Розділ 4: Переклад на QL

Тепер у нас є всі частини QL. Переклад більш складних речень буде лише питанням знання правильного способу об'єднання предикатів, констант, квантіфікаторів, змінних та зв'язків. Розглянемо ці пропозиції:

14. Кожна монета в кишені - чверть.
15. Якась монета на столі коштує копійка.
16. Не всі монети на столі стоять копійками.
17. Жодна з монет у моїй кишені не є копійками.

Надаючи ключ символізації, нам потрібно вказати UD. Оскільки ми говоримо про монети в кишені та на столі, UD повинен принаймні містити всі ці монети. Оскільки ми не говоримо ні про що, крім монет, ми дозволяємо UD бути всіма монетами. Оскільки ми не говоримо про якісь конкретні монети, нам не потрібно визначати будь-які константи. Отже, ми визначаємо цей ключ:

UD: всі монети
Px:\(x\) у мене в кишені.
Tx:\(x\) знаходиться на столі.
Qx:\(x\) становить чверть.
Dx:\(x\) це копійка.

Речення 14 найбільш природно перекладається універсальним квантифікатором. Універсальний квантифікатор говорить щось про все в UD, а не лише про монети в моїй кишені. Речення 14 означає, що (для будь-якої монети) якщо ця монета в моїй кишені, то це чверть. Таким чином, ми можемо перевести його як\(x\) (\(Px\)→\(Qx\)).

Оскільки речення 14 стосується монет, які є як у моїй кишені, так і чверті, можливо, буде спокусливо перевести його за допомогою кон'юнкції. Однак речення\(x\) (\(Px\)&\(Qx\)) означало б, що все в UD є і в кишені, і на чверть: Усі монети, які існують, - це чверті в моїй кишені. Це було б божевільною річчю сказати, і це означає щось дуже інше, ніж речення 14.

Речення 15 найбільш природно перекладається з екзистенціальним квантифікатором. Це говорить про те, що є якась монета, яка є і на столі, і яка є копійкою. Таким чином, ми можемо перевести його як\(x\) (\(Tx\)&\(Dx\)).

Зверніть увагу, що нам потрібно було використовувати умовний з універсальним квантіфікатором, але ми використовували сполучення з екзистенціальним квантифікатором. Що означало б\(x\) написати(\(Tx\) →\(Dx\))? Напевно, не те, що ви думаєте. Це означає, що є якийсь член UD, який задовольняв би підформулу; грубо кажучи, є\(a\) таке, що (\(Ta\)→\(Da\)) є істинним. У SL\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) логічно еквівалентний ¬ ₵\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{A}\) і це також буде триматися в QL. Так\(x\) (\(Tx\)→\(Dx\)) істинно, якщо є якийсь такий, що (¬ İ\(Ta\)\(Da\)); тобто, це правда, якщо якась монета або не знаходиться на столі, або є копійкою. Звичайно, є монета, яка не на столі— є монети в багатьох інших місцях. Так що\(x\) (\(Tx\)→\(Dx\)) тривіально вірно. Умовним, як правило, є природним сполучним для використання з універсальним квантифікатором, але умовний в межах екзистенціального квантіфікатора може робити дуже дивні речі. Як правило, не ставте умовні дані в сферу екзистенціальних квантіфікаторів, якщо ви не впевнені, що вам це потрібно.

Речення 16 можна перефразувати як: «Це не так, що кожна монета на столі - це копійка». Таким чином, ми можемо перевести його як\(x\) ¬(\(Tx\) →\(Dx\)). Ви можете подивитися на речення 16 і перефразувати його як: «Деяка монета на столі - це не копійка». Потім ви б перевели його як\(x\) (\(Tx\)&¬\(Dx\)). Хоча це, мабуть, не очевидно, але ці два переклади логічно еквівалентні. (Це пов'язано з логічною еквівалентністю між\(x\)\(\mathcal{A}\) ¬і\(x\) ¬\(\mathcal{A}\), а також еквівалентністю між ¬ (\(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\)) і\(\mathcal{A}\) & ¬\(\mathcal{B}\).)

