Секція 2: Будівельні блоки QL

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52227

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Подібно до того, як речення були основною одиницею логіки речень, присудки будуть основною одиницею кількісної логіки. Присудок - це вираз на кшталт «це собака». Це не вирок сам по собі. Це ні правда, ні помилково. Для того щоб бути правдою чи помилкою, нам потрібно щось вказати: хто або що це таке собака?

Деталі цього будуть пояснені в іншій частині глави, але ось основна ідея: У QL ми будемо представляти предикати великими літерами. Наприклад, ми можемо дозволити\(D\) стояти за «_____ - це собака». Ми будемо використовувати малі літери як назви конкретних речей. Наприклад, ми могли б дозволити\(b\) стояти за Берті. Вираз\(Db\) буде реченням в QL. Це переклад речення «Берті - собака».

Для того, щоб представити кількісну структуру, ми також матимемо символи, які представляють квантіфікатори. Наприклад, «» означатиме «Є якийсь _______». Так сказати, що є собака, ми можемо написати\(xDx\); тобто: Є\(x\) такі, що\(x\) є собака.

Це прийде пізніше. Почнемо з визначення сингулярних термінів і предикатів.

Умови однини

В англійській мові термін однини - це слово або фраза, що стосується конкретної людини, місця чи речі. Слово «собака» не є єдиним терміном, тому що собак дуже багато. Фраза «собака Філіпа Берті» - це термін однини, оскільки він стосується специфічного маленького тер'єра.

Власне ім'я - це особливий термін, який вибирає індивіда, не описуючи його. Ім'я «Емерсон» - це власне ім'я, і одне ім'я нічого не говорить вам про Емерсона. Звичайно, деякі імена традиційно дають хлопчикам, а інші традиційно дарують дівчаткам. Якщо «Джек Хетхауей» використовується як особливий термін, ви можете здогадатися, що він стосується людини. Однак ім'я не обов'язково означає, що особа, про яку йдеться, є людиною - або навіть що істота, про яку йдеться, є людиною. Джек може бути жирафом для всього, що ви могли б сказати тільки з назви. Існує багато філософських дій навколо цього питання, але важливим моментом тут є те, що ім'я є єдиним терміном, оскільки воно вибирає єдиного, конкретного індивіда.

Інші одиничні терміни більш очевидно передають інформацію про те, на що вони посилаються. Наприклад, ви можете сказати, не кажучи нічого далі, що «собака Філіпа Берті» - це єдиний термін, який стосується собаки. Певний опис вибирає індивіда за допомогою унікального опису. В англійській мові визначені описи часто є фразами виду «такий-і-так». Вони посилаються на конкретну річ, яка відповідає даному опису. Наприклад, «найвищий член Монті Пітона» та «перший імператор Китаю» - це визначені описи. Опис, який не вибирає конкретну особу, не є певним описом. «Член Монті Пітона» та «імператор Китаю» не є визначеними описами.

Ми можемо використовувати власні імена та визначені описи, щоб вибрати те ж саме. Власна назва «Гора Реньє» називає місце, вибране певним описом «найвища вершина штату Вашингтон». Вирази по-різному відносяться до одного і того ж місця. Ви нічого не дізнаєтеся з моєї приказки, що я їду на гору Реньє, якщо ви вже не знаєте якусь географію. Ви могли б здогадатися, що це гора, можливо, але навіть це не впевнена річ; бо все, що ви знаєте, це може бути коледж, як гора Холіок. Але якби я сказав, що йду на найвищу вершину штату Вашингтон, ви б відразу знали, що я йду на гору у штаті Вашингтон.

В англійській мові специфікація терміна однини може залежати від контексту; «Віллард» означає конкретну особу, а не лише когось на ім'я Віллард; «P.D. Magnus» як логічний однини термін означає мене, а не інший П.Д. Магнус. Ми живемо з такою неоднозначністю англійською мовою, але важливо пам'ятати, що одиничні терміни в QL повинні стосуватися лише однієї конкретної речі.

У QL ми будемо символізувати одиничні терміни з малими літерами\(a\) через\(w\). Ми можемо додати індекси, якщо хочемо використовувати якусь літеру більше одного разу. Отже\(a\),\( b\),\(c\),... \(w\),\(a\) ₁,\(f\) ₃₂,\(j\) ₃₉₀ та\(m\) ₁₂ - це всі терміни в QL.

Особливі терміни називаються константами, оскільки вони виділяють конкретних осіб. Зверніть увагу\(x\), що\(y\), і не\(z\) є константами в QL. Це будуть змінні, літери, які не означають жодної конкретної речі. Вони нам знадобляться, коли ми введемо квантіфікатори.

