4.2: Заяви та символіка

Логіка речення

Версія логічної мови, яку ми використовуємо, часто називається Sentential Logic або SL. Вона називається сентенціальной логікою, тому що основні одиниці мови будуть представляти цілі пропозиції.

Листи речення

У SL великі літери використовуються для представлення основних речень. Розглядається тільки як символ SL, буква А могла означати будь-яке речення. Тому при перекладі з англійської на SL важливо надати ключ символізації. Ключ забезпечує англомовне речення для кожної літери речення, що використовується в символізації. Для прикладу розглянемо такий аргумент:

На столі є яблуко.

Якщо на столі є яблуко, то Дженні добиралася до класу.

∴ Дженні потрапила до класу.

Це, очевидно, вагомий аргумент англійською мовою. Символізуючи його, ми хочемо зберегти структуру аргументу, яка робить його дійсним. Що станеться, якщо ми замінюємо кожне речення буквою? Наш ключ символізації буде виглядати так:

Відповідь: На столі є яблуко.

Б: Якщо на столі є яблуко, то Дженні потрапила до класу.

C: Дженні потрапила до класу.

Потім ми б символізували аргумент таким чином:

A

Б

₵ C

Немає необхідного зв'язку між деяким реченням А, яке може бути будь-яким реченням, і деякими іншими реченнями B і C, які можуть бути будь-якими реченнями. Структура аргументу була повністю втрачена в цьому перекладі. Важливим аргументом є те, що друга передумова - це не просто будь-яке речення, логічно відокремлене від інших речень аргументу. Друга передумова містить першу передумову і висновок як частини. Наш ключ символізації для аргументу повинен включати лише значення для A та C, і ми можемо побудувати другу передумову з цих частин. Отже, ми символізуємо аргумент таким чином:

A

Якщо А, то С.

₵ C

Це зберігає структуру аргументу, що робить його дійсним, але він все ще використовує англійський вираз `If... then... 'Хоча ми в кінцевому підсумку хочемо замінити всі англійські вирази логічними позначеннями, це хороший початок.

Речення, які можна символізувати буквами речень, називаються атомними реченнями, оскільки вони є основними будівельними блоками, з яких можуть бути побудовані більш складні речення. Якою б логічною структурою не було речення, втрачається, коли воно перекладається як атомне речення. З точки зору SL, пропозиція - це всього лише буква. Його можна використовувати для побудови більш складних речень, але його неможливо розібрати.

Всього двадцять шість букв алфавіту, але логічного обмеження кількості атомних пропозицій немає. Ми можемо використовувати одну і ту ж букву, щоб символізувати різні атомні речення, додавши індекс, невелике число, написане після літери. Ми могли б мати ключ символізації, який виглядає так:

A1: Яблуко знаходиться під шафою.

A2: Аргументи в SL завжди містять атомні речення.

A3: Адам Мураха приймає літак з Анкориджа в Олбані.

...

A294: Алітерація гніве інакше привітних астронавтів.

Майте на увазі, що кожен з них - це інша буква пропозиції. Коли в символічному ключі є індекси, важливо стежити за ними.

Ось цікава річ, яку потрібно відзначити, і це має сенс. Всякий раз, коли визначена змінна, ми використовуємо великі літери, і ви можете використовувати будь-яку, яку ви хочете, і часто є гарною ідеєю вибрати ту, яка добре представляє речення, наприклад, використання B для «Барбара чудова». Однак, коли ми

говорячи абстрактно або обговорюючи правила взагалі, ми використовуємо малі літери, виділяємо їх курсивом, і часто починаємо з p і йдемо звідти.

З'єднувальні

Логічні зв'язки використовуються для побудови складних речень з атомних компонентів. У SL є п'ять логічних зв'язків. Вони коротко викладені нижче. Сьогодні ми дивимося на перші 3 і ми будемо дивитися на інші 2 в іншому уроці.

