Розділ 5: Правда в QL

Для SL ми розділимо визначення істини на дві частини: присвоєння істинного значення (\(a\)) для букв речення та функцію істинності (\(v\)) для всіх речень. Функція істини охоплювала спосіб побудови складних речень з букв речень та зв'язків.

Так само, як істина для SL - це завжди істина, задана присвоєнням значення істинності, істина для QL - це істина в режимі l Найпростіший атомний речення QL складається з одномісного присудка, за яким слідує константа, як\(Pj\). Це вірно в моделі\(\mathbb{M}\) тоді і тільки тоді, коли референт\(j\) знаходиться в розширенні\(P\) in\(\mathbb{M}\).

Ми могли б продовжити таким чином, щоб визначити істину для всіх атомних речень, які містять лише присудки та константи: Розглянемо будь-яке речення форми\(\mathcal{RC}\) ₁... \(\mathcal{c}\)_n де\(\mathcal{R}\) - присудок n-місця, а\(\mathcal{c}\) s - константи. Це правда,\(\mathbb{M}\) якщо і тільки якщо hreferent (\(\mathcal{c}\)₁),... , референт (\(\mathcal{c}\)_n) i знаходиться в розширенні (\(\mathcal{R}\)) в\(\mathbb{M}\).

Потім ми могли б визначити правду для речень, побудованих з речення сполучних зв'язків так само, як ми це робили для SL. Наприклад, речення (\(Pj\)→\(Mda\)) є true in\(\mathbb{M}\) якщо або\(Pj\) є хибним у,\(\mathbb{M}\) або\(Mda\) є true in\(\mathbb{M}\).

На жаль, цей підхід зазнає невдачі, коли ми розглянемо речення, що містять кількісні показники. Розглянемо\(xPx\). Коли це правда в моделі\(\mathbb{M}\)? Відповідь не може залежати від того, чи\(Px\) є істинним чи хибним\(\mathbb{M}\), оскільки\(x\) in\(Px\) є вільною змінною. \(Px\)це не вирок. Це ні правда, ні помилково.

Ми змогли дати рекурсивне визначення істини для SL, оскільки кожна добре сформована формула SL має значення істинності. Це неправда в QL, тому ми не можемо визначити істину, починаючи з істинності атомних речень і нарощуючи. Нам також потрібно розглянути атомні формули, які не є реченнями. Для цього ми визначимо задоволення; кожна добре сформована формула QL буде задоволена або не задоволена, навіть якщо вона не має істинного значення. Тоді ми зможемо визначити правду для речень QL з точки зору задоволення.

Задоволення

Формула\(Px\) говорить, приблизно, що\(x\) є одним з\(Ps\). Однак це не може бути цілком правильним, оскільки\(x\) є змінною, а не постійною. Він не називає жодного конкретного члена УД. Натомість його значення у реченні визначається квантитором, який пов'язує його. Змінна\(x\) повинна стояти для кожного члена UD у реченні\(xPx\), але вона повинна стояти лише для одного члена в\(xPx\). Оскільки ми хочемо, щоб визначення задоволення охоплювало\(Px\) без будь-якого кількісного визначення, ми почнемо з того, як інтерпретувати вільну змінну, як\(x\) in\(Px\).

Ми робимо це, вводячи присвоєння змінної. Формально це функція, яка зіставляє кожну змінну з членом UD. Викликати цю функцію '\(\a\).' («'\(a\)' призначений для «присвоєння», але це не те саме, що присвоєння істинного значення, яке ми використовували для визначення істини для SL.)

Формула\(Px\) задовольняється в моделі\(\mathbb{M}\) присвоєнням змінної,\(a\) якщо і тільки якщо\(a\) (\(x\)), об'єкт,\(a\) якому\(x\) присвоюється, знаходиться в розширенні\(P\) in\(\mathbb{M}\).

Коли «\(xPx\)задовольняється»? Недостатньо, якщо\(Px\) задоволений у\(\mathbb{M}\) by\(a\), тому що це просто означає, що\(a\) (\(x\)) знаходиться в extension (\(P\)). 4\(xPx\) вимагає, щоб кожен інший член UD також був у розширенні (\(P\)).

Таким чином, нам потрібен ще один біт технічних позначень: Для будь-якого члена Ω UD і будь-якої змінної\(x\), нехай [ω|\(x\)] бути змінною присвоєння, яка призначає Ω,\(x\) але погоджується з\(a\) у всіх інших аспектах. Ми використовували Ω, грецьку букву Омега, щоб підкреслити той факт, що це якийсь член UD, а не якийсь символ QL. Припустимо, наприклад, що УД - президенти США. Функція\(a\) [Grover Cleveland|\(x\)] привласнює Гровер Клівленд змінній\(x\), незалежно від того, що\(a\) присвоює\(x\); для будь-якої іншої змінної,\(a\) [Grover Cleveland|\(x\)] згоден з\(a\).

