3.1: Основи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53061

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Template:MathJaxZach

Функція - це карта, яка надсилає кожен елемент заданого множини до певного елементу в деякому (іншому) заданому наборі. Наприклад, операція додавання$1$ визначає функцію:$n$ кожне число зіставляється з унікальним числом$n+1$.

Більш загально функції можуть приймати пари, трійки тощо, як входи та повертають якийсь вихід. Багато функцій знайомі нам з базової арифметики. Наприклад, додавання і множення є функціями. Вони беруть в двох числах і повертають третю.

У цьому математичному, абстрактному сенсі функція є чорним ящиком: важливо лише те, що виводиться в парі з яким входом, а не методом обчислення виводу.

Визначення$\PageIndex{1}$: Function

Функція$f \colon A \to B$ - це відображення кожного елемента$A$ до елемента$B$.

Ми$A$ називаємо домен$f$$B$ і кодомен$f$. Елементи$A$ називаються входами або аргументами$f$, а елемент,$B$ який поєднується з аргументом$x$ by,$f$ називається значенням$f$ для аргументації$x$, написано$f(x)$.

Діапазон$\ran{f}$$f$ - це підмножина кодомену, що складається зі значень$f$ для деякого аргументу;$\ran{f} = \Setabs{f(x)}{x \in A}$.

Діаграма на малюнку$\PageIndex{1}$ може допомогти подумати про функції. Еліпс ліворуч представляє область функції; еліпс праворуч представляє кодомен функції; а стрілка вказує з аргументу в області на відповідне значення в кодомені.

**Малюнок$\PageIndex{1}$:** Функція - це відображення кожного елемента одного набору з елементом іншого. Стрілка вказує з аргументу в домені на відповідне значення в кодомені.

Приклад$\PageIndex{1}$

Множення приймає пари натуральних чисел як вхідні дані і відображає їх з натуральними числами як виходи, тому переходить від$\Nat \times \Nat$ (домен) до$\Nat$ (codomain). Як з'ясовується, асортимент також є$\Nat$, оскільки кожен$n \in \Nat$ є$n \times 1$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Множення є функцією, оскільки вона поєднує кожен вхід - кожну пару натуральних чисел - з одним виходом:$\times \colon \Nat^2 \to \Nat$. Навпаки, операція квадратного кореня, застосована до області, не$\Nat$ є функціональною, оскільки кожне натуральне число$n$ має два квадратних кореня:$\sqrt{n}$ і$-\sqrt{n}$. Ми можемо зробити його функціональним, лише повернувши позитивний квадратний корінь:$\sqrt{\phantom{X}} \colon \Nat \to \Real$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Співвідношення, яке поєднує кожного учня в класі з їх підсумковим класом, є функцією - жоден учень не може отримати дві різні підсумкові оцінки в одному класі. Відношення, яке поєднує кожного учня в класі зі своїми батьками, не є функцією: учні можуть мати нуль, або два, або більше батьків.

Ми можемо визначити функції, вказавши певним чином, що значення функції для кожного можливого аргументу. Різні способи зробити це шляхом надання формули, опису методу обчислення значення або перерахування значень для кожного аргументу. Однак функції визначені, ми повинні переконатися, що для кожного аргументу ми вказуємо одне, і тільки одне, значення.

Приклад$\PageIndex{4}$

Дозвольте$f \colon \Nat \to \Nat$ визначитися таким, що$f(x) = x+1$. Це визначення, яке визначає$f$ як функцію, яка приймає натуральні числа і виводить натуральні числа. Він говорить нам, що, враховуючи натуральне число$x$,$f$ виведе його наступника$x+1$. У цьому випадку кодомен не$\Nat$ є діапазоном$f$, оскільки натуральне число не$0$ є наступником будь-якого натурального числа. Діапазон$f$ - це множина всіх натуральних чисел,$\Int^{+}$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Дозвольте$g \colon \Nat \to \Nat$ визначитися таким, що$g(x) = x+2-1$. Це говорить нам, що$g$ це функція, яка приймає натуральні числа і виводить натуральні числа. Задано натуральне число$n$,$g$ виведе попередника наступника наступника$x$, тобто$x+1$.

Ми тільки що розглянули дві функції,$f$ причому$g$, з різними визначеннями. Однак це одна і та ж функція. Адже для будь-якого натурального числа$n$ ми маємо це$f(n) = n+1 = n+2-1 = g(n)$. В іншому випадку ставимо: наші визначення для$f$ і$g$ вказуємо одне і те ж відображення за допомогою різних рівнянь. Неявно, тоді ми спираємося на принцип розширення для функцій, за\[\text{if }\forall x\, f(x) = g(x)\text{, then }f = g\nonumber\] умови, що$f$ і$g$ поділяють один і той же домен і кодомен.

Приклад$\PageIndex{6}$

Ми також можемо визначити функції за випадками. Наприклад, ми могли б визначити$h \colon \Nat \to \Nat$,\[h(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & \text{if $x$ is even} \\ \frac{x+1}{2} & \text{if $x$ is odd.} \end{cases}\nonumber\] оскільки кожне натуральне число парне або непарне, вихід цієї функції завжди буде натуральним числом. Просто пам'ятайте, що якщо ви визначаєте функцію за випадками, кожен можливий вхід повинен потрапляти точно в один випадок. У деяких випадках для цього буде потрібно докази того, що справи є вичерпними і виключними.