3.3: Функції як відносини

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53060

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Функція, яка відображає елемент s of\(A\) до елемента s of\(B\) очевидно визначає відношення між\(A\) і\(B\), а саме відношення, яке утримується між\(x\) і\(y\) іфф\(f(x) = y\). Насправді, ми могли б навіть - якщо ми зацікавлені в зменшенні будівельних блоків математики наприклад - визначити функцію\(f\) з цим співвідношенням, тобто з набором пар. Тоді виникає питання: які відносини визначають функції таким чином?

Визначення\(\PageIndex{1}\): Graph of a function

\(f\colon A \to B\)Дозволяти бути функцією. Графік\(f\) - це відношення,\(R_f \subseteq A \times B\) яке визначається\[R_f = \Setabs{\tuple{x,y}}{f(x) = y}.\nonumber\]

Графік функції однозначно визначається розширенням. Більш того, розширеність (на множині) відразу ж підтверджує неявний принцип розширення функцій, за допомогою якого якщо\(f\) і\(g\) поділяють домен і кодомен, то вони ідентичні, якщо вони узгоджуються з усіма значеннями.

Аналогічно, якщо відношення є «функціональним», то це графік функції.

Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

Нехай\(R \subseteq A \times B\) будуть такі, що:

Якщо\(Rxy\) і\(Rxz\) тоді\(y = z\); і
для кожного\(x \in A\) є\(y \in B\) такі, що\(\tuple{x, y} \in R\).

Потім\(R\) - графік функції,\(f\colon A \to B\) визначеної\(f(x) = y\) iff\(Rxy\).

Доказ. Припустимо, є\(y\) таке, що\(Rxy\). Якби було інше\(z \neq y\) таке\(Rxz\), що, умова на\(R\) було б порушено. Значить, якщо є\(y\) таке\(Rxy\), що,\(y\) це унікально, і так\(f\) чітко визначено. Очевидно,\(R_f = R\). ◻

Кожна функція\(f\colon A \to B\) має графік, тобто відношення на\(A \times B\) визначеному\(f(x) = y\). З іншого боку, кожне відношення\(R \subseteq A \times B\) з властивостями, зазначеними в\(\PageIndex{1}\) Proposition, є графом функції\(f \colon A \to B\). Через цей тісний зв'язок між функціями та їх графіками ми можемо думати про функцію просто як її графік. Іншими словами, функції можуть бути ототожнені з певними відносинами, тобто з певними множинами кортежу. Однак зауважте, що дух цієї «ідентифікації» такий, як у розділі 2.2: це не твердження про метафізику функцій, а спостереження, що зручно розглядати функції як певні множини. Одна з причин того, що це так зручно, полягає в тому, що ми тепер можемо розглянути виконання аналогічних операцій над функціями, які ми виконували на відносинами (див. Розділ 2.7). Зокрема:

Визначення\(\PageIndex{2}\)

\(f \colon A \to B\)Дозволяти бути функція с\(C\subseteq A\).

Обмеження\(f\) to\(C\) - це функція,\(\funrestrictionto{f}{C}\colon C \to B\) визначена\((\funrestrictionto{f}{C})(x) = f(x)\) для всіх\(x \in C\). Іншими словами,\(\funrestrictionto{f}{C} = \Setabs{\tuple{x, y} \in R_f}{x \in C}\).

Застосування\(f\) до\(C\) є\(\funimage{f}{C} = \Setabs{f(x)}{x \in C}\). Ми також називаємо це зображення\(C\) під\(f\).

З цих визначень випливає\(\ran{f} = \funimage{f}{\dom{f}}\), що для будь-якої функції\(f\). Ці поняття точно такі, як можна було б очікувати, враховуючи визначення в розділі 2.7 та нашу ідентифікацію функцій із відносинами. Але дві інші операції - зворотні та відносні продукти - вимагають трохи більше деталей. Ми надамо це в розділі 3.4 та розділі 3.5.