3.4: Інверси функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53084

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Template:MathJaxZach

Ми думаємо про функції як карти. Очевидне питання, яке слід запитати про функції, полягає в тому, чи можна відображення «скасувати». Наприклад, функція наступника$f(x) = x + 1$ може бути скасована в тому сенсі, що функція$g(y) = y - 1$ «скасовує» те, що$f$ робить.

Але ми повинні бути обережними. Хоча визначення визначення функції$\Int \to \Int$, воно не$g$ визначає функцію$\Nat \to \Nat$, оскільки$g(0) \notin \Nat$. Тож навіть у простих випадках не зовсім очевидно, чи можна змінити функцію; це може залежати від домену та кодомену.

Це робиться більш точним завдяки поняттю зворотної функції.

Визначення$\PageIndex{1}$

Функція$g \colon B \to A$ є оберненою функцією$f \colon A \to B$ if$f(g(y)) = y$ і$g(f(x)) = x$ for all$x \in A$ і$y \in B$.

Якщо$f$ має зворотне$g$, ми часто пишемо$f^{-1}$ замість$g$.

Тепер визначимо, коли функції мають зворотні. Хороший кандидат для зворотного$g\colon B \to A$ «$f\colon A \to B$визначається»\[g(y) = \text{“the” $x$ such that $f(x) = y$.}\nonumber\] Але лякають цитати навколо «визначено» (і «на») припускають, що це не визначення. По крайней мере, не завжди вийде, з повною загальністю. Для того, щоб це визначення вказувало функцію, має бути одна і тільки одна$x$ така, що$f(x) = y$ —висновок$g$ має бути однозначно вказаний. Більш того, він повинен бути вказаний для кожного$y \in B$. Якщо є$x_1$ і$x_2 \in A$ з$x_1 \neq x_2$ але$f(x_1) = f(x_2)$, то не$g(y)$ буде однозначно вказано для$y = f(x_1) = f(x_2)$. А якщо немає$x$ зовсім такого$f(x) = y$, то і$g(y)$ зовсім не вказано. Іншими словами, для$g$ того, щоб бути визначено,$f$ повинні бути як ін'єкційними, так і суб'єктивними.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Кожна біекція має унікальний зворотний.

Доказ. Вправа. ◻

Проблема$\PageIndex{1}$

Доведіть пропозицію$\PageIndex{1}$. Тобто показати, що якщо$f\colon A \to B$ є двооб'єктивним, то$g$ обернене$f$ існує. Ви повинні визначити таке$g$, показати, що це функція, і показати, що вона обернена$f$, тобто,$f(g(y)) = y$ і$g(f(x)) = x$ для всіх$x \in A$ і$y \in B$.

Однак є трохи більш загальний спосіб видобутку інверсів. Ми бачили в розділі 3.2, що кожна функція$f$ викликає surjection$f' \colon A \to \ran{f}$, дозволяючи$f'(x) = f(x)$ для всіх$x \in A$. Зрозуміло, що якщо$f$$f'$ це ін'єкція, то це біекція, так що вона має унікальну зворотну пропозицію$\PageIndex{1}$. Дуже незначним зловживанням позначеннями ми іноді називаємо зворотне$f'$ просто «зворотним»$f$.

Проблема$\PageIndex{2}$

Показати, що якщо$f\colon A \to B$ має зворотне$g$, то$f$ є двооб'єктивним.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Кожна функція$f$ має не більше одного зворотного.

Доказ. Вправа. ◻

Проблема$\PageIndex{3}$

Доведіть пропозицію$\PageIndex{2}$. Тобто показати, що якщо$g\colon B \to A$ і$g'\colon B \to A$ є оберненнями$f\colon A \to B$, то$g = g'$, тобто для всіх$y \in B$,$g(y) = g'(y)$.