~ = заперечення: `Це не так, що р ', ~p

& = кон'юнкція: `P і q' p & q

v = диз'юнкція: `Або p або q' p v q (так, це просто нижній регістр v, але технічно це інший символ)

aClit = умовний: `Якщо р, то... q' p taLi q (Ви можете скопіювати і вставити «aKLi» або ви можете використовувати >)

↔ = двозастережний: 'p, якщо і тільки якщо q' p ↔ q (можна скопіювати і вставити «↔» або використовувати <>)

заперечення

Розглянемо, як ми можемо символізувати ці речення:

1. Мері в Барселоні.

2. Мері не в Барселоні.

3. Мері десь окрім Барселони.

Для того щоб символізувати пропозицію 1, нам знадобиться одна буква пропозиції. Ми можемо надати ключ символізації:

Б: Мері в Барселоні.

Зверніть увагу, що тут ми даємо B іншу інтерпретацію, ніж ми робили в попередньому розділі. Ключ символізації визначає лише те, що означає B у певному контексті. Життєво важливо, щоб ми продовжували використовувати це значення B до тих пір, поки ми говоримо про Марію та Барселону. Пізніше, коли ми символізуємо різні речення, ми можемо написати новий ключ символізації і використовувати B, щоб означати щось інше.

Тепер, речення 1 просто B.

Оскільки речення 2, очевидно, пов'язане з реченням 1, ми не хочемо вводити іншу букву речення. Якщо поставити його частково англійською мовою, речення означає `Not B. ' Для того щоб це символізувати, нам потрібен символ логічного заперечення. Ми будемо використовувати ~.

Тепер ми можемо перевести `Not B' на ~B, що є реченням 2.

Речення 3 про те, чи є Марія в Барселоні, але воно не містить слова `ні. ' Тим не менш, це логічно еквівалентно реченню 2.

Вони обидва означають: Це не так, що Марія знаходиться в Барселоні.

Таким чином, ми можемо перевести як речення 2, так і речення 3 як ~B Речення може бути символізовано як ~A, якщо його можна перефразувати англійською мовою як `Це не так, що A ' Розглянемо наступні приклади:

4. Віджет можна замінити, якщо він зламається.

5. Віджет незамінний.

6. Віджет не незамінний.

Якщо ми дозволимо R означати `Віджет замінюється', то речення 4 можна перекласти як R.

А як щодо речення 5? Сказати віджет незамінний означає, що це не той випадок, що віджет є змінним. Таким чином, навіть якщо речення 5 не є негативним в англійській мові, ми символізуємо його, використовуючи заперечення як ~ R.

Речення 6 можна перефразувати як «Це не так, що віджет є незамінним». Використовуючи заперечення двічі, ми перекладаємо це як ~R. два заперечення поспіль працюють як заперечення, тому речення означає `Це не так, що це не так, що R ' Якщо подумати про речення англійською мовою, воно логічно еквівалентно реченню 4. Тому, коли ми визначаємо логічну еквівалентність SL, ми переконаємося, що R і ~ ~ R логічно еквівалентні.

Ще приклади:

7. Елліотт щасливий.

8. Елліотт незадоволений.

Якщо ми дозволимо H означає «Елліот щасливий», то ми можемо символізувати речення 7 як H. Однак було б помилкою символізувати речення 8 як ~H Якщо Елліотт нещасний, то він не щасливий, але речення 8 не означає те саме, що `Це не той випадок, що Елліотт щасливий». Можливо, він не щасливий, але і не нещасний. Можливо, він знаходиться десь між ними. Для того, щоб символізувати речення 8, нам знадобиться нова буква речення.

Для будь-якого речення A: Якщо A має значення true, то ~A є помилковим. Якщо ~A має значення true, то A дорівнює false.

Використовуючи `T' для true і `F 'для false, ми можемо узагальнити це в характерній таблиці істинності для заперечення:

А ~А

Т Ф

Ф Т

Кон'юнкція

Розглянемо ці пропозиції:

9. Адам атлетичний.

10. Барбара атлетична.