Тепер ми можемо коротко сказати, що\(xPx\) задовольняється в моделі\(\mathbb{M}\) присвоєнням змінної\(a\) тоді і тільки тоді, коли для кожного об'єкта Ω в UD з\(\mathbb{M}\)\(Px\)\(\mathbb{M}\) задовольняється\(a\) [ω|\(x\)].

Ви можете хвилюватися, що це кругова, оскільки це дає умови задоволення реченню,\(xPx\) використовуючи фразу «для кожного об'єкта». Однак важливо пам'ятати про різницю між логічним символом на кшталт «» та англійським словом на кшталт «every». Слово є частиною метамови, яку ми використовуємо для визначення умов задоволення речень предметної мови, які містять символ.

Тепер ми можемо дати загальне визначення задоволеності, виходячи з випадків, які ми вже обговорювали. Ми визначимо функцію\(s\) (для «задоволення») у\(\mathbb{M}\) такій моделі\(a\), що для будь-якого\(\mathcal{A}\) wта змінного присвоєння s (\(\mathcal{A}\),\(a\)) = 1, якщо\(\mathcal{A}\)\(\mathbb{M}\) задовольняється\(a\); інакше s (\(\mathcal{A}\),\(a\)) = 0.

1. Якщо\(\mathcal{A}\) є атомним wвиду\(\mathcal{Pt}\) ₁... \(\mathcal{t}\)_n і Ω _i - об'єкт, вибраний\(t\) _i, то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } \left\langle \Omega _ { 1 } \ldots \Omega _ { n } \right\rangle \text { is in extension } ( \mathcal { P } ) \text { in } \mathbb { M } } \\ { 0 } & { \text { otherwise. } } \end{array} \right. \)

Для кожного члена\(t\) _i: Якщо\(t\) _i - константа, то Ω _i = референт (\(t\)_i). Якщо\(t\) _i - змінна, то Ω _i =\(a\) (\(t\)_i).

2. Якщо\(\mathcal{A}\) є ¬\(\mathcal{B}\) для деяких\(\mathcal{B}\) w, то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 0 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

3. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)&\(\mathcal{C}\)) для деяких\(\mathcal{B}\) wff\(\mathcal{C}\), то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 1 \text { and } s ( C , a ) = 1 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

4. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)∨\(\mathcal{C}\)) для деяких\(\mathcal{B}\) wff\(\mathcal{C}\), то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 0 \text { and } s ( C , a ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

5. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)→\(\mathcal{C}\)) для деяких\(\mathcal{B}\) wff\(\mathcal{C}\), то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = 1 \text { and } s ( C , a ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

6. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)↔\(\mathcal{C}\)) для деяких речень\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\), то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a ) = s ( C , a ) } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

7. Якщо\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{xB}\) для деякої\(\mathcal{B}\) wі деякої змінної\(\mathcal{x}\), то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a [ \Omega | x ] ) = 1 \text { for every member } \Omega \text { of the UD, } } \\ { 0 } & { \text { otherwise. } } \end{array} \right. \)

8. Якщо\(\mathcal{A}\) є\(\mathcal{xB}\) для деяких\(\mathcal{B}\) wі деякої змінної\(\mathcal{x}\), то

\( s ( \mathcal { A } , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } s ( \mathcal { B } , a [ \Omega | x ] ) = 1 \text { for at least one member } \Omega \text { of the UD, } } \\ { 0 } & { \text { otherwise. } } \end{array} \right. \)

Це визначення слідує тій самій структурі, що і визначення wдля QL, тому ми знаємо, що кожне wQL буде покрито цим визначенням. Для моделі\(\mathbb{M}\) та присвоєння\(a\) змінних будь-який wбуде або задоволений, або ні. Жодні wff не залишаються поза увагою або не призначені конфліктуючі значення.

Істина

Розглянемо просте речення,\(xPx\) як. За частиною 7 у визначенні задоволення це речення задовольняється, якщо\(a\) [ω|\(x\)]\(Px\) задовольняє\(\mathbb{M}\) для кожного Ω в UD. За частиною 1 визначення, це буде так, якщо кожен Ω знаходиться в розширенні\(P\). Чи\(xPx\) задовільнено, не залежить від конкретного присвоєння змінної\(a\). Якщо це речення задовольняється, то воно є істинним. Це формалізація того, що ми говорили увесь час: «\(xPx\)вірно, якщо все в UD знаходиться в розширенні\(P\).

Те ж саме стосується будь-якого речення QL. Оскільки всі змінні пов'язані, речення задовольняється чи ні, незалежно від деталей присвоєння змінної. Таким чином, ми можемо визначити істину таким чином: речення\(\mathcal{A}\) є істинним у тому випадку,\(\mathbb{M}\) якщо і тільки якщо якесь присвоєння змінної\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{A}\) задовольняє\(M\); є помилковим в\(\mathbb{M}\) іншому випадку.

Правда в QL - це правда в моделі. Речення QL не є істинними або хибними як прості символи, а лише відносно моделі. Модель забезпечує значення символів, оскільки вона робить будь-яку різницю в правді та фальші.

