2.10: Тавтології, протиріччя та контингентні заяви

Чи можете ви придумати твердження, яке ніколи не може бути помилковим? Як щодо твердження, яке ніколи не може бути правдою? Це важче, ніж ви думаєте, якщо ви не знаєте, як використовувати функціональні оператори істини для побудови тавтології або протиріччя. Тавтологія - це твердження, яке вірно в силу своєї форми. Таким чином, ми навіть не повинні знати, що означає твердження, щоб знати, що це правда. Навпаки, протиріччя - це твердження, яке є помилковим в силу своєї форми. Нарешті, контингент твердження - це твердження, правда якого залежить від того, яким є світ насправді. Таким чином, це твердження, яке може бути або правдивим, або хибним - це просто залежить від того, якими насправді є факти. На відміну від цього, є важливий сенс, в якому правда тавтології чи хибність протиріччя не залежить від того, яким є світ. Як сказали б філософи, тавтології вірні в кожному можливому світі, тоді як протиріччя є помилковими у кожному можливому світі. Розглянемо таке твердження, як:

Метту або 40 років, або немає 40 років.

Це твердження є тавтологією, і воно має певну форму, яку можна представити символічно так:

р в ~п

На відміну від цього, розглянемо таке твердження, як:

Метту і 40 років, і не 40 років.

Це твердження є протиріччям, і воно має певну форму, яку можна представити символічно так:

р ⋅ ~р

Нарешті, розглянемо таке твердження, як:

Метту або 39 років, або 40 років

Це твердження є контингентним твердженням. Це не повинно бути істинним (як тавтології) або помилковим (як це роблять протиріччя). Натомість його правда залежить від того, яким є світ. Припустимо, що Метту 39 років. У такому випадку твердження вірно. Але припустимо, йому 37 років. У такому випадку твердження є помилковим (так як йому ні 39, ні 40). Ми можемо використовувати таблиці істинності, щоб визначити, чи є твердження тавтологією, протиріччям або контингентом. У тавтології таблиця істинності буде такою, що кожен рядок таблиці істинності під основним оператором буде правдою. У протиріччі таблиця істинності буде такою, що кожен рядок таблиці істинності під основним оператором буде помилковим. А контингентні твердження будуть такими, що під головним оператором оператора оператора є суміш true і false.

Наступні дві таблиці істинності є прикладами тавтологій і протиріч відповідно.

А	Б	(A, Al B) v A
Т	Т	Т Т
Т	F	Ф Т
F	Т	Т Т
F	F	Т Т

А	Б	(А в Б) ⋅ (~A ⋅ ~B)
Т	Т	Т Ф Ф Ф Ф
Т	F	Т Ф Ф Ф Т
F	Т	Т Ф Т Ф Ф
F	F	Ф Ф Т Ф Т

Зверніть увагу, що в другій таблиці істинності, Я повинен був зробити досить багато роботи, перш ніж я міг з'ясувати, що значення істини основного оператора були. Мені довелося спочатку визначити лівий кон'юнкт (A v B), а потім правий кон'юнкт (~A ⋅ ~B), але для того, щоб з'ясувати значення істинності правого кон'юнкта (який сам по собі є кон'юнктом), мені довелося визначити заперечення A і B. Побудова таблиць істини іноді може бути справою, але як тільки ви зрозумієте, що ви робите (і чому), це, звичайно, не дуже складно.

Вправа

Побудуйте таблицю істинності, щоб визначити, чи є такі твердження тавтологіями, протиріччями або контингентними твердженнями.

1. A TL (А ⋅ Б)
2. (A ⋅ B) taLi (~A - ~ B)
3. (A ⋅ ~A), Це B
4. (A, TL A) taLi (B ⋅ ~B)
5. (A ⋅ B) taLi (А в Б)
6. (А в Б) taLi (А ⋅ Б)
7. (~A, TL ~ B) taLi (~B, TL ~ A)
8. (A, TL B) taLi (~B, TL ~ A)
9. (Б v ~B), Це A
10. (А в Б) в ~А