Присудки

Найпростіші присудки - це властивості особин. Це речі, які ви можете сказати про об'єкт. «_____ - це собака» і «______ є членом Монті Пітона» - це обидва присудки. У перекладі англійських речень термін не завжди буде надходити на початку речення: «Піаніно впало на ______' також є присудком. Такі присудки називаються одномісними або монадичними, оскільки є лише один пробіл, який потрібно заповнити. Одномісне присудок і однини термін об'єднуються, щоб скласти речення.

Інші присудки стосуються зв'язку між двома речами. Наприклад, '_____ більше, ніж ______', '______ ліворуч від ______', а «______ заборгував гроші _____». Це двомісні або діадичні присудки, тому що їх потрібно заповнити двома членами, щоб скласти речення.

Загалом, ви можете думати про присудки як схематичні речення, які потрібно заповнити деякою кількістю термінів. І навпаки, ви можете почати з пропозицій і зробити з них присудки, видаливши терміни. Розглянемо речення: «Вінні позичив сімейний автомобіль у Нунціо». Видаливши термін однини, ми можемо розпізнати це речення як використання будь-якого з трьох різних монадичних присудків:

_____ позичив сімейний автомобіль у Нунціо.
Вінні запозичив _____ у Нунціо.
Вінні позичив сімейний автомобіль у _____.

Видаливши два одиничні терміни, ми можемо розпізнати три різні діадичні предикати:

Вінні запозичив _____ з _____.
_____ позичив сімейний автомобіль у _____.
_____ запозичив _____ у Нунціо.

Видаливши всі три одиничні терміни, ми можемо розпізнати один тримісний або тріадичний присудок:

_____ запозичив _____ з _____.

Якщо ми перекладаємо це речення на QL, чи варто перекладати його з одно-, дво- або тримісним присудком? Це залежить від того, що ми хочемо мати можливість сказати. Якщо єдине, про що ми будемо обговорювати, будучи запозиченим, - це сімейний автомобіль, то загальність тримісного присудка зайва. Якщо єдине запозичення, яке нам потрібно символізувати, - це різні люди, які позичають сімейний автомобіль у Нунціо, то одномісного присудка буде цілком достатньо.

Загалом, ми можемо мати присудки з такою кількістю місць, скільки нам потрібно. Присудки з більш ніж одним місцем називаються поліадичними. Присудки з n місцями, для деякого числа n, називаються n-місцями або n-adic.

У QL ми символізуємо предикати великими літерами від А до Z, з індексами або без них. Коли ми дамо ключ символізації для предикатів, ми не будемо використовувати пробіли; замість цього ми будемо використовувати змінні. За умовністю константи вказані в кінці ключа. Таким чином, ми могли б написати ключ, який виглядає так:

Сокира:\(x\) злиться.
Hx:\(x\) щасливий.
T ₁ xy:\(x\) настільки ж високий або вище, ніж\(y\).
T ₂ xy:\(x\) настільки ж жорсткий або жорсткіший, ніж\(y\).
Bxyz:\(y\) знаходиться між\(x\) і\(zy\).
d: Дональд
г: Грегор
м: Мерібет

Ми можемо символізувати речення, в яких використовується будь-яка комбінація цих присудків і термінів. Наприклад:

1. Дональд сердитий.
2. Якщо Дональд злиться, то так само і Грегор і Мерібет.
3. Мерібет принаймні така ж висока і така ж жорстка, як Грегор.
4. Дональд коротше Грегора.
5. Грегор знаходиться між Дональдом і Мерібет.

Речення 1 є простим:\(Ad\). «\(x\)'у ключовому записі'\(Ax\) 'є лише заповнювачем; ми можемо замінити його іншими термінами під час перекладу.

Речення 2 можна перефразувати як: «Якщо\(Ad\), то\(Ag\) і»\(Am\). QL має всі істинно-функціональні зв'язки SL, тому ми перекладемо це як\(Ad\) → (\(Ag\)&\(Am\)).

Речення 3 можна перекласти як\(T\) ₁\(mg\) &\(T\) ₂\(mg\).

Речення 4 може здатися так, ніби воно вимагає нового присудка. Якщо нам потрібно було лише символізувати це речення, ми могли б визначити присудок, як\(Sxy\) означає «\(x\)коротше, ніж»\(y\). Однак це ігнорувало б логічний зв'язок між «коротшим» і «вище». Розглядається тільки як символи QL, немає зв'язку між\(S\) і\(T\) ₁. Вони взагалі можуть означати що завгодно. Замість того, щоб вводити новий присудок, ми перефразовуємо речення 4, використовуючи присудки вже в нашому ключі: «Це не так, що Дональд такий високий або вищий, ніж Грегор». Ми можемо перевести його як ¬\(T\) ₁\(dg\).

Речення 5 вимагає, щоб ми приділили пильну увагу порядку термінів у ключі. Це стає\(Bdgm\).