Речення 17 можна перефразувати як: «Це не так, що в моїй кишені є якийсь копійки». Це можна перекласти як\(x\) ¬(\(Px\) &\(Dx\)). Це також може бути перефразовано як: «Все в моїй кишені не копійки», а потім можна перекласти як «\(x\)(\(Px\)→¬\(Dx\)). Знову два переклади логічно еквівалентні. Обидва є правильними перекладами речення 17.

Тепер ми можемо перевести аргумент з p. 47, який мотивував потребу в квантіфікаторах:

Віллард - логік. Всі логіки носять смішні капелюхи.
.7. Віллард носить смішний капелюх.

УД: люди
Lx:\(x\) це логік.
Fx:\(x\) носить смішний капелюх.
w: Віллард

Переводячи, отримуємо:

\(Lw\)
4\(x\) (\(Lx\)→\(Fx\))
.. \(Fw\)

Це фіксує структуру, яка була залишена поза перекладом SL цього аргументу, і це є дійсним аргументом у QL.

Порожні присудки

Присудок не повинен застосовуватися ні до чого в UD. Присудок, що не застосовується ні до чого в UD, називається порожнім присудком.

Припустимо, ми хочемо символізувати ці два речення:

18. Кожна мавпа знає мову жестів.
19. Деякі мавпи знають мову жестів.

Можна написати ключ символізації для цих пропозицій таким чином:

УД: тварини
Mx:\(x\) це мавпа.
Sx:\(x\) знає мову жестів.

Речення 18 тепер можна перекласти як «\(x\)(\(Mx\)→\(Sx\)).

Речення 19 стає\(x\) (\(Mx\)&\(Sx\)).

Спокусливо сказати, що речення 18 тягне за собою речення 19; тобто: якщо кожна мавпа знає мову жестів, то повинно бути, що якась мавпа знає мову жестів. Це дійсний висновок в арістотелевській логіці: Всі\(M\) s є\(S\),.. деякі\(M\) є\(S\). Однак тягне за собою не тримається в QL. Речення «\(x\)(\(Mx\)→\(Sx\)) може бути істинним, навіть якщо речення\(x\) (\(Mx\)&\(Sx\)) є хибним.

Як це може бути? Відповідь походить від розгляду того, чи будуть ці речення правдивими чи хибними, якби не було мавп.

-UD повинен мати принаймні один член. -Присудок може застосовуватися до деяких, всіх або жодних членів УД. -Константа повинна вибрати рівно один член UD. Член UD може бути обраний однією константою, багатьма константами або взагалі відсутнім.

Ми визначили і таким чином, що\(\mathcal{A}\) еквівалентно ¬¬\(\mathcal{A}\). Таким чином, універсальний кількісний показник не передбачає існування що-небудь - лише неіснування. Якщо речення 18 вірно, то немає мавп, які не знають мови жестів. Якби мавп не було, то «\(x\)(\(Mx\)→\(Sx\))» було б істинним, а\(x\) (\(Mx\)&\(Sx\)) було б помилковим.

Ми дозволяємо порожні присудки, тому що хочемо мати можливість говорити такі речі, як: «Я не знаю, чи є мавпи, але будь-які мавпи, які там знають мову жестів». Тобто ми хочемо мати можливість мати предикати, які ні до чого не посилаються (або не можуть).

Що станеться, якщо\(R\) до тлумачення вище додати порожній присудок? Наприклад, ми можемо\(Rx\) визначити, що означає «\(x\)це холодильник». Тепер речення\(x\) (\(Rx\)→\(Mx\)) буде істинним. Це контрінтуїтивно, так як ми не хочемо говорити про те, що існує ціла купа мавп холодильника. Однак важливо пам'ятати, що\(x\) (\(Rx\)→\(Mx\)) означає, що будь-який член UD, який є холодильником, є мавпою. Оскільки UD - це тварини, холодильників в UD немає, і тому пропозиція тривіально вірна.

Якби ви насправді переводили речення «Усі холодильники - мавпи», тоді ви хотіли б включити прилади в UD. Тоді присудок не\(R\) був би порожнім, а речення\(x\) (\(Rx\)→\(Mx\)) було б помилковим.