Міркування про всі моделі (реприза)

Наприкінці розділу 5.4 ми були в глуху, коли намагалися показати, що «\(x\)(\(Rxx\)→\(Rxx\)) - це тавтологія. Визначивши задоволення, тепер ми можемо міркувати таким чином:

Розглянемо якусь довільну модель\(\mathbb{M}\). Тепер розглянемо довільний член УД; заради зручності назвіть його Ω. Це повинно бути так, або те, що <Ω, Ω> знаходиться в розширенні,\(R\) або що це не так. Якщо <Ω, Ω> знаходиться в розширенні\(R\), то\(Rxx\) задовольняється змінним присвоєнням, яке призначає Ω\(x\) (частиною 1 визначення задоволення); оскільки наслідок\(Rxx\) →\(Rxx\) задовольняється, умовний задовольняється (частиною 5). Якщо <Ω, Ω> не в розширенні\(R\), то не\(Rxx\) задовольняється змінним присвоєнням, яке призначає Ω\(x\) (частиною 1); оскільки попередник\(Rxx\) → не\(Rxx\) задовольняється, умовний задовольняється (частиною 5). У будь-якому випадку\(Rxx\) →\(Rxx\) задовольняється. Це вірно для будь-якого члена УД, тому «\(x\)(\(Rxx\)→\(Rxx\)) задовольняється будь-яким присвоєнням істинного значення (частиною 7). Отже,\(x\) (\(Rxx\)→\(Rxx\)) є істинним у\(\mathbb{M}\) (за визначенням істини). Цей аргумент тримається незалежно від точного UD і незалежно від точного розширення\(R\), тому\(x\) (\(Rxx\)→\(Rxx\)) вірно в будь-якій моделі. Тому це тавтологія.

Наведення аргументів щодо всіх можливих моделей зазвичай вимагає розумного поєднання двох стратегій:

1. Розділіть справи між двома можливими видами, таким чином, щоб кожен випадок повинен бути тим чи іншим. Наприклад, у аргументі на стор. 92 ми виділили два види моделей, заснованих на тому, чи була конкретна впорядкована пара в extension (\(R\)). У наведеному вище аргументі ми виділили випадки, коли впорядкована пара була в extension (\(R\)) і випадки, в яких її не було.

2. Розглянемо довільний об'єкт як спосіб показати щось більш загальне. У наведеному вище аргументі було вирішальне значення, що Ω був лише якимось довільним членом UD. Нічого особливого в цьому ми не припускали. Таким чином, все, що ми могли б показати, щоб провести Ω повинен утримувати кожного члена UD— якщо ми могли б показати його для Ω, ми могли б показати його для чого завгодно. Таким же чином ми не припускали нічого особливого \(\mathbb{M}\), і тому все, про що ми могли показати,\(\mathbb{M}\) повинно триматися для всіх моделей.

Розглянемо ще один приклад. Аргумент\(x\) (\(Hx\)&\(Jx\)).. Очевидно\(xHx\), є дійсним. Ми можемо лише показати, що аргумент є дійсним, враховуючи те, що має бути істинним у кожній моделі, в якій передумова істинна.

Розглянемо довільну модель,\(\mathbb{M}\) в якій передумова «\(x\)(\(Hx\)&\(Jx\)) є істинною. Кон'юнкція\(Hx\) &\(Jx\) задовольняється незалежно від того\(x\), що призначено, так\(Hx\) повинно бути також (за частиною 3 визначення задоволення). Таким чином, (\(x\))\(Hx\) задовольняється будь-яким змінним присвоєнням (частиною 7 визначення задоволення) та істинним\(\mathbb{M}\) (визначенням істини). Оскільки ми нічого не припускали,\(\mathbb{M}\) крім того, що «\(x\)(\(Hx\)&\(Jx\)) є істинним, (\(x\))\(Hx\) має бути істинним у будь-якій моделі, в якій «\(x\)(\(Hx\)&\(Jx\)) є істинним. Отже,\(x\) (\(Hx\)&\(Jx\)) |=\(xHx\).

Навіть для такого простого аргументу, як цей, міркування дещо складне. Для довших аргументів міркування можуть бути страхівними. Проблема виникає тому, що говорити про нескінченність моделей вимагає міркування англійською мовою. Що нам робити?

Ми можемо спробувати формалізувати наші міркування про моделі, кодифікуючи стратегії розділення та перемоги, які ми використовували вище. Цей підхід, спочатку названий семантичним таблицею, був розроблений в 1950-х роках Евертом Бет і Яакко Хінтікка. Їх таблиці тепер частіше називають істинними деревами.

Більш традиційний підхід - розглядати дедуктивні аргументи як докази. Система доказування складається з правил, які формально розрізняють законні та нелегітимні аргументи - без розгляду моделей або значень символів. У наступному розділі ми розробляємо системи доказів для SL і QL.