11. Адам атлетичний, а Барбара також атлетична.

Нам знадобляться окремі букви пропозиції для 9 і 10, тому визначимо цей ключ символізації:

В: Адам атлетичний.

Б: Барбара атлетична.

Речення 9 можна символізувати як А.

Речення 10 можна символізувати як B.

Речення 11 можна перефразувати як `A і B ' Для того щоб повністю символізувати це речення, нам знадобиться ще один символ. Ми будемо використовувати `&. ' Ми перекладаємо `A і B 'як A&B. Логічна сполучна `&' називається сполучною, а A і B кожен називається кон'юнктами.

Зверніть увагу, що ми не намагаємося символізувати `also' у реченні 11. Такі слова, як «обидва» і «також», функціонують, щоб привернути нашу увагу до того, що дві речі поєднуються. Вони не роблять ніякої подальшої логічної роботи, тому нам не потрібно представляти їх в SL.

Ще кілька прикладів:

12. Барбара атлетична і енергійна.

13. Барбара і Адам обидва атлетичні.

14. Хоча Барбара енергійна, вона не атлетична.

15. Барбара атлетична, але Адам більш атлетичний, ніж вона.

Речення 12, очевидно, є сполучником. Речення говорить про Барбару дві речі, тому в англійській мові допустимо посилатися на Барбару лише один раз. Можливо, буде спокусливо спробувати це під час перекладу аргументу: Оскільки B означає «Барбара атлетична», можна перефразувати речення як `B та енергійний». Це було б помилкою. Як тільки ми перекладаємо частину речення як B, будь-яка подальша структура втрачається. B - атомне речення; це не що інше, як істинне чи хибне. І навпаки, «енергійний» - це не вирок; сам по собі він не є ні істинним, ні помилковим. Натомість ми повинні перефразувати речення як `B, а Барбара енергійна». Тепер нам потрібно додати букву пропозиції до символізаційного ключа. Нехай Е означає «Барбара енергійна». Тепер речення можна перекласти як B &E, а речення може бути символізовано як A &B, якщо його можна перефразувати

англійською мовою як `І A, і B ' Кожен з сполучників повинен бути пропозицією.

Речення 13 говорить одне про два різних предмета. Це говорить як про Барбару, так і про Адама, що вони атлетичні, і в англійській мові ми використовуємо слово `атлетичний' лише один раз. При перекладі на SL важливо розуміти, що речення можна перефразувати як: «Барбара атлетична, а Адам - атлетичний». Це перекладається як B & A.

Речення 14 трохи складніше. Слово `хоча 'встановлює контраст між першою частиною речення і другою частиною. Тим не менш, речення говорить і про те, що Барбара енергійна, і що вона не атлетична. Для того, щоб зробити кожен із сполучників атомним реченням, нам потрібно замінити `she' на `Barbara '.

Тож ми можемо перефразувати речення 14 як: «Обидві Барбара енергійна, а Барбара не атлетична». Другий кон'юнкт містить заперечення, тому ми перефразовуємо далі: `Обидві Барбара енергійна, і це не так, що Барбара атлетична». Це перекладається як E & :B.

Речення 15 містить аналогічну контрастну структуру. Це не має значення для перекладу на SL, тому ми можемо перефразувати речення як «Обидві Барбара атлетична, а Адам більш атлетичний, ніж Барбара». (Зверніть увагу, що ми ще раз замінюємо займенник `she' на її ім'я.) Як ми повинні перекласти другий кон'юнкт? У нас вже є буква речення А, яка стосується атлетики Адама, а B - про спортивну Барбару, але жодна з них не стосується того, щоб один з них був більш спортивним, ніж інший. Нам потрібна нова буква пропозиції. Нехай

R означає «Адам більш атлетичний, ніж Барбара». Тепер речення перекладається як B &R.

