Розділ 6: Практичні вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52263

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

*Частина А Визначте, чи є кожне речення істинним чи хибним у наведеній моделі.

UD = {Корвін, Бенедикт}
розширення (\(A\)) = {Корвін, Бенедикт}
розширення (\(B\)) = {Бенедикт}
розширення (\(N\)) = ∅
референт (\(c\)) = Корвін

1. \(Bc\)
2. \(Ac\)↔ ¬\(Nc\)
3. \(Nc\)→ (\(Ac\)∨\(Bc\))
4. \(xAx\)
5. ¬\(x\) ¬\(Bx\)
6. \(x\)(\(Ax\)&\(Bx\))
7. \(x\)(\(Ax\)→\(Nx\))
8. \(x\)(\(Nx\)¬\(Nx\))
9. \(xBx\)→4\(xAx\)

*Частина B Визначте, чи є кожне речення істинним чи хибним у наведеній моделі.

UD = {Waylan, Віллі, Джонні}
розширення (\(H\)) = {Waylan, Віллі, Джонні}
розширення (\(W\)) = {Waylan, Віллі}
розширення (\(R\)) = {<Waylan, Willy>, <Willy, Johnny>, <Johnny, Waylan>}
референт (\(m\)) = Джонні

1. \(x\)(\(Rxm\)&\(Rmx\))
2. \(x\)(\(Rxm\)∨\(Rmx\))
3. 4\(x\) (\(Hx\)↔
4\(Wx\)). 4\(x\) (\(Rxm\)→\(Wx\))
5. \(x\)[\(Wx\)→ (\(Hx\)&\(Wx\))]
6. \(xRxx\)
7. \(x\)\(yRxy\)
8. 3\(x\))\(yRxy\)
) 9. \(x\)17.3\(y\) (\(Rxy\)≠\(Ryx\))
10. \(x\)\(y\)z [(\(Rxy\)&\(Ryz\)) →\(Rxz\)]

* Частина C Визначте, чи є кожне речення істинним чи хибним у наведеній моделі.

UD = {Леммі, Кортні, Едді}
розширення (\(G\)) = {Леммі, Кортні, Едді}
розширення (\(H\)) = {Кортні}
розширення (\(M\)) = {Леммі, Едді}
референт (\(c\)) = Кортні
референт (\(e\)) = Едді

1. \(Hc\)
2. \(He\)
3. \(Mc\)∨\(Me\)
4. \(Gc\)¬\(Gc\)
5. \(Mc\)→\(Gc\)
6. \(xHx\)
7. 3\(xHx\)
8. \(x\)¬\(Mx\)
9. \(x\)(\(Hx\)&\(Gx\))
10. \(x\)(\(Mx\)&\(Gx\))
11. ★\(x\) (\(Hx\)∨\(Mx\))
12. \(xHx\)\(xMx\)
&13. ★\(x\) (\(Hx\)↔ ¬\(Mx\))
14. \(xGx\)\(x\)&¬\(Gx\)
15. 4\(x\)\(y\) (\(Gx\)&\(Hy\))

* Частина D Випишіть модель, яка відповідає наданій інтерпретації.

UD: натуральні числа від 10 до 13
\(Ox\):\(x\) непарні.
\(Sx\):\(x\) менше 7.
\(Tx\):\(x\) двозначне число.
\(Ux\):\(x\) вважається, що не пощастило.
\(Nxy\):\(x\) наступне число після\(y\).

Частина E Покажіть, що кожне з наступних дій є контингентом.

*1. \(Da\)&\(Db\)
*2. \(xTxh\)
*3. \(Pm\)\(xPx\)
&¬4. \(zJz\)↔\(yJy\)
5. 4\(x\)\(Wxmn\) (
6\(yLxy\)). \(x\)(\(Gx\)→⃣\(yMy\))

*Частина F Показати, що наступні пари речень не є логічно еквівалентними.

1. \(Ja\),\(Ka\)
2. \(xJx\),\(Jm\)
3. 4\(xRxx\),\(xRxx\)
4. \(xPx\)→\(Qc\),\(x\) (\(Px\)→\(Qc\))
5. \(x\)(\(Px\)→¬\(Qx\)),\(x\) (\(Px\)&¬\(Qx\))
6. \(x\)(\(Px\)&\(Qx\)),\(x\) (\(Px\)→\(Qx\))
7. \(x\)(\(Px\)→\(Qx\)),\(x\) (\(Px\)&\(Qx\))
8. \(x\)\(yRxy\),\(x\)\(yRxy\)
9. \(x\)\(yRxy\),\(x\),\(yRyx\)

Частина G Показати, що наступні набори речень є послідовними.