Вибір Всесвіту дискурсу

Відповідна символізація англомовного речення в QL буде залежати від ключа символізації. У певному сенсі це очевидно: має значення, чи\(Dx\) означає «\(x\)ласощі» чи «\(x\)небезпечні». Значення пропозицій в QL також залежить від UD.

Нехай\(Rx\) означає '\(x\)це троянда,' нехай\(Tx\) означає '\(x\)має шип,' і розглянемо це речення:

20. У кожної троянди є шип.

Заманливо сказати, що речення 20 має бути перекладено як\(x\) (\(Rx\)→\(Tx\)). Якщо UD містить всі троянди, це було б правильно. Але якщо UD - це просто речі на моєму кухонному столі, то «\(x\)(\(Rx\)→\(Tx\)) означатиме лише те, що кожна троянда на моєму кухонному столі має шип. Якби на моєму кухонному столі немає троянд, пропозиція була б банально вірною.

Універсальний квантифікатор коливається лише над членами UD, тому нам потрібно включити всі троянди в UD, щоб перевести речення 20. У нас є два варіанти. По-перше, ми можемо обмежити UD, щоб включити всі троянди, але тільки троянди. Тоді речення 20 стає\(xTx\). Це означає, що все в УД має шип; так як UD якраз і є набір троянд, це означає, що у кожної троянди є шип. Цей параметр може врятувати нас від проблем, якщо кожне речення, яке ми хочемо перевести за допомогою символічного ключа, стосується троянд.

По-друге, ми можемо дозволити UD містити речі, крім троянд: рододендрони, щури, стрілки, і все інше. Тоді речення 20 має бути «\(x\)(\(Rx\)→\(Tx\)).

Якби ми хотіли, щоб універсальний квантор означав кожну річ без обмежень, то ми могли б спробувати вказати UD, який містить все. Це призвело б до проблем. Чи «все» включає речі, які тільки уявляли, як вигадані персонажі? З одного боку, ми хочемо мати можливість символізувати суперечки про Гамлета або Шерлока Холмса. Тому нам потрібно мати можливість включення вигаданих символів в UD. З іншого боку, нам ніколи не потрібно говорити про кожну річ, якої не існує. Це може навіть не мати сенсу. Тут є філософські питання, які ми не будемо намагатися вирішувати. Ми можемо уникнути цих труднощів, завжди вказуючи UD. Наприклад, якщо ми маємо на увазі говорити про рослини, людей та міста, то UD може бути «живими істотами та місцями».

Припустимо, що ми хочемо перевести речення 20 і, з тим же ключем символізації, перевести ці пропозиції:

21. У Есмерельди в волоссі троянда.
22. Всі перехрещуються з Есмерельдою.

Нам потрібен UD, який включає троянди (щоб ми могли символізувати речення 20) та UD, що включає людей (щоб ми могли перекласти речення 21—22). Ось відповідний ключ:

УД: люди і рослини
Px:\(x\) це людина.
Rx:\(x\) це троянда.
Tx:\(x\) має шип.
Cxy:\(x\) це хрест с\(y\).
Hxy:\(x\) має\(y\) в волоссі.
e: Есмерельда

Оскільки у нас немає присудка, що означає «... має троянду у волоссі», переклад речення 21 вимагатиме перефразування. У реченні сказано, що в волоссі Есмерельди є троянда; тобто є щось, що є одночасно трояндою і є у волоссі Есмерельди. Таким чином, ми отримуємо:\(x\) (\(Rx\)&\(Hex\)).

Заманливо перекласти речення 22 як\(xCxe\). На жаль, це означатиме, що кожен член УД перетинається з Esmerelda— як людьми, так і рослинами. Це означало б, наприклад, що троянда в волоссі Есмерельди перехрещена з нею. Звичайно, речення 22 це не означає.

«Кожен» означає кожну людину, а не кожен член УД. Таким чином, ми можемо перефразувати речення 22 як: «Кожна людина перехрещується з Есмерельдою». Ми знаємо, як перекладати речення так:\(x\)\(Px\)\(Cxe\)

Загалом, універсальний квантифікатор може використовуватися для означення «всіх», якщо UD містить лише людей. Якщо в УД є люди та інші речі, то «кожен» повинен розглядатися як «кожна людина».