Речення, які можна перефразувати `A, але B' або `Хоча A, B 'найкраще символізувати за допомогою сполучника: A &B Важливо пам'ятати, що літери речення A, B і R є атомними реченнями. Вважаються символами SL, вони не мають ніякого значення, крім істинних чи хибних. Ми використовували їх для символізації різних речень англійської мови, які стосуються людей, які є спортивними, але ця схожість повністю втрачається, коли ми перекладаємо на SL. Жодна формальна мова не може охопити всю структуру англійської мови, але поки ця структура не важлива для аргументу, нічого не втрачено, залишивши її поза увагою.

Які з цих трьох тверджень говорять одне і те ж?

1) Майк і Джордж - боксери

2) Майк - боксер, а Джордж - боксер

3) Майк і Джордж бокс один одного

Перші 2 однакові — але третій говорить щось інше. Хоча це передбачає слово «і», воно не використовується як сполучник. Це говорить нам, що вони беруть участь у дії з іншим. Якби ми ставилися до цього як до кон'юнкції, це було б: Майк бокс один одного, а Джордж бокс один одного. Однак ми можемо сказати, що це речення говорить: «Майк бокс Джорджа, а Джордж бокс Майка», але це трохи змінює ситуацію. Однак

два речення виражали б майже однакові ідеї. Пам'ятайте, що сполучник просто об'єднує дві пропозиції.

Для будь-яких речень A і B, A &B є істинним тоді і лише тоді, коли і A, і B є істинними. Ми можемо узагальнити це в характерній таблиці істинності для кон'юнкції:

А Б А & Б

Т Т Т

Т Ф Ф

Ф Т Ф

Ф Ф Ф

Кон'юнкція симетрична, тому що ми можемо поміняти місцями кон'юнкти, не змінюючи істинного значення речення. Незалежно від того, що таке A і B, A & B логічно еквівалентний B & A.

Чи є ці вагомі аргументи?

«Гаррі короткий, а Джон високий, тому Гаррі короткий».

«Гаррі короткий. Джон високий. Тому Гаррі короткий, а Джон високий».

Вони обидва дійсні. Подумайте про валідність засобів, а потім про те, що йдеться. Пам'ятайте, що в вагомому аргументі, якщо приміщення істинні, висновок також повинен бути вірним. Іншими словами, якщо приміщення є істинними, немає ніякого способу, щоб висновок коли-небудь був помилковим. Отже, з обома цими аргументами, якщо приміщення вірні, висновки також повинні бути правдивими. Таким чином, вони дійсні. Вони звучать, якщо Гаррі насправді короткий, а Джон насправді високий, але коли ми робимо символічну логіку, ми просто дбаємо про дійсність. Обґрунтованість занадто практична і важлива.

Дивлячись у майбутнє, це те, що нам будуть говорити таблиці правди: ми будемо робити складні, які дадуть нам знати, коли всі приміщення вірні, і якщо висновок вірний кожен раз, коли приміщення все вірно, то аргумент є дійсним.

диз'юнкція

Розглянемо ці пропозиції:

16. Або Денісон буде грати зі мною в гольф, або він буде дивитися фільми.

17. Або Денісон, або Ellery буде грати зі мною в гольф.

Для цих речень ми можемо використовувати цей ключ символізації:

Д: Денісон буде грати зі мною в гольф.

E: Ellery буде грати зі мною в гольф.

М: Денісон буде дивитися фільми.

Речення 16 - «Або D, або М.» Щоб повністю символізувати це, вводимо новий символ. Речення стає D vM. `v 'сполучна називається диз'юнкція, а D і M називаються диз'юнктами.

Речення 17 лише трохи складніше. Є два суб'єкти, але англійське речення дає дієслово лише один раз. У перекладі ми можемо перефразувати це як. `Або Денісон буде грати в гольф зі мною, або Ellery буде грати в гольф зі мною. ' Тепер це очевидно перекладається як D v E.

Речення може бути символізовано як A v B, якщо його можна перефразувати англійською мовою як `Або A, або B ' Кожен з диз'юнктів повинен бути вирок.

