Розділ 3: Квантори

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- Секція 2: Будівельні блоки QL
- Розділ 4: Переклад на QL

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Зараз ми готові ввести квантіфікатори. Розглянемо ці пропозиції:

Всі задоволені.
Кожен принаймні такий же жорсткий, як Дональд.
Хтось злиться.

Можливо, буде спокусливо перекласти речення 6 як $Hd$ $Hg$ & $Hm$ . Тим не менш, це лише говорить про те, що Дональд, Грегор та Мерібет щасливі. Ми хочемо сказати, що всі щасливі, навіть якщо ми не визначили константу, щоб назвати їх. Для цього ми вводимо символ «». Це називається універсальним квантором.

Квантифікатор завжди повинен супроводжуватися змінною та формулою, яка включає цю змінну. Ми можемо перевести речення 6 як $xHx$ . Перефразовуючи англійською мовою, це означає «Для всіх $x$ $x$ щасливий». Ми називаємо $x$ an $x$ - квантифікатор. Формула, яка слідує за квантіфікатором, називається сферою дії квантіфікатора. Пізніше ми дамо формальне визначення обсягу, але інтуїтивно це частина речення, яку кількісно оцінює кількісник. У $xHx$ , сфера застосування універсального квантіфікатора є $Hx$ .

Речення 7 можна перефразувати як: «Для всіх $x$ , принаймні, $x$ так само жорстко, як Дональд». Це перекладається як « $xT$ ₂» $xd$ .

У цих кількісних реченнях змінна $x$ служить своєрідним заповнювачем. Вираз $x$ означає, що ви можете вибрати кого завгодно і поставити його як $x$ . Немає особливих причин використовувати $x$ замість якоїсь іншої змінної. Речення $xHx$ означає точно те ж саме $yHy$ , що і, $zHz$ , і $x$ _{5 $Hx$} ₅.

Щоб перевести речення 8, ми вводимо ще один новий символ: екзистенціальний квантор,. Як і універсальний квантіфікатор, екзистенціальний квантифікатор вимагає змінної. Речення 8 можна перекласти як $xAx$ . Це означає, що є деякі $x$ , які сердиті. Точніше, це означає, що є хоча б одна розлючена людина. Знову ж таки, змінна є свого роду заповнювач; ми могли б так само легко перекласти речення 8 як $zAz$ .

Розглянемо наступні пропозиції:

Ніхто не злиться.
Є хтось, хто не щасливий.
Не всі задоволені.

Речення 9 можна перефразувати як: «Це не так, що хтось злиться». Це можна перекласти за допомогою заперечення та екзистенціального квантифікатора: $xAx$ ¬. Проте речення 9 також можна перефразувати як: «Всі не сердяться». Маючи це на увазі, його можна перекласти за допомогою заперечення та універсального квантифікатора: $x$ ¬ $Ax$ .

Обидва вони є прийнятними перекладами, оскільки вони логічно еквівалентні. Важливим є те, чи настає заперечення до або після кількісника.

Загалом, $xA$ логічно еквівалентно $x$ ¬¬ $A$ . Це означає, що будь-яке речення, яке може бути символізовано універсальним квантифікатором, може бути символізовано екзистенціальним квантифікатором, і навпаки. Один переклад може здатися більш природним, ніж інший, але немає логічної різниці в перекладі одним квантифікатором, а не іншим. Для деяких пропозицій це буде просто справою смаку.

Речення 10 найбільш природно перефразовується як: «Є $x$ такі, які $x$ не щасливі». Це стає $x$ ¬ $Hx$ . Рівнозначно, ми могли б написати $xHx$ ¬.

Речення 11 найбільш природно перекладається як $xHx$ ¬. Це логічно еквівалентно реченню 10, і тому також можна перекласти як $x$ ¬ $Hx$ .

Хоча у нас є два квантіфікатори в QL, ми могли б мати еквівалентну формальну мову лише з одним квантифікатором. Ми могли б продовжити лише універсальний квантифікатор, наприклад, і розглядати екзистенціальний квантифікатор як нотаційну конвенцію. Ми використовуємо квадратні дужки [], щоб зробити деякі речення більш читабельними, але ми знаємо, що це насправді просто дужки (). Таким же чином ми могли б написати « $x$ », знаючи, що це лише скорочення для «¬¬ $x$ ¬». Існує вибір між тим, щоб зробити логіку формально простою і зробити її виразно простою. З QL ми вибираємо виразну простоту. Обидва «» і «» будуть символами QL.

