2.2: Пропозиційна логіка та чотири основні функціональні зв'язки істинності
- Page ID
- 52030
Пропозиційна логіка (також звана «логіка речення») - це область формальної логіки, яка займається логічними зв'язками між пропозиціями. Пропозиція - це просто те, що я назвав у розділі 1.1 твердженням. 1 Деякі приклади пропозицій:
Сніг білий
Сніг холодний
Том — космонавт.
Підлога зачищена
Посуд вимитий
Ми також можемо з'єднати пропозиції разом, використовуючи певні англійські слова, такі як «і», як це:
Підлога зачищена, а посуд вимитий.
Ця пропозиція називається складною пропозицією, оскільки вона містить сполучне «і», яке з'єднує дві окремі пропозиції. На відміну від цього, «підлога очищена» і «посуд вимита» - це те, що називають атомними пропозиціями. Атомні пропозиції - це ті, які не містять ніяких істинно-функціональних зв'язків. Слово «і» в цьому складному судженні є істинно-функціональним сполучним. Істинно-функціональна сполучна - це спосіб з'єднання суджень таким чином, що істинна цінність результуючого складного судження може бути визначена істинною цінністю суджень, що його складають. Припустимо, що підлогу не зачистили, а посуд вимитий. У такому випадку, якщо я стверджую, що сполучення, «підлогу вичистили, а посуд вимито», то я стверджував щось, що є помилковим. Причина полягає в тому, що сполучник, як і вище, вірний лише тоді, коли кожен кон'юнкт (тобто кожне твердження, яке з'єднується «і») є істинним. Якщо будь-який з кон'юнктів є помилковим, то весь кон'юнкт є помилковим. Це повинно бути досить очевидно. Якщо Боб і Саллі розділили клопоти, а робота Боба була як вакуумом, так і пилом, тоді як робота Саллі полягала в тому, щоб як швабра, так і посуд, то якщо Саллі сказала, що вона чистила підлогу і робила посуд, коли насправді вона робила лише посуд (але не швабра підлогу), то Боб міг справедливо скаржитися, що це не правда, що Саллі обидва почистили підлогу і робила посуд!
Це показує, що сполучники вірні лише в тому випадку, якщо обидва сполучники вірні. Це справедливо для всіх сполучників. З'єднання вище має певну форму - таку ж форму, як і будь-який сполучник. Ми можемо представляти цю форму, використовуючи заповнювачі - малі літери, такі як р і q, щоб стояти для будь-якого твердження взагалі. Таким чином, ми представляємо форму кон'юнкції так:
р і q
Будь-який сполучник має таку ж форму. Наприклад, складна пропозиція «сьогодні сонячно і жарко» має таку ж форму, яку ми можемо побачити, написавши сполучник таким чином:
Сьогодні сонячно, і сьогодні спекотно.
Хоча ми могли б написати сполучник таким чином, в англійській мові природніше поєднувати прикметники «сонячно» та «гаряче», щоб отримати «сьогодні сонячно і жарко». Тим не менш, ці два речення означають одне і те ж (просто одне звучить більш природно англійською мовою, ніж інше). У будь-якому випадку, ми можемо бачити, що «сонячно сьогодні» - це пропозиція в «p» місці форми сполучення, тоді як «сьогодні жарко» - це пропозиція в «q» місці форми сполучника. Як і раніше, цей кон'юнкт вірний лише в тому випадку, якщо обидва кон'юнкти істинні. Наприклад, припустимо, що це сонячний, але гірко холодний зимовий день. У цьому випадку, хоча це правда, що сьогодні сонячно, помилково, що сьогодні жарко - і в цьому випадку сполучення помилкове. Якби хтось стверджував, що сьогодні сонячно і жарко за цих обставин, ви б сказали їм, що це не так. І навпаки, якби це був похмурий, але спекотний і вологий літній день, поєднання все одно було б помилковим. Єдиний спосіб твердження було б істинним, якщо обидва кон'юнкти були правдивими.