Іноді в англійській мові слово `or' виключає можливість того, що обидва диз'юнкти є істинними. Це називається ексклюзивним або. Ексклюзивний або явно призначений, коли він говорить, в меню ресторану, `Entrees приходять з супом або салатом. ' У вас може бути суп; у вас може бути салат; але, якщо ви хочете і суп, і салат, то вам доведеться доплатити.

В інший час слово «або» допускає можливість того, що обидва диз'юнкти можуть бути правдивими. Ймовірно, це стосується речення 17 вище. Я міг би грати з Денісоном, з Ellery, або як з Денісон, так і з Ellery. Речення 17 просто говорить про те, що я буду грати хоча б з одним з них. Це називається інклюзивним або.

Символ `v 'представляє інклюзивне або. Так D V E вірно, якщо D вірно, якщо E вірно, або якщо обидва D і E є істинними. Це помилково, тільки якщо обидва D і E є помилковими. Ми можемо підсумувати це за допомогою характерної таблиці істинності для диз'юнкції:

А Б А в Б

Т Т Т

Т Ф Т

Ф Т Т

Ф Ф Ф

Як і кон'юнкція, диз'юнкція симетрична. aVB логічно еквівалентний bVA.

Ці пропозиції дещо складніше:

18. Або у вас не буде супу, або салату у вас не буде.

19. У вас не буде ні супу, ні салату.

20. У вас виходить або суп, або салат, але не обидва.

Ми дозволяємо S1 означає, що ви отримуєте суп і S2 означає, що ви отримаєте салат.

Речення 18 можна перефразувати таким чином: `Або це не так, що ви отримуєте суп, або це не так, що ви отримуєте салат». Переклад цього вимагає як диз'юнкції, так і заперечення. Вона стає S1 v S2.

Вирок 19 також вимагає заперечення. Це можна перефразувати як: «Це не так, що або ви отримуєте суп, або що ви отримуєте салат». Нам потрібен якийсь спосіб вказати, що заперечення не просто заперечує правий або лівий диз'юнкт, а скоріше зводить нанівець всю диз'юнкцію. Для цього ми ставимо дужки навколо диз'юнкції: `Це не так (S1 vS2) '. Це стає просто ~ (S1 v S2). Зверніть увагу, що дужки роблять важливу роботу тут. Речення ~S1vs2 означало б `Або у вас не буде супу, або у вас буде салат. '

Речення 20 є ексклюзивним або. Ми можемо розбити пропозицію на дві частини. Перша частина говорить про те, що ви отримуєте ту чи іншу. Переводимо це як (S1 v S2). Друга частина говорить про те, що у вас не виходить і те, і інше. Ми можемо перефразувати це як: «Це не так, що ви отримуєте суп і салат». Використовуючи як заперечення, так і кон'юнкцію, ми перекладаємо це як ~ (S1 & S2). Тепер нам просто потрібно скласти дві частини разом. Як ми бачили вище, `but' зазвичай можна перекласти як сполучник. Таким чином, речення 20 можна перекласти як (S1 v S2) & ~ (S1 & S2).

Хоча `v 'є інклюзивним або, ми можемо символізувати ексклюзив або в SL. Нам просто потрібно більше одного сполучного з'єднання, щоб зробити це.

Дужки

Ви повинні використовувати дужки в логіці, як ви могли б де-небудь ще. Як показав вам попередній приклад, залишивши їх поза увагою, можна повністю змінити значення пропозиції. Правила прості: використовуйте дужки, щоб з'єднати лише 2 заяви одночасно, і коли 2 речі знаходяться в дужках, вони в основному стають одним. Отже, якби я хотів символізувати

«Адам пішов в магазин, Марк пішов на виставу, Джон не пішов в магазин, а Белль не пішла на виставу», - ми могли написати

(A & M) & (~J & ~B) або

A & (M & (~J & ~B)) або безліч інших способів, зміщуючи навколо дужок.

(Я залишу це вам, щоб з'ясувати, що представляє кожна буква)