Всесвіт дискурсу

Враховуючи ключ символізації, який ми використовували $xHx$ , «Усі щасливі». Хто в цьому входить кожен? Коли ми використовуємо подібні речення англійською мовою, ми зазвичай не маємо на увазі всіх, хто зараз живе на Землі. Ми, звичайно, не маємо на увазі всіх, хто коли-небудь був живий або хто коли-небудь буде жити. Ми маємо на увазі щось більш скромне: всі в будівлі, всі в класі, або всі в кімнаті.

Щоб усунути цю неоднозначність, нам потрібно буде вказати всесвіт дискурсу — скорочено УД. UD - це сукупність речей, про які ми говоримо. Отже, якщо ми хочемо поговорити про людей у Чикаго, ми визначаємо UD як людей у Чикаго. Ми пишемо це на початку ключа символізації, ось так:

UD: люди в Чикаго

Квантіфікатори варіюються над всесвітом дискурсу. Враховуючи цей UD, « $x$ означає «Усі в Чикаго», а $x$ означає «Хтось у Чикаго». Кожна константа називає якийсь член UD, тому ми можемо використовувати цей UD лише з ключем символізації вище, якщо Дональд, Грегор та Мерібет все в Чикаго. Якщо ми хочемо поговорити про людей в місцях, крім Чикаго, то нам потрібно включити цих людей в UD.

У QL UD повинен бути непорожнім; тобто він повинен включати хоча б одну річ. Можна побудувати формальні мови, які дозволяють порожні UD, але це вносить ускладнення.

Навіть дозволяючи UD лише з одним членом може призвести до деяких дивних результатів. Припустимо, що ми маємо це як ключ символізації:

UD: Ейфелева вежа
Px: $x$ знаходиться в Парижі.

Речення $xPx$ може бути перефразовано англійською мовою як «Все в Парижі». Тим не менш, це вводить в оману. Це означає, що все в UD знаходиться в Парижі. Цей UD містить лише Ейфелеву вежу, тому з цим ключем символізації « $xPx$ просто означає, що Ейфелева вежа знаходиться в Парижі.

Терміни, що не посилаються

У QL кожна константа повинна вибрати рівно один член UD. Константа не може посилатися на більш ніж одну річ— це однини термін. Кожна константа все одно повинна щось вибрати. Це пов'язано з класичною філософською проблемою: так званою проблемою непосилальних термінів.

Середньовічні філософи зазвичай використовували речення про химеру для прикладу цієї проблеми. Химера - міфологічна істота; насправді її не існує. Розглянемо ці два речення:

12. Химера сердита.
13. Химера не сердита.

Заманливо просто визначити константу, щоб означати «химера». Ключ символізації буде виглядати так:

UD: істоти на Землі
Сокира: $x$ злий.
c: химера

Потім ми могли б перекласти речення 12 як $Ac$ і речення 13 як ¬ $Ac$ .

Проблеми виникнуть, коли ми запитаємо, чи є ці речення істинними чи хибними.

Один з варіантів - сказати, що речення 12 не відповідає дійсності, тому що немає химери. Якщо речення 12 є помилковим, оскільки воно говорить про неіснуючу річ, то речення 13 є помилковим з тієї ж причини. Але це означало б, що $Ac$ і ¬ $Ac$ обидва будуть помилковими. Враховуючи істинні умови заперечення, це не може бути так.

Оскільки ми не можемо сказати, що вони обидва помилкові, що нам робити? Інший варіант - сказати, що речення 12 безглузде, оскільки воно говорить про неіснуючу річ. Таким чином, Ac буде значущим виразом у QL для деяких інтерпретацій, але не для інших. Але це зробило б нашу офіційну мову заручником певних тлумачень. Оскільки нас цікавить логічна форма, ми хочемо розглянути логічну силу речення як $Ac$ крім будь-якого конкретного тлумачення. Якби іноді $Ac$ були значущими, а іноді безглуздими, ми не могли б цього зробити.

Це проблема непосилаються термінів, і до неї ми повернемося пізніше (див. п. 71.) Наразі важливим моментом є те, що кожна константа QL повинна посилатися на щось в UD, хоча UD може бути будь-яким набором речей, які нам подобаються. Якщо ми хочемо символізувати аргументи про міфологічних істот, то ми повинні визначити UD, що включає їх. Цей варіант важливий, якщо ми хочемо розглянути логіку історій. Ми можемо перекласти таке речення, як «Шерлок Холмс жив на Бейкер-стріт 221B», включивши в наш UD вигадані персонажі, такі як Шерлок Холмс.