2.3: Заперечення та диз'юнкція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52023

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми введемо другий і третій істинно-функціональні зв'язки: заперечення і диз'юнкція. Почнемо з заперечення, так як це легше з двох схопити. Заперечення - це істинно-функціональний оператор, який перемикає істинне значення пропозиції з false на true або з true на false. Наприклад, якщо твердження «собаки - ссавці» вірно (яке воно є), то ми можемо зробити це твердження помилковим, додавши заперечення. В англійській мові заперечення найбільш природно додається безпосередньо перед іменною фразою, яка слідує за зв'язковим дієсловом, як це:

Собаки не ссавці.

Але ще один спосіб додавання заперечення - це фраза «це не так», як це:

Це не так, що собаки є ссавцями.

Будь-яке з цих англійських речень висловлює одне і те ж судження, яке є просто запереченням атомного пропозиції «собаки - ссавці». Звичайно, ця пропозиція є помилковою, оскільки правда, що собаки є ссавцями. Подібно до того, як ми можемо зробити істинне твердження false, заперечуючи його, ми також можемо зробити помилкове твердження true, додавши заперечення. Наприклад, твердження «Цинциннаті - столиця Огайо» є помилковим. Але ми можемо зробити це твердження істинним, додавши заперечення:

Цинциннаті не є столицею Огайо

Існує багато різних способів вираження заперечень англійською мовою. Ось кілька способів вираження попередньої пропозиції по-різному англійською мовою:

Цинциннаті не є столицею Огайо

Неправда, що Цинциннаті - столиця Огайо

Це не так, що Цинциннаті є столицею Огайо.

Кожне з цих англійських речень висловлює одне і те ж справжнє твердження, яке є просто запереченням атомного пропозиції «Цинциннаті - столиця Огайо». Оскільки це твердження є помилковим, його заперечення є істинним.

Є один аспект, в якому заперечення відрізняється від трьох інших істинно- функціональних зв'язків, які ми введемо в цій главі. На відміну від трьох інших, заперечення не пов'язує двох різних суджень. Тим не менш, ми називаємо це істинно-функціональним сполучним, тому що, хоча він насправді не з'єднує дві різні пропозиції, він змінює істинну цінність пропозицій істинно-функціональним способом. Тобто, якщо ми знаємо істинну цінність пропозиції, яку ми заперечуємо, то ми знаємо істинну цінність отриманого запереченого судження. Цю інформацію ми можемо представити в таблиці істинності для заперечення. У наступній таблиці символ, який ми будемо використовувати для представлення заперечення, називається «тильда» (~). (Ви можете знайти тильду у верхній лівій частині клавіатури.)

р	~р
Т	F
F	Т

Ця таблиця істинності представляє значення істини функціональної сполучної, заперечення, яке представлено тильдою в нашому символічному мові. Рядок заголовка таблиці представляє деяку пропозицію p (яка може бути будь-якою пропозицією) і заперечення цієї пропозиції, ~p. Те, що таблиця говорить просто, що якщо пропозиція істинна, то заперечення цієї пропозиції є помилковим (як у першому рядку таблиці); і якщо пропозиція помилкова, то заперечення цієї пропозиції є істинним (як у другому рядку таблиці).

Як ми бачили, легко формувати речення нашою символічною мовою за допомогою тильди. Все, що нам потрібно зробити, це додати тильду до лівої частини існуючого речення. Наприклад, ми могли б представити твердження «Цинциннаті - столиця Огайо», використовуючи велику літеру С, яка називається константою. У пропозіціонной логіці константа - це велика літера, яка представляє атомне пропозицію. У цьому випадку ми могли б представити заяву «Цинциннаті не є столицею Огайо» так:

Так само ми могли б представляти заяву «Толедо - столиця Огайо», використовуючи постійну Т. У цьому випадку ми могли б представляти твердження «Толедо не є столицею Огайо» так:

~Т

Ми також могли б створити речення, яке є сполучником цих двох заперечень, як це:

~C ⋅ ~Т

Чи можете ви зрозуміти, що говорить ця складна пропозиція? (Подумайте про це; ви повинні бути в змозі зрозуміти це, враховуючи ваше розуміння правдиво-функціональних зв'язків, заперечення та сполучення.) У пропозиціях сказано (дослівно): «Цинциннаті не є столицею Огайо, а Толедо не столицею Огайо». У наступних розділах ми дізнаємося, як формувати складні пропозиції, використовуючи різні комбінації кожного з чотирьох істинно-функціональних зв'язків. Перш ніж ми зможемо це зробити, однак, нам потрібно ввести нашу наступну істинно-функціональну сполучну, диз'юнкцію.

