Розділ 1: Від речень до присудків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52226

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо наступний аргумент, який, очевидно, справедливий в англійській мові:

Якщо всі знають логіку, то або ніхто не заплутається, або все будуть. Всі будуть розгублені тільки в тому випадку, якщо ми спробуємо повірити в протиріччя. Це клас логіки, тому всі знають логіку. Якщо ми не спробуємо повірити в протиріччя, то ніхто не заплутається.

Для того, щоб символізувати це в SL, нам знадобиться ключ символізації.

Л: Всім знайома логіка.
Н: Ніхто не заплутається.
Е: Всі будуть розгублені.
Б: Ми намагаємося вірити в протиріччя.

Зверніть увагу, що\(N\) і\(E\) обидва про людей плутаються, але вони є двома окремими літерами пропозицій. Ми не змогли\(E\) замінити на ¬\(N\). Чому б і ні? ¬\(N\) означає «Це не так, що ніхто не буде збентежений». Це було б так, якби навіть одна людина була збентежена, тому це довгий шлях від того, щоб сказати, що всі будуть розгублені.

Після того, як у нас є окремі\(N\) літери речення для і\(E\), однак, ми стираємо будь-який зв'язок між ними. Вони є лише двома атомними реченнями, які можуть бути істинними чи хибними незалежно. В англійській мові ніколи не могло бути так, що і ніхто, і всі були збентежені. Як речення SL, однак, існує присвоєння істинного значення, для якого N і E є істинними.

Такі вирази, як «ніхто», «кожен» та «хтось», називаються квантіфірами. Переводячи\(N\) і\(E\) як окремі атомні речення, ми залишаємо квантифіковану структуру речень. На щастя, структура квантіфіра - це не те, що робить цей аргумент дійсним. Таким чином, ми можемо сміливо його ігнорувати. Щоб переконатися в цьому, ми переводимо аргумент в SL:

\(L\)→ (\(N\)₵\(E\))
\(E\) →\(B\)
\(L\)
.. ¬\(B\) →\(N\)

Це вірний аргумент в SL. (Ви можете зробити таблицю правди, щоб перевірити це.)

Тепер розглянемо ще один аргумент. Цей також дійсний англійською мовою.

Віллард - логік. Всі логіки носять смішні капелюхи.
.7. Віллард носить смішну шапку.

Щоб символізувати його в SL, ми визначаємо ключ символізації:

Л: Віллард - логік.
Відповідь: Всі логіки носять смішні капелюхи.
F: Віллард носить смішний капелюх.

Тепер символізуємо аргумент:

\(L\)
\(A\)
.7. \(F\)

Це недійсне в SL. (Знову ж таки, ви можете підтвердити це таблицею істинності.) Тут щось дуже не так, тому що це явно вагомий аргумент англійською мовою. Символізація в SL залишає всю важливу структуру. Знову ж таки, переклад на SL опускає кількісну структуру: речення «Усі логіки носять смішні капелюхи» стосується як логіків, так і про носіння капелюхів. Не перекладаючи цю структуру, ми втрачаємо зв'язок між логіком Віллард і одягненим у капелюх Віллард.

Деякі аргументи зі структурою квантіфітора можуть бути захоплені в SL, як у першому прикладі, хоча SL ігнорує структуру квантіфітора. Інші аргументи повністю збігаються в SL, як у другому прикладі. Зверніть увагу, що проблема не в тому, що ми допустили помилку, символізуючи другий аргумент. Це найкращі символізації, які ми можемо дати для цих аргументів у SL.

Як правило, якщо аргумент, що містить квантіфіри, виявляється дійсним у SL, тоді аргумент англійської мови є дійсним. Якщо він виявиться недійсним в SL, то ми не можемо сказати, що аргумент англійської мови є недійсним. Аргумент може бути дійсним через кількісну структуру, яку має аргумент природної мови і якої аргументу в SL бракує.

Аналогічно, якщо речення з квантифіторами виходить як тавтологія в SL, то англійське речення логічно вірно. Якщо це виходить як контингент у SL, то це може бути пов'язано зі структурою кількісних показників, які видаляються, коли ми перекладаємо формальною мовою.

Для того, щоб символізувати аргументи, які спираються на структуру квантіфітора, нам потрібно розробити іншу логічну мову. Ми будемо називати цю мову квантифікованої логікою, QL.