3.2: Види функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53097

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Template:MathJaxZach

Буде корисно ввести своєрідну таксономію для деяких видів функцій, з якими ми стикаємося найчастіше.

Для початку ми можемо розглянути функції, які мають властивість, що кожен член codomain є значенням функції. Такі функції називаються суб'єктивними, і можуть бути зображені як на рис$\PageIndex{1}$.

**Рисунок$\PageIndex{1}$:** Суб'єктивна функція має кожен елемент кодомена як значення.

Визначення$\PageIndex{1}$: Surjective function

Функція$f \colon A \rightarrow B$ є суб'єктивною iff$B$ - це також діапазон$f$, тобто для кожного$y \in B$ є принаймні один$x \in A$ такий$f(x) = y$, що, або в символах:\[(\forall y \in B)(\exists x \in A)f(x) = y.\nonumber\] Ми називаємо така функція відрижки від$A$ до$B$.

Якщо ви хочете показати, що$f$ це surjection, то вам потрібно показати, що кожен об'єкт в$f$ codomain є значенням$f(x)$ для деяких вхідних даних$x$.

Зверніть увагу, що будь-яка функція викликає відсмоктування. Адже, задана функція$f \colon A \to B$, нехай$f' \colon A \to \ran{f}$ буде визначена$f'(x) = f(x)$. Оскільки$\ran{f}$ визначається як$\Setabs{f(x) \in B}{x \in A}$, ця функція$f'$ гарантовано буде surjection

Тепер будь-яка функція відображає кожен можливий вхід в унікальний вихід. Але є також функції, які ніколи не відображають різні входи на однакові виходи. Такі функції називаються ін'єкційними, і можуть бути зображені як на рис$\PageIndex{2}$.

**Малюнок$\PageIndex{2}$:** Ін'єктивна функція ніколи не зіставляє два різних аргументи з однаковим значенням.

Визначення$\PageIndex{2}$: Injective function

Функція$f \colon A \rightarrow B$ є ін'єкційною, якщо для кожного$y \in B$ є щонайменше один$x \in A$ такий, що$f(x) = y$. Викликаємо таку функцію ін'єкцією від$A$ до$B$.

Якщо ви хочете показати, що$f$ це ін'єкція, вам потрібно показати, що для будь-яких$y$ елементів$x$ і$f$ домену, якщо$f(x)=f(y)$, то$x=y$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Постійна функція,$f\colon \Nat \to \Nat$ задана не$f(x) = 1$ є ні ін'єкційною, ні суб'єктивною.

Функція ідентичності, яку$f\colon \Nat \to \Nat$ дає,$f(x) = x$ є як ін'єкційною, так і суб'єктивною.

Функція наступника,$f \colon \Nat \to \Nat$ задана$f(x) = x+1$, є ін'єкційною, але не суб'єктивною.

Функція, що$f \colon \Nat \to \Nat$ визначається:\[f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & \text{if $x$ is even} \\ \frac{x+1}{2} & \text{if $x$ is odd.} \end{cases}\nonumber\] є суб'єктивною, але не ін'єкційною.

Досить часто ми хочемо розглянути функції, які є як ін'єкційними, так і суб'єктивними. Ми називаємо такі функції двооб'єктивними. Вони виглядають як функція, зображена на малюнку$\PageIndex{3}$. Бі'єкції також іноді називають однозначними відповідниками, оскільки вони однозначно поєднують елементи кодомена з елементами області.

**Рисунок$\PageIndex{3}$:** Біоб'єктивна функція однозначно поєднує елементи кодомену з елементами області.

Визначення$\PageIndex{3}$: Bijection

Функція$f \colon A \to B$ є двооб'єктивною, якщо вона є одночасно і суб'єктивною, і ін'єкційною. Ми називаємо таку функцію bijection від$A$ to$B$ (або між$A$ і$B$).