Англійське слово, яке найчастіше функціонує як диз'юнкція, - це слово «або». Також поширено, що «або» передує «або» раніше в реченні, як це:

Або Чарлі, або Вайолет відстежували бруд через будинок.

Це речення стверджує, що один чи інший (і, можливо, обидва) з цих людей відстежували бруд через будинок. Таким чином, він складається з наступних двох атомних пропозицій:

Чарлі відстежував бруд через будинок

Фіалка простежувала бруд через будинок

Якщо справа в тому, що Чарлі відстежував бруд по будинку, твердження вірно. Якщо справа в тому, що Вайолет відстежував бруд по будинку, твердження також вірно. Це твердження є лише помилковим, якщо насправді ні Чарлі, ні Вайолет не відстежували бруд через будинок. Це твердження також було б правдою, навіть якби Чарлі і Вайолет відстежували бруд через будинок. Інший приклад диз'юнкції, яка має таку саму схему, можна побачити в кампанії «натисніть його або квиток» Національної адміністрації безпеки дорожнього руху. Подумайте, що означає слоган. Що говорить гасло кампанії:

Або пристебніть ремінь безпеки або отримайте квиток

Це своєрідне попередження: пристебніть ремінь безпеки, або ви отримаєте квиток. Подумайте про умови, при яких це твердження було б правдою. Існує всього чотири різних сценарії:

Ваш ремінь безпеки пристебнутий	Ви не отримуєте квиток	Правда
Ваш ремінь безпеки не пристебнутий	Ви отримуєте квиток	Правда
Ваш ремінь безпеки пристебнутий	Ви отримуєте квиток	Помилковий
Ваш ремінь безпеки не пристебнутий	Ви не отримуєте квиток	Помилковий

Перший і другий сценарії (рядки 1 і 2) досить прямолінійно вірні, відповідно до заяви «click it or tiket». Але припустимо, що ваш ремінь безпеки пристебнутий, чи все ще можна отримати квиток (як у третьому сценарії—рядок 3)? Звичайно, це так! Тобто твердження дозволяє, що це може бути правдою, що ваш ремінь безпеки пристебнутий, і правда, що ви отримуєте квиток. Як же так? (Подумайте про це на секунду, і ви, ймовірно, зрозумієте відповідь.) Припустимо, що ваш ремінь безпеки пристебнутий, але ви перевищуєте швидкість, або ваш задній ліхтар вимкнений, або ви їдете під впливом алкоголю. У будь-якому з цих випадків ви отримаєте квиток, навіть якщо ви були в ремені безпеки. Таким чином, диз'юнкція, натисніть його або квиток, чітко дозволяє твердженню бути правдою навіть тоді, коли обидва диз'юнкти (твердження, що утворюють диз'юнкцію) вірні. Єдиний спосіб, коли диз'юнкція буде показана помилковою, це якщо (коли витягнули) ви не носили ремінь безпеки і все ж не отримали квиток. Таким чином, єдиний спосіб диз'юнкції бути помилковою - це коли обидва диз'юнкти є помилковими.

Ці приклади виявляють закономірність: диз'юнкція - це істинно-функціональне твердження, яке є істинним у кожному випадку, за винятком випадків, коли обидва диз'юнкти є хибними. У нашій символічній мові символ, який ми будемо використовувати для представлення диз'юнкції, називається «клином» (v). (Ви можете просто використовувати нижній регістр «v», щоб написати клин.) Ось таблиця істинності для диз'юнкції:

р	q	р v q
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Як і раніше, заголовок цієї таблиці істинності представляє дві пропозиції (перші два стовпці) і їх диз'юнкцію (останній стовпець). Наступні чотири ряди представляють умови, при яких диз'юнкція істинна. Як ми бачили, диз'юнкція вірна, коли принаймні одна з її диз'юнктів є істинною, в тому числі, коли вони обидва вірні (перші три ряди). Диз'юнкція є помилковою, лише якщо обидва диз'юнкти є помилковими (останній рядок).