Переклад займенників

При перекладі на QL важливо розуміти структуру пропозицій, які ви хочете перевести. Важливим є остаточний переклад в QL, і іноді ви зможете перейти від речення англійської мови безпосередньо до речення QL. Інший раз це допомагає перефразувати речення один або кілька разів. Кожен наступний перефраз повинен переходити від вихідного речення ближче до чогось, що ви можете перевести безпосередньо в QL.

Для наступних кількох прикладів ми будемо використовувати цей ключ символізації:

UD: люди
Gx:\(x\) вміють грати на гітарі.
Rx:\(x\) це рок-зірка.
л: Леммі

Тепер розглянемо такі пропозиції:

23. Якщо Леммі вміє грати на гітарі, то він рок-зірка.
24. Якщо людина вміє грати на гітарі, то він рок-зірка.

Речення 23 та речення 24 мають однаковий наслідок («... він рок-зірка»), але вони не можуть бути перекладені однаково. Допомагає перефразовувати оригінальні пропозиції, замінюючи займенники явними посиланнями.

Речення 23 можна перефразувати як: «Якщо Леммі вміє грати на гітарі, то Леммі - рок-зірка». Це, очевидно, можна перекласти як\(Gl\) →\(Rl\).

Речення 24 слід перефразувати по-іншому: «Якщо людина може грати на гітарі, то ця людина є рок-зіркою». Це речення не стосується якоїсь конкретної людини, тому нам потрібна змінна. Переклавши на півдорозі, ми можемо перефразувати речення як: «Для будь-якої людини\(x\), якщо\(x\) вміє грати на гітарі, то\(x\) це рок-зірка». Тепер це можна перекласти як «\(x\)(\(Gx\)→\(Rx\)). Це те саме, що «Кожен, хто може грати на гітарі, є рок-зіркою».

Розглянемо наступні наступні пропозиції:

25. Якщо хто може грати на гітарі, то Леммі може.
26. Якщо хтось може грати на гітарі, то він або вона рок-зірка.

Ці два речення мають однаковий попередник («Якщо хтось може грати на гітарі...»), але вони мають різні логічні структури.

Речення 25 можна перефразувати: «Якщо хтось може грати на гітарі, то Леммі може грати на гітарі». Попереднє і послідовне є окремими реченнями, тому його можна символізувати умовним як основним логічним оператором:\(xGx\) →\(Gl\).

Речення 26 можна перефразувати: «Для будь-кого, якщо той може грати на гітарі, то це рок-зірка». Було б помилкою символізувати це екзистенціальним квантифікатором, тому що мова йде про всіх. Речення еквівалентно «Усі гітаристи - рок-зірки». Найкраще це перекладається\(x\) як(\(Gx\) →\(Rx\)).

Англійські слова «any» та «будь-хто» зазвичай повинні бути перекладені за допомогою квантіфікаторів. Як показують ці два приклади, вони іноді вимагають екзистенціального квантифікатора (як у реченні 25), а іноді до універсального квантора (як у реченні 26). Якщо вам важко визначити, що потрібно, перефразуйте речення з англомовним реченням, яке використовує слова крім «будь-якого» або «будь-кого».

Квантіфікатори та сфера застосування

У реченні\(xGx\) →\(Gl\) сферою екзистенціального квантифікатора є вираз\(Gx\). Чи має значення, якби обсяг кількісника був цілим реченням? Тобто, чи означає речення\(x\) (\(Gx\)→\(Gl\)) щось інше?

З ключем, наведеним вище,\(xGx\) →\(Gl\) означає, що якщо є якийсь гітарист, то Леммі є гітаристом. \(x\)(\(Gx\)→\(Gl\)) означало б, що є якась людина така, що якби ця людина була гітаристом, то Леммі був би гітаристом. Нагадаємо, що умовний тут є матеріальним умовним; умовний істинний, якщо попередник хибний. Нехай константа р позначає автора цієї книги, того, хто вже точно не гітарист. Речення\(Gp\) →\(Gl\) є істинним, тому що\(Gp\) є помилковим. Оскільки хтось (а саме\(p\)) задовольняє речення, то\(x\) (\(Gx\)→\(Gl\)) є істинним. Речення вірне тому, що є негітарист, незалежно від майстерності Леммі з гітарою.

