: ми можемо визначити нову функцію, склавши дві функції,\(f\) і\(g\), тобто, спочатку застосувавши,\(f\) а потім\(g\). Звичайно, це можливо лише в тому випадку, якщо діапазони та домени збігаються, тобто діапазон\(f\) повинен бути підмножиною домену\(g\). Ця операція на функціях є аналогом операції відносного добутку на відносини з розділу 2.7.

Діаграма може допомогти пояснити ідею композиції. На малюнку\(\PageIndex{1}\) ми зображуємо дві функції\(f \colon A \to B\) і\(g \colon B \to C\) і їх склад\((\comp{f}{g})\). Функція\((\comp{f}{g}) \colon A \to C\) сполучає кожен елемент\(A\) з елементом\(C\). Вказуємо, з яким\(C\) елементом елемента\(A\) є парний наступним чином: задано вхід\(x \in A\), спочатку застосуємо функцію\(f\) до\(x\), яка виведе деяку\(f(x) = y \in B\), потім застосуємо функція\(g\) to\(y\), яка виведе деякі\(g(f(x)) = g(y) = z \in C\).

**Малюнок\(\PageIndex{1}\):** Склад\(g \circ f\) двох функцій\(f\) і\(g\).

Визначення\(\PageIndex{1}\): Composition

\(g\colon B \to C\)Дозволяти\(f\colon A \to B\) і бути функціями. Склад\(f\) з\(g\) є\(\comp{f}{g} \colon A \to C\), де\((\comp{f}{g})(x) = g(f(x))\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо функції\(f(x) = x + 1\), і\(g(x) = 2x\). Так як\((\comp{f}{g})(x) = g(f(x))\), для кожного входу\(x\) потрібно спочатку взяти його наступника, потім помножити результат на два. Так їх склад дається\((\comp{f}{g})(x) = 2(x+1)\).

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Покажіть, що якщо\(f \colon A \to B\) і\(g \colon B \to C\) обидва ін'єкційні, то\(\comp{f}{g}\colon A \to C\) є ін'єкційним.

Проблема\(\PageIndex{2}\)

Показати, що якщо\(f \colon A \to B\) і\(g \colon B \to C\) обидва суб'єктивні, то\(\comp{f}{g}\colon A \to C\) є суб'єктивним.

Проблема\(\PageIndex{3}\)

Припустимо\(f \colon A \to B\), і\(g \colon B \to C\). Покажіть, що графік\(\comp{f}{g}\) є\(R_f \mid R_g\).