Як ми це визначили, клин (v) - це те, що називається «інклюзивним або». Інклюзивний або є диз'юнкція, яка вірна навіть тоді, коли обидва диз'юнкти є істинними.

Однак іноді диз'юнкція чітко передбачає, що твердження вірно тільки в тому випадку, якщо або той, або інший з диз'юнктів вірний, але не обидва. Наприклад, припустимо, що ви знаєте, що Боб розмістився або першим, або другим у гонці, тому що ви пам'ятаєте, як бачив його фотографію в газеті, де він стояв на подіумі (і ви знаєте, що тільки два кращих бігуни в гонці отримують, щоб стати на подіум). Хоча ви не можете згадати, в якому місці він був, ви знаєте, що:

Боб поміщається або першим, або другим у гонці.

Це диз'юнкція, яка побудована з двох різних атомних пропозицій:

Боб поміщений першим в гонці

Боб посів друге місце в гонці

Хоча це звучить незручно писати це таким чином англійською мовою, ми могли б просто з'єднати кожне атомне твердження з «або»:

Боб поміщається першим в гонці або Боб помістив друге місце в гонці.

Це речення чітко вказує на те, що це твердження є диз'юнкцією двох окремих тверджень. Однак також зрозуміло, що в цьому випадку диз'юнкція не була б правдою, якби всі диз'юнкти були правдивими, оскільки не можна, щоб всі диз'юнкти були правдивими, оскільки Боб не може поставити як перше, так і друге. Таким чином, в такому випадку зрозуміло, що «або» мається на увазі як те, що називається «ексклюзивним або». Виключне або є диз'юнкцією, яка вірна лише в тому випадку, якщо той чи інший, але не обидва, з його диз'юнктів є істинним. Коли ви вважаєте, що найкраща інтерпретація диз'юнкції є як виключна або, є способи представити це за допомогою комбінації диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення. Причина, по якій ми інтерпретуємо клин як інклюзивний, а не ексклюзивний, або полягає в тому, що, хоча ми можемо побудувати ексклюзивний або з комбінації інклюзивних або та інших істинно-функціональних зв'язків (як я щойно зазначив), немає ніякого способу побудувати інклюзивний або з ексклюзивного або та іншого правди- функціональні сполучні зв'язки. Ми побачимо, як представляти ексклюзив або в розділі 2.5.

Вправа

Перекладіть наступні англійські речення на нашу офіційну мову, використовуючи сполучник (точка), заперечення (тильда) або диз'юнкція (клин). Використовуйте запропоновані константи, щоб стояти за атомні пропозиції.

1. Або Боб буде швабру, або Том швабру. (B = Боб буде швабра; T = Том буде швабра)
2. Сьогодні не сонячно. (S = сьогодні сонячно)
3. Справа не в тому, що Боб - грабіжник. (B = Боб - грабіжник)
4. Гаррі прибуває або сьогодні ввечері, або завтра ввечері. (A = Гаррі прибуває сьогодні ввечері; B = Гаррі прибуває завтра ввечері)
5. Гарет не любить його ім'я. (G = Гарету подобається його ім'я)
6. Або в понеділок не буде дощу, або у вівторок не буде дощу. (M = У понеділок буде дощ; T = У вівторок буде дощ)
7. Том не любить чізкейк. (Т = Том любить чізкейк)
8. Боб хотів би мати як велику кішку, так і маленьку собаку в якості домашнього улюбленця. (C = Боб хотів би мати велику кішку як домашню тварину; D = Боб хотів би мати маленьку собаку як домашню тварину)
9. Боб Сагет насправді не дуже смішний. (B = Боб Сагет дуже смішний)
10. Альберт Ейнштейн не вірив у Бога. (A = Альберт Ейнштейн вірив у Бога)