1. {\(Ma\), ¬\(Na\),\(Pa\), ¬\(Qa\)}
2. {\(Lee\)\(Lef\), ¬\(Lfe\), ¬, ¬\(Lff\)}
3. {¬\(Ma\) (\(xAx\)&),\(Ma\) ∨\(Fa\),\(x\) (\(Fx\)→\(Ax\))}
4. {\(Ma\)≠ \(Mb\),\(Ma\)\(x\) →¬ ¬\(Mx\)}
5. {\(yGy\),\(x\) (\(Gx\)→\(Hx\)),\(y\) ¬\(Iy\)}
6. {\(x\)\(Bx\)(\(Ax\)≠),\(x\) ¬\(Cx\),\(x\) (\(Ax\)& \(Bx\)) →\(Cx\)}
7. {\(xXx\),,\(xY\)\(x\),\(x\) (\(Xx\)↔ ¬\(Y\)\(x\))}
8. {\(x\)(\(Px\)≠\(Qx\)),\(x\) ¬ (\(Qx\)&\(Px\))}
9. {\(z\) (\(Nz\)&\(Ozz\))\(x\),\(y\) (\(Oxy\)→\(Oyx\))}
10. {\(x\)\(yRxy\)¬️\(x\),\(yRxy\)}

Частина H Побудувати моделі, щоб показати, що наступні аргументи є недійсними.

1\(x\).\(xBx\)
4\(x\) (\(Rx\)→\(Dx\))\(Fx)\),..
\(x\) 2.\(Ax\)\(Bx\)\(x\)\(Rx\)\(x\)\(Dx\)\(Fx\)\(Px\)\(Qx\)\(xPx\)
4. \(Na\)\(Nb\)&\(Nc\),\(xNx\)
.5. \(Rde\),\(xRxd\),.. \(Red\)
6. \(x\)(\(Ex\)&\(Fx\)),\(xFx\)\(xGx\) →,.. \(x\)(\(Ex\)&\(Gx\))
7. \(xOxc\),\(xOcx\),.. 3\(xOxx\)
8. \(x\)(\(Jx\)&\(Kx\)),\(x\) ¬\(Kx\),\(x\) ¬\(Jx\),.. \(x\)(¬\(Jx\) &¬\(Kx\))
9. \(Lab\)\(xLxb\)→,\(xLxb\),.. \(Lbb\)

Частина I

*1. Покажіть, що {¬\(Raa\),????\(x\)??\(x\)??\(a\)?\(Rxa\)?????????
*2. Покажіть, що\(x\) {\(y\)️\(z\) (\(x\)=\(y\)\(z\) ∨\(y\) = ≠\(x\) =\(z\)),\(x\)\(y\)\(x\) ≠\(y\)} є послідовним.
*3. Покажіть, що\(x\) {\(y\)\(x\)=\(y\),\(x\)\(x\) ≠\(a\)} є непослідовним.
4. Показати, що\(x\) (\(x\)=\(h\) &\(x\) =\(i\)) є контингентом.
5. Показати, що {\(x\)\(y\)(\(Zx\)&\(Zy\) &\(x\) =\(y\)), ¬\(Zd\),\(d\) =\(s\)} є послідовним.
6. Покажіть, що\(Dx\) '⃣\(x\) (\(yTyx\)→).. \(z\)\(y\)≠\(y\)\(z\) 'є недійсним.

Частина J

1. Багато логічних книг визначають послідовність і неузгодженість таким чином: «Набір {\(\mathcal{A}\)₁, {\(\mathcal{A}\)₂, {\(\mathcal{A}\)₃, ···} суперечливий тоді і лише тоді, коли {{\(\mathcal{A}\)₁, {\(\mathcal{A}\)₂, {\(\mathcal{A}\)₃, ···} |= ({\(\mathcal{B}\)&¬ {{ \(\mathcal{B}\)) для деякого речення {\(\mathcal{B}\). Набір є послідовним, якщо він не є суперечливим». Чи призводить це визначення до того, що будь-які різні множини є послідовними, ніж визначення на стор. 84? Поясніть свою відповідь.

*2. Наше визначення істини говорить про те, що речення {істинно в\(\mathcal{A}\) тому випадку,\(\mathbb{M}\) якщо і тільки якщо якесь присвоєння змінної задовольняє {\(\mathcal{A}\)in\(\mathbb{M}\). Чи буде це різниця, якби ми сказали замість цього, що {істинно в\(\mathcal{A}\) тому випадку,\(\mathbb{M}\) якщо і тільки якщо кожна змінна присвоєння задовольняє {\(\mathcal{A}\)in\(\mathbb{M}\)? Поясніть свою відповідь.