У формальній мові, яку ми розробляємо в цьому розділі, ми будемо представляти сполучники за допомогою символу під назвою «точка», який виглядає так: «⋅» Використовуючи цей символ, ось як ми будемо представляти сполучник у символічному позначенні:
р ⋅ q
У наступних розділах ми представимо чотири основні істинно-функціональні зв'язки, кожен з яких має свій символ і значення. Чотири основні істинно-функціональні зв'язки: кон'юнкція, диз'юнкція, заперечення та умовний. В іншій частині цього розділу ми обговоримо тільки кон'юнкцію. Як ми бачили, кон'юнкція об'єднує дві окремі пропозиції, щоб сформувати складну пропозицію. Кон'юнкція істинна тоді і лише тоді, коли обидва сполучники істинні. Ми можемо представити цю інформацію, використовуючи те, що називається таблицею істинності. Таблиці істинності представляють, як істинна цінність складної пропозиції залежить від істинних цінностей суджень, що складають його. Ось таблиця істинності для кон'юнкції:
| р | q | р ⋅ q |
| Т | Т | Т |
| Т | F | F |
| F | Т | F |
| F | F | F |
Ось як зрозуміти цю таблицю істинності. У рядку заголовка перераховані атомні пропозиції, p і q, з яких складається кон'юнкція, а також сам кон'юнктор, p ⋅ q Кожен з наступних чотирьох рядків представляє можливий сценарій щодо істинності кожного кон'юнкта, і існує лише чотири можливі сценарії: або p, і q можуть бути істинними ( як у рядку 1), p і q можуть бути помилковими (як у рядку 4), р може бути істинним, тоді як q є помилковим (рядок 2), або р може бути помилковим, тоді як q істинно (рядок 3). Заключний стовпець (значення істинності під кон'юнкцією, p ⋅ q) представляє, як істинне значення кон'юнкту залежить від істинного значення кожного кон'юнкту (p і q). Як ми бачили, кон'юнкція істинна тоді і лише тоді, коли обидва сполучники істинні. Це те, що являє собою таблиця істинності. Оскільки існує лише один рядок (один можливий сценарій), в якому і p, і q є істинними (тобто рядок 1), це єдина обставина, при якій кон'юнкція істинна. Оскільки в кожному іншому рядку хоча б один з кон'юнктів є помилковим, кон'юнкція є помилковою в інших трьох сценаріях.
У цей момент деякі студенти почнуть втрачати ручку над тим, що ми робимо з таблицями правди. Часто це відбувається тому, що людина вважає, що концепція набагато складніша, ніж вона є насправді. (Для деяких це може частково випливати з математичної фобії, яка викликана використанням символічних позначень.) Але таблиця істинності насправді дуже проста ідея: це просто уявлення про значення істинно-функціонального оператора. Коли я кажу, що сполучник є істинним, лише якщо обидва кон'юнкти є істинними, це саме те, що таблиця представляє. Немає нічого більше, ніж це. (Пізніше в цьому розділі ми будемо використовувати таблиці істинності, щоб довести, чи є аргумент дійсним чи недійсним. Розуміння того, що зажадає більшої тонкості, але те, що я поки що представив, зовсім не складно.)
Існує більше одного способу представлення сполучників в англійській мові крім англійського слова «і». Нижче наведено деякі загальні англійські слова та фрази, які зазвичай функціонують як істинно-функціональні сполучники.
| проте | ще не | також | хоча |
| проте | більше того | проте | ще |
Важливо зазначити, що багато разів англійські сполучники несуть більше інформації, ніж просто те, що ці дві пропозиції є істинними (що є єдиною інформацією, яку несе наша символічна сполучна точка). Ми можемо бачити це з англійськими сполучниками, такими як «але» і «проте», які мають контрастний сенс. Якби я сказав: «Боб проголосував, але Керолайн - ні», то я протиставляю тому, що зробили Боб і Керолайн. Тим не менш, я все ще стверджую дві незалежні пропозиції. Інший вид інформації, яку представляють англійські сполучники, але точка сполучна не є тимчасовою інформацією. Наприклад, в поєднанні:
Боб почистив зуби і вліз в ліжко
Існує явно тимчасовий підтекст, що Боб спочатку почистив зуби, а потім встав у ліжко. Це може здатися дивним сказати:
Боб лізв у ліжко і почистив зуби
оскільки це, здавалося б, означає, що Боб чистив зуби, перебуваючи в ліжку. Але кожен з цих сполучників буде представлений однаково нашою точкою сполучної, оскільки точка сполучної не дбає про тимчасові аспекти речей. Якби ми представляли «Боб вліз в ліжко» з великої літери А і «Боб чистив зуби» з великої літери B, то обидві ці пропозиції були б представлені точно так само, а саме так:
A ⋅ Б
Іноді сполучник може бути представлений англійською мовою лише комою або крапкою з комою, ось так:
Поки Боб пилососив підлогу, Саллі мила посуд.