Щось дивне сталося, коли ми змінили сферу дії квантіфікатора, тому що умовне в QL є матеріальним умовним. Для того, щоб сенс залишався таким же, нам довелося б змінити квантор:\(xGx\) →\(Gl\) означає те саме, що і\(x\) (\(Gx\)→\(Gl\)), а\(x\) (\(Gx\)→\(Gl\)) означає те саме, що і\(xGx\) →\(Gl\).

Ця дивавість не виникає з іншими зв'язками або якщо змінна є наслідком умовної. Наприклад,\(xGx\) &\(Gl\) означає те саме, що і\(x\) (\(Gx\)&\(Gl\)), а\(Gl\)\(xGx\) →означає те ж саме, що і\(x\) (\(Gl\)→\(Gx\)).

Неоднозначні присудки

Припустимо, ми просто хочемо перевести це речення:

27. Адіна - досвідчений хірург.

Нехай УД буде людьми, нехай\(Kx\) означає «\(x\)це кваліфікований хірург», і нехай означає Адіна. Речення 27 - це просто\(Ka\).

Припустимо замість цього, що ми хочемо перевести цей аргумент:

У лікарні буде найняти тільки кваліфікованого хірурга. Всі хірурги жадібні.
Біллі - хірург, але не кваліфікований. Тому Біллі жадібний, але лікарня не візьме його на роботу.

Ми повинні відрізняти бути кваліфікованим хірургом від просто хірурга. Отже, ми визначаємо цей ключ символізації:

УД: люди
Gx:\(x\) жадібний.
Hx: Лікарня буде наймати\(x\).
Rx:\(x\) є хірургом.
Kx:\(x\) кваліфікований.
б: Біллі

Тепер аргумент можна перекласти таким чином:

\(x\)[¬ (\(Rx\)&\(Kx\)) →¬\(Hx\)
]\(x\) ↑ (\(Rx\)→\(Gx\))
\(Rb\)\(Kb\)
&¬. \(Gb\)&¬\(Hb\)

Далі припустимо, що ми хочемо перевести цей аргумент:

Керол - досвідчений хірург і тенісистка. Тому Керол - вміла тенісистка.

Якщо ми почнемо з символізаційного ключа, який ми використовували для попереднього аргументу, ми могли б додати присудок (нехай означає Tx '\(x\)є тенісистом') і константу (нехай\(c\) означає Керол). Тоді аргументом стає:

(\(Rc\)&\(Kc\)) &\(Tc\)
.. \(Tc\)&\(Kc\)

Цей переклад - катастрофа! Він приймає те, що англійською мовою є жахливим аргументом і перекладає його як вагомий аргумент в QL. Проблема полягає в тому, що існує різниця між бути кваліфікованим як хірург і кваліфікований як тенісист. Правильний переклад цього аргументу вимагає двох окремих предикатів, по одному для кожного типу навичок. Якщо ми дозволимо\(K\) ₁\(x\) означає «\(x\)кваліфікований як хірург» і\(K\) ₂\(x\) означає «\(x\)кваліфікований як тенісист», то ми можемо символізувати аргумент таким чином:

(\(Rc\)&\(K\) ₁\(c\)) &\(Tc\)
.. \(Tc\)&\(K\) ₂\(c\)

Як і аргумент англійської мови, який він перекладає, це недійсний.

Мораль цих прикладів полягає в тому, що потрібно бути обережним, щоб символізувати присудки неоднозначно. Подібні проблеми можуть виникнути і з присудками, такими як хороші, погані, і великі, і малі. Подібно до того, як кваліфіковані хірурги та кваліфіковані тенісисти мають різні навички, великі собаки, великі миші та великі проблеми по-різному великі.

Чи достатньо мати присудок, який означає «\(x\)це кваліфікований хірург», а не два присудки «\(x\)вмілий» і «хірург»?\(x\) Іноді. Як показує речення 27, іноді нам не потрібно розрізняти кваліфікованих хірургів від інших хірургів.