Боб пилососив підлогу; Саллі помила посуд.
Обидва вони є сполучниками, які представлені однаково. Ви повинні бачити, що обидва вони мають вигляд, p ⋅ q.
Не кожен кон'юнкція є істинно-функціональним сполучником. Ми можемо побачити це, розглядаючи таку пропозицію:
Майя і Аліса одружені.
Якби це була істинно-функціональна пропозиція, то ми повинні бути в змозі визначити дві незалежні пропозиції, які беруть участь. Але ми не можемо. Якими були б ці пропозиції? Ви можете подумати, що дві пропозиції були б такими:
Майя одружена
Аліса заміжня
Але це не може бути правильним, оскільки той факт, що Майя одружена і що Аліса одружена, - це не те саме, що сказати, що Майя та Аліса одружені один з одним, що явно є наслідком оригінального речення. Крім того, якби ви намагалися додати «один до одного» до кожної пропозиції, це більше не матиме сенсу:
Майя одружена один з одним
Аліса одружена один з одним
Можливо, ми могли б сказати, що двома кон'юнктами є «Майя одружена з Алісою» і «Аліса одружена з Майєю», але істинні цінності цих двох кон'юнктів не незалежні один від одного, оскільки якщо Майя одружена з Алісою, це також повинно бути правдою, що Аліса одружена з Майя. На відміну від цього, нижче наведено приклад істинно-функціональної кон'юнкції:
Майя і Аліса - жінки.
На відміну від попереднього прикладу, в цьому випадку ми можемо чітко виділити два пропозиції, значення істинності яких незалежні один від одного:
Майя - жінка
Аліса - жінка
Незалежно від того, чи є Майя жінкою, це питання, яке абсолютно не залежить від того, чи є Аліса жінкою (і навпаки). Тобто той факт, що Майя - жінка, нічого не говорить нам про те, чи є Аліса жінкою. На відміну від цього, той факт, що Майя одружена з Алісою, означає, що Аліса одружена з Майєю. Отже, спосіб визначити, чи є сполучник істинно-функціональним, полягає в тому, щоб запитати, чи формується він з двох суджень, правда яких незалежна один від одного. Якщо є дві пропозиції, істина яких незалежна один від одного, то сполучник є істинно-функціональним; якщо немає двох суджень, істина яких незалежна один від одного, сполучник не є істинно-функціональним.
Вправа
Визначте, які з наступних пропозицій є істинно-функціональними сполучниками. Якщо речення є істинно-функціональним сполучником, визначте два сполучники (записуючи їх).
1. Джек і Джилл - колеги.
2. Том — пожежний і батько.
3. Рінго Старр і Джон Леннон були товаришами по групі.
4. Люсі обожнює бутерброди зі стейками і цибулею.
5. Камерон Діас мав кілька стосунків, хоча вона ніколи не вийшла заміж.
6. Боб і Саллі поцілувалися.
7. Людина, яка грає як мандоліну, так і на гітарі, є мультиінструменталістом.
8. Ніхто ніколи не заразився сказом і не жив.
9. Джек і Джилл - ковбої.
10. Джосія - аміш; тим не менш, він також є наркодилером.
11. Тигри є кращою бейсбольною командою в штаті, але вони не так добре, як Янкі.
12. Боб відправився на пляж, щоб насолодитися відпочинком і розслабленням.
13. Лорен не найшвидший бігун у команді; тим не менш, вона досить швидка, щоб дістатися до національного чемпіонату.
14. Кільце красиве, але дороге.
15. Сумно, але правда, що багато американців не знають, звідки прийде їх наступна трапеза.
1 Деякі філософи стверджують, що пропозиція не є такою ж, як твердження, але причини цього не мають відношення до того, що ми будемо робити в цьому розділі. Таким чином, для наших цілей ми можемо розглядати пропозицію як те саме, що і твердження.