Чи повинні ми завжди розрізняти різні способи бути кваліфікованими, хорошими, поганими чи великими? Ні. Як показує аргумент про Біллі, іноді нам потрібно говорити лише про один вид майстерності. Якщо ви перекладаєте аргумент, який стосується лише собак, то добре визначити присудок, що означає «\(x\)великий». Однак, якщо UD включає собак та мишей, то, мабуть, найкраще зробити присудок означає «\(x\)великий для собаки».

Кілька квантіфікаторів

Розглянемо цей наступний ключ символізації та речення, що слідують за ним:

УД: Люди і собаки
Dx:\(x\) це собака.
Fxy:\(x\) є другом\(y\).
Оксі:\(x\) володіє\(y\).
f: Фіг
г: Джеральд

28. Фігур - собака.
29. Джеральд - власник собаки.
30. Хтось - власник собаки.
31. Всі друзі Джеральда - власники собак.
32. Кожен власник собаки є другом власника собаки.

Речення 28 легко:\(Df\).

Речення 29 можна перефразувати як: «Є собака, якою володіє Джеральд». Це можна перекласти як\(x\) (\(Dx\)&\(Ogx\)).

Речення 30 можна перефразувати як: «Є\(y\) такі, які\(y\) є власником собаки». Підречення «\(y\)є власником собаки» подібно до речення 29, за винятком того, що мова йде про,\(y\) а не про Джеральда. Таким чином, ми можемо перевести речення 30\(y\) як\(x\) (\(Dx\)&\(Oyx\)).

Речення 31 можна перефразувати як: «Кожен друг Джеральда є власником собаки». Переклавши частину цього речення, отримаємо\(x\) (\(Fxg\)→ '\(x\)є власником собаки'). Знову ж таки, важливо визнати, що «\(x\)є власником собаки» структурно так само, як речення 29. Оскільки у нас вже є\(x\) -квантіфікатор, нам знадобиться інша змінна для екзистенціального квантифікатора. Будь-яка інша змінна підійде. Використовуючи\(z\), речення 31 можна перекласти як «\(x\)[\(Fxg\)\(z\)→(\(Dz\) &\(Oxz\))].

Речення 32 можна перефразувати як «Для будь-якого\(x\), хто є власником собаки, є власник собаки, який є\(x\) другом». Частково перекладається, це стає

\(x\)[\(x\)є власником собаки\(y\) →(\(y\) є власником собаки&\(Fxy\))].

Завершуючи переклад, пропозиція 32 стає

\(x\)[\(z\)(\(Dz\)&\(Oxz\))\(z\) →(\(y\) &\(Oyz\))\(Dz\) &\(Fxy\))].

Розглянемо цю символізацію ключовими і такими реченнями:

UD: люди
Lexy:\(x\) любить\(y\).
i: Імре.
К: Карл.

33. Імре подобається всім, що подобається Карлу.
34. Є хтось, кому подобається кожен, хто любить всіх, що йому подобається.

Речення 33 можна частково перекласти\(x\) як( Карлу подобається\(x\) → Імре подобається\(x\)). Це стає «»\(x\) (Lkx → Lix).

Речення 34 - це майже язик-твістер. Мало надії записати весь переклад відразу, але ми можемо продовжити невеликими кроками. Початковий, частковий переклад може виглядати наступним чином:

\(x\)Всім, хто любить всіх, хто\(x\) любить подобається\(x\)

Частина, яка залишилася в англійській мові, є універсальним реченням, тому переведемо далі:

\(y\)(\(x\)\(y\)подобається всім, хто\(x\) любить →\(x\) любить\(y\)).

Попереднє умовне структурно так само, як речення 33, з y і\(x\) замість Імре і Карла. Отже, речення 34 можна повністю перекласти таким чином.

\(x\)\(y\)[\(z\)(\(Lxz\)→\(Lyz\)) →\(Lxy\)]

Символізуючи речення з декількома квантифікаторами, найкраще діяти невеликими кроками. Перефразовуйте англійське речення так, щоб логічна структура легко символізувалася в QL. Потім перекладіть поштучно, замінюючи складне завдання перекладу довгого речення простішим завданням